流速 方程式の解は流速 です。これはベクトル場であり、 流体 中の任意の点において、任意の時間間隔で、その空間上の点におけるその瞬間の流体の速度の方向と大きさを持つベクトルを与えます。これは3次元空間と1次元時間で研究され、より高次元の類似物は純粋数学と応用数学の両方で研究されています。速度場が計算されると、圧力や温度 などの他の関心のある量は、 運動方程式 と関係式を使用して見つけることができます。これは、解が通常粒子 の位置の軌跡 または連続体の偏向である 古典力学 で通常見られるものとは異なります。流体の場合、位置ではなく速度を研究する方が理にかなっていますが、視覚化の目的でさまざまな軌跡 を計算することもできます。特に、流速として解釈されるベクトル場の流線は 、質量のない流体粒子が移動する経路です。これらの経路は、各点における導関数がベクトル場に等しい積分曲線 であり、ある時点におけるベクトル場の挙動を視覚的に表現することができる。
一般連続体方程式 ナビエ・ストークス運動量方程式は、コーシー運動量方程式 の特定の形式として導出することができ、その一般的な対流形式は次のようになる。 D u D t = 1 ρ ∇ ⋅ σ + 1 。 {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {a} .} コーシー応力テンソル を設定することによりσ {\textstyle {\boldsymbol {\シグマ }}} τ {\textstyle {\boldsymbol {\タウ }}} 偏差応力 ）と圧力項− p 私 {\textstyle -p\mathbf {I} }
コーシー運動量方程式 （対流形式） ρ D u D t = − ∇ p + ∇ ⋅ τ + ρ 1 {\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a} }
どこ
D D t {\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}} 物質微分 である。∂ ∂ t + u ⋅ ∇ {\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla } ρ {\textstyle \rho } u {\textstyle \mathbf {u} } ∇ ⋅ {\textstyle \nabla \cdot \,} 発散 とは、p {\textstyle p} 圧力 は、t {\textstyle t} 時間 です、τ {\textstyle {\boldsymbol {\タウ }}} は偏差応力テンソル であり、次数は2である。1 {\textstyle \mathbf {a} } 連続体に作用する物体の加速度 、例えば重力 、慣性加速度 、静電気加速度 などを表します。この形式では、非粘性流体（偏差応力なし）を仮定すると、コーシー方程式はオイラー方程式 に帰着することが明らかです。
質量保存則 を仮定し、発散 と勾配 の既知の性質を用いると、空間と時間に関する均質 流体の単位体積あたりの質量を表す質量連続方程式（すなわち 物質微分）を用いることができる。 D D t {\textstyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}} V {\textstyle \mathbf {V} } D m D t = ∭ V （ D ρ D t + ρ （ ∇ ⋅ u ） ） d V D ρ D t + ρ （ ∇ ⋅ u ） = ∂ ρ ∂ t + （ ∇ ρ ） ⋅ u + ρ （ ∇ ⋅ u ） = ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ （ ρ u ） = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV\\[5pt]&{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} +\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\end{aligned}}}
D m D t {\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}} 質量 の物質微分（ 密度 、ρ {\displaystyle \rho } ∭ V （ F （ x 1 、 x 2 、 x 3 、 t ） ） d V {\textstyle \iiint \limits _{V}{\bigl (}F(x_{1},x_{2},x_{3},t){\bigr )}\,dV} は、体積全体にわたる積分 のための数学演算です（V {\textstyle V} ∂ ∂ t {\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}} は偏微分 数学演算子です。∇ ⋅ u {\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,} 発散 （u {\displaystyle \mathbf {u} } ) はスカラー場 である、[ a ] ∇ ρ {\textstyle \nabla \rho \,} ρ {\displaystyle \rho } ）、これはスカラー場 のベクトル微分です、[ a ] 運動方程式の保存形式に到達する。これはしばしば次のように書かれる。[ 5 ]
コーシー運動量方程式 （保存形式） ∂ ∂ t （ ρ u ） + ∇ ⋅ （ ρ u ⊗ u ） = − ∇ p + ∇ ⋅ τ + ρ 1 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a} }
どこ⊗ {\textstyle \otimes } 外積 である（u {\textstyle \mathbf {u} } u ⊗ u = u u T {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}
式の左辺は加速度を表し、時間依存成分と対流成分（非慣性座標が存在する場合はその影響も含む）から構成される。式の右辺は、実質的に静水圧効果、偏差応力の発散、および体積力（重力など）の総和である。
ナビエ・ストークス方程式などの非相対論的平衡方程式はすべて、コーシー方程式から始めて、構成関係 式によって応力テンソルを指定することで導出できます。偏差（せん断）応力テンソルを粘度 と流体速度 勾配で表し、粘度が一定であると仮定すると、上記のコーシー方程式から以下のナビエ・ストークス方程式が得られます。
対流加速 対流の一例。流れは定常的（時間不変）であっても、流体は分岐管を下るにつれて減速するため（非圧縮性または亜音速圧縮性の流れを想定）、位置に対して加速が生じる。 コーシー方程式、ひいては他のすべての連続体方程式（オイラー方程式やナビエ・ストークス方程式を含む）の重要な特徴は、対流加速の存在です。これは、流れが空間に対して加速する効果です。個々の流体粒子は確かに時間依存の加速を受けますが、流れ場の対流加速は空間的な効果であり、ノズル内で流体が加速する現象はその一例です。
圧縮性流体 注記: ここで、偏差応力テンソルは次のように表されます。τ {\textstyle {\boldsymbol {\tau }}} 一般連続体方程式 および非圧縮性流れセクション の場合と同様です。
圧縮性運動量ナビエ・ストークス方程式は、コーシー応力テンソルに関する以下の仮定から導かれる。[ 6 ]
3次元における歪み速度テンソルのトレース は、流れの 発散 （すなわち膨張率）であるため、次のようになります。tr （ ε ） = ∇ ⋅ u 。 {\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}
この関係性を踏まえると、3次元における単位テンソルのトレースは3であるため、次のようになる。 tr （ 私 ） = 3. {\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}
3次元における応力テンソルのトレースは次のようになる。 tr （ σ ） = − 3 p + （ 3 λ + 2 μ ） ∇ ⋅ u 。 {\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}
そこで、流体力学で通常行われるように、応力テンソルを等方性 部分と偏差性部分に交互に分解します。 [ 7 ] σ = − [ p − （ λ + 2 3 μ ） （ ∇ ⋅ u ） ] 私 + μ （ ∇ u + （ ∇ u ） T − 2 3 （ ∇ ⋅ u ） 私 ） {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}
体積粘度 を導入するζ {\textstyle \zeta } ζ ≡ λ + 2 3 μ 、 {\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}
熱水力学 で通常用いられる形式の線形構成方程式 にたどり着く：[ 6 ]
線形応力構成方程式 （流体に使用される式） σ = − [ p − ζ （ ∇ ⋅ u ） ] 私 + μ [ ∇ u + （ ∇ u ） T − 2 3 （ ∇ ⋅ u ） 私 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-{\bigl [}p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} ){\bigr ]}\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}
これは、他の一般的な形式でも配置できます。[ 8 ] σ = − p 私 + μ （ ∇ u + （ ∇ u ） T ） + （ ζ − 2 3 μ ） （ ∇ ⋅ u ） 私 。 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\zeta -{\tfrac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}
圧縮性の場合、体積粘性項が追加されるため、 圧力は等方性応力項に比例しなくなることに注意してください。 p = − 1 3 tr （ σ ） + ζ （ ∇ ⋅ u ） {\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}
偏差応力テンソル σ ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'} τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
σ ′ = τ = μ [ ∇ u + （ ∇ u ） T − 2 3 （ ∇ ⋅ u ） 私 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}
バルク粘度ζ {\textstyle \zeta } μ {\textstyle \mu } 輸送係数のいずれかを 保存変数 に明示的に示す方程式は、状態方程式 と呼ばれます。[ 9 ]
最も一般的なナビエ・ストークス方程式は次のようになる。
ナビエ・ストークス運動量方程式 （対流形式） ρ D u D t = ρ （ ∂ u ∂ t + （ u ⋅ ∇ ） u ） = − ∇ p + ∇ ⋅ （ μ [ ∇ u + （ ∇ u ） T − 2 3 （ ∇ ⋅ u ） 私 ] ） + ∇ [ ζ （ ∇ ⋅ u ） ] + ρ 1 。 {\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left(\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {a} .}
指数表記では、この式は次のように書ける[ 10 ]
ナビエ・ストークス運動量方程式 （添え字表記） ρ （ ∂ u 私 ∂ t + u k ∂ u 私 ∂ x k ） = − ∂ p ∂ x 私 + ∂ ∂ x k [ μ （ ∂ u 私 ∂ x k + ∂ u k ∂ x 私 − 2 3 δ 私 k ∂ u l ∂ x l ） ] + ∂ ∂ x 私 （ ζ ∂ u ℓ ∂ x ℓ ） + ρ 1 私 。 {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{k}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left[\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\tfrac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\zeta {\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{\ell }}}\right)+\rho a_{i}.}
質量保存則の式 が与えられた場合、左辺は以下と等価であると考えることで、保存則の形式で対応する方程式が得られます。
ρ D u D t = ∂ ∂ t （ ρ u ） + ∇ ⋅ （ ρ u ⊗ u ） {\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )} 最後に与えるために：
ナビエ・ストークス運動量方程式 （保存形式） ∂ ∂ t （ ρ u ） + ∇ ⋅ （ ρ u ⊗ u + [ p − ζ （ ∇ ⋅ u ） ] 私 − μ [ ∇ u + （ ∇ u ） T − 2 3 （ ∇ ⋅ u ） 私 ] ） = ρ 1 。 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} -\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)=\rho \mathbf {a} .}
圧力と温度への依存性に加えて、第二粘性係数はプロセスにも依存します。つまり、第二粘性係数は単なる物質特性ではありません。例：特定の周波数を持つ音波が流体要素を交互に圧縮および膨張させる場合、第二粘性係数は波の周波数に依存します。この依存性は分散と 呼ばれます。場合によっては、第二粘性係数は ζ {\textstyle \zeta } ζ {\textstyle \zeta } 機械的圧力は熱力学的圧力 と等しくないという点です。[ 11 ] ∇ ⋅ （ ∇ ⋅ u ） 私 = ∇ （ ∇ ⋅ u ） 、 p ¯ ≡ p − ζ ∇ ⋅ u 、 {\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),\\&{\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,\end{aligned}}} [ 12 ] ）。 ζ = 0 {\textstyle \zeta =0} ζ = 0 {\textstyle \zeta =0} これはストークスの仮説 と呼ばれています。[ 13 ] [ 14 ]
ナビエ・ストークス運動量方程式 （対流形式、ストークス仮説） ρ D u D t = ρ （ ∂ u ∂ t + （ u ⋅ ∇ ） u ） = − ∇ p + ∇ ⋅ （ μ [ ∇ u + （ ∇ u ） T − 2 3 （ ∇ ⋅ u ） 私 ] ） + ρ 1 。 {\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left(\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)+\rho \mathbf {a} .}
動的なμ {\displaystyle \mu } ζ {\displaystyle \zeta } ∇ u {\textstyle \nabla \mathbf {u} } ∇ 2 u {\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} } （ ∇ u ） T {\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}} ∇ （ ∇ ⋅ u ） {\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)} [ 15 ]
一様なせん断粘性および体積粘性を持つ
ナビエ・ストークス運動量方程式 （対流形式） D u D t = − 1 ρ ∇ p + ν ∇ 2 u + （ 1 3 ν + ξ ） ∇ （ ∇ ⋅ u ） + 1 。 {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +\left({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi \right)\,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {a} .}
どこD D t {\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}} は物質派生物 です。ν = μ ρ {\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}} 動粘度 であり、ξ = ζ ρ {\textstyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}
一様なせん断粘性および体積粘性を持つ
ナビエ・ストークス運動量方程式 （対流形式） （ ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ − ν ∇ 2 − （ 1 3 ν + ξ ） ∇ （ ∇ ⋅ ） ） u = − 1 ρ ∇ p + 1 。 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}-\left({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi \right)\,\nabla (\nabla \cdot )\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {a} .}
対流加速項は次のように書くこともできます。 u ⋅ ∇ u = （ ∇ × u ） × u + 1 2 ∇ u 2 、 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},} （ ∇ × u ） × u {\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} } これはラムベクトル として知られています。
非圧縮性流れ の特殊なケースでは、圧力によって流れが制限され、流体要素 の体積が一定になります。等容積流は、 ソレノイド 速度場をもたらします。∇ ⋅ u = 0 {\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0} 16 ]
非圧縮性流体 非圧縮性運動量ナビエ・ストークス方程式は、コーシー応力テンソルに関する以下の仮定から導かれる。[ 6 ]
この構成方程式は、ニュートン粘性法則 μは一定である必要はなく、非圧縮性流れでは密度と圧力に依存する可能性があります。これらの 輸送係数のいずれかを 保存変数 に明示的に示す方程式は、状態方程式 と呼ばれます。[ 9 ]
粘性が均一な場合の偏差応力の発散は次式で与えられる。 ∇ ⋅ τ = 2 μ ∇ ⋅ ε = μ ∇ ⋅ （ ∇ u + ∇ u T ） = μ ∇ 2 u {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } ∇ ⋅ u = 0 {\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}
非圧縮性では、音波や衝撃波 のような密度波や圧力波は除外されるため、これらの現象に関心がある場合は、この単純化は役に立ちません。非圧縮性の流れの仮定は、通常温度での空気の風のモデリングなど、低マッハ数 (マッハ 0.3 程度まで) のすべての流体で一般的にうまく機能します。[ 17 ] [ 18 ]
均一粘性を持つ
非圧縮性 ナビエ・ストークス方程式 （対流形式） D u D t = ∂ u ∂ t + （ u ⋅ ∇ ） u = ν ∇ 2 u − 1 ρ ∇ p + 1 ρ f {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {1}{\rho }}\mathbf {f} }
どこν = μ ρ {\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}} これは動粘度 と呼ばれます。流体速度を分離することで、次のことも言えます。
非圧縮性 ナビエ・ストークス方程式（定粘性
、対流形式） （ ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ − ν ∇ 2 ） u = − 1 ρ ∇ p + 1 ρ f 。 {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {1}{\rho }}\mathbf {f} .}
流体領域全体で密度が一定である場合、つまり、すべての流体要素が同じ密度を持つ場合、ρ {\textstyle \rho }
非圧縮性 ナビエ・ストークス方程式（対流形式） D u D t = ν ∇ 2 u − ∇ p ρ + 1 ρ f 、 {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -\nabla {\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{\rho }}\mathbf {f} ,}
どこp ρ {\textstyle {\frac {p}{\rho }}} 圧力水頭 と呼ばれます。
非圧縮性流れでは、圧力場はポアソン方程式 を満たす。[ 10 ]
∇ 2 p = − ρ ∂ u 私 ∂ x k ∂ u k ∂ x 私 = − ρ ∂ 2 u 私 u k ∂ x k x 私 、 {\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},} これは、運動量方程式の発散をとることによって得られる。
各項の意味をよく観察しておくことは非常に有益である（コーシーの運動量方程式 と比較してみよう）。
∂ u ∂ t ⏟ 変化 + （ u ⋅ ∇ ） u ⏟ 対流 加速度 ⏞ 慣性モーメント（体積当たり） = ∂ ∂ − ∇ w ⏟ 内部 ソース + ν ∇ 2 u ⏟ 拡散 ⏞ ストレスの乖離 + g ⏟ 外部の ソース 。 {\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{変動}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{対流}}\\{\text{加速度}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{体積あたりの慣性}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{内部}}\\{\text{源}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{拡散}}} ^{\text{応力の発散}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{外部}}\\{\text{ソース}}\end{smallmatrix}}.}
高次の項、すなわちせん断応力 発散∇ ⋅ τ {\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}} ベクトルラプラシアン 項に還元される。μ ∇ 2 u {\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} } 19 ]このラプラシアン項は 、 熱伝導 とほぼ同じように運動量の拡散 として作用することを意味します。実際、対流項を無視すると、非圧縮性ナビエ・ストークス方程式はベクトル拡散方程式 （すなわちストークス方程式）になりますが、一般に対流項が存在するため、非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は 対流拡散方程式 のクラスに属します。
外部場が保存場 である通常のケースでは： g = − ∇ φ {\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi } 水頭 を定義することによって： h ≡ w + φ {\displaystyle h\equiv w+\varphi }
最終的に、ソース全体を1つの項に凝縮することができ、保存的な外部場を持つ非圧縮性ナビエ・ストークス方程式にたどり着く。 ∂ u ∂ t + （ u ⋅ ∇ ） u − ν ∇ 2 u = − ∇ h 。 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}
密度と粘性が均一で外部場が保存的である非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は、水力学 の基本方程式 です。これらの方程式の領域は、一般的に3次元以下のユークリッド空間 であり、通常、解くべきスカラー偏微分方程式のシステムを明示するために直交座標 参照系が設定されます。3次元直交座標系には、デカルト座標 、円筒座標 、球座標 の3種類があります。ナビエ・ストークスベクトル方程式をデカルト座標で表現することは非常に簡単で、使用するユークリッド空間の次元数にあまり影響されません。これは、非デカルト直交座標系における一次項（変分項や対流項など）についても同様です。しかし、高次の項（ナビエ・ストークス方程式とオイラー方程式を区別する偏差応力の発散から生じる2つの項）については、非直交座標系での式を導出するためにテンソル計算 が必要となる。水力学の基本方程式の特殊なケースはベルヌーイの式 である。
非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は、2つの直交方程式の和である複合方程式である。 ∂ u ∂ t = Π S （ − （ u ⋅ ∇ ） u + ν ∇ 2 u ） + f S ρ − 1 ∇ p = Π 私 （ − （ u ⋅ ∇ ） u + ν ∇ 2 u ） + f 私 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}} Π S {\textstyle \Pi ^{S}} Π 私 {\textstyle \Pi ^{I}} 非回転 射影演算子は、Π S + Π 私 = 1 {\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1} f S {\textstyle \mathbf {f} ^{S}} f 私 {\textstyle \mathbf {f} ^{I}} ヘルムホルツの定理 （ベクトル解析の基本定理としても知られています）から導かれます。最初の式は速度に関する圧力のない支配方程式であり、圧力に関する2番目の式は速度の関数であり、圧力ポアソン方程式に関連しています。
3次元における射影演算子の明示的な関数形式は、ヘルムホルツの定理から求められる。 Π S F （ r ） = 1 4 π ∇ × ∫ ∇ ′ × F （ r ′ ） | r − r ′ | d V ′ 、 Π 私 = 1 − Π S {\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}} クーロンの法則 やビオ・サバールの法則 に似た積分微分方程式 であり、数値計算には適さない。
ナビエ・ストークス方程式[ 20 ] （ w 、 ∂ u ∂ t ） = − （ w 、 （ u ⋅ ∇ ） u ） − ν （ ∇ w : ∇ u ） + （ w 、 f S ） {\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}
発散のないテスト関数の場合w {\textstyle \mathbf {w} }
速度方程式に圧力による力が存在しないことは、この方程式が動的な方程式ではなく、発散なし条件が保存方程式の役割を果たす運動学的方程式であることを示している。これは、非圧縮性圧力が発散なし条件を強制するというよくある主張を否定するように思われる。
密度が一定のニュートン流体 に対する非圧縮性ナビエ・ストークス方程式を考える。ρ {\textstyle \rho } Ω ⊂ R d （ d = 2 、 3 ） {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)} ∂ Ω = Γ D ∪ Γ N 、 {\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},} Γ D {\textstyle \Gamma _{D}} Γ N {\textstyle \Gamma _{N}} ディリクレ境界 条件とノイマン境界条件 が適用されます（Γ D ∩ Γ N = ∅ {\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset } [ 21 ] { ρ ∂ u ∂ t + ρ （ u ⋅ ∇ ） u − ∇ ⋅ σ （ u 、 p ） = f で Ω × （ 0 、 T ） ∇ ⋅ u = 0 で Ω × （ 0 、 T ） u = g の上 Γ D × （ 0 、 T ） σ （ u 、 p ） n ^ = h の上 Γ N × （ 0 、 T ） u （ 0 ） = u 0 で Ω × { 0 } {\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}} u {\textstyle \mathbf {u} } p {\textstyle p} f {\textstyle \mathbf {f} } n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} Γ N {\textstyle \Gamma _{N}} σ （ u 、 p ） {\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)} 応力テンソルは 次のように定義される：[ 21 ] σ （ u 、 p ） = − p 私 + 2 μ ε （ u ） 。 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).} μ {\textstyle \mu } 私 {\textstyle \mathbf {I} } 恒等テンソル とε （ u ） {\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )} テンソルは 次のように定義される：[ 21 ] ε （ u ） = 1 2 （ （ ∇ u ） + （ ∇ u ） T ） 。 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right).} g {\textstyle \mathbf {g} } h {\textstyle \mathbf {h} } u 0 {\textstyle \mathbf {u} _{0}} は初期条件 です。最初の式は運動量保存方程式であり、2番目の式は質量保存 、すなわち連続の式 を表しています。動粘性が一定であると仮定し、ベクトル恒等式を用いて ∇ ⋅ （ ∇ f ） T = ∇ （ ∇ ⋅ f ） {\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathsf {T}}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )} [ 21 ] ∇ ⋅ σ （ u 、 p ） = ∇ ⋅ （ − p 私 + 2 μ ε （ u ） ） = − ∇ p + 2 μ ∇ ⋅ ε （ u ） = − ∇ p + 2 μ ∇ ⋅ [ 1 2 （ （ ∇ u ） + （ ∇ u ） T ） ] = − ∇ p + μ （ Δ u + ∇ ⋅ （ ∇ u ） T ） = − ∇ p + μ （ Δ u + ∇ （ ∇ ⋅ u ） ⏟ = 0 ） = − ∇ p + μ Δ u 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}} [ 21 ] σ （ u 、 p ） n ^ = （ − p 私 + 2 μ ε （ u ） ） n ^ = − p n ^ + μ ∂ u ∂ n ^ 。 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}={\bigl (}-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ){\bigr )}{\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}
離散速度 問題領域を分割し、分割された領域上に基底関数 を定義すると、支配方程式の離散形式は次のようになる。 （ w 私 、 ∂ u j ∂ t ） = − （ w 私 、 （ u ⋅ ∇ ） u j ） − ν （ ∇ w 私 : ∇ u j ） + （ w 私 、 f S ） 。 {\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}
非圧縮性流れの本質的な特徴を反映する基底関数を選択することが望ましい。すなわち、要素は発散を持たなければならない。速度が関心のある変数である一方、ヘルムホルツの定理により、流れ関数またはベクトルポテンシャルの存在が必要となる。さらに、圧力勾配がない場合の流体の流れを決定するには、2次元チャネルを横切る流れ関数の値の差、または3次元チャネル周囲のベクトルポテンシャルの接線成分の線積分を指定する ことができ、流れはストークスの定理 によって与えられる。以下では、議論を2次元に限定する。
さらに、議論を少なくとも1階微分自由度を持つ連続エルミート有限要素に限定します。これにより、板曲げに関する 文献から多数の候補となる三角形要素と長方形要素を引き出すことができます。これらの要素は、勾配の成分として微分を持ちます。2次元では、スカラーの勾配と回転は明らかに直交しており、次の式で与えられます。 ∇ φ = （ ∂ φ ∂ x 、 ∂ φ ∂ y ） T 、 ∇ × φ = （ ∂ φ ∂ y 、 − ∂ φ ∂ x ） T 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathsf {T}},\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}
連続板曲げ要素を採用し、導関数の自由度を入れ替え、適切な自由度の符号を変更することで、多くの種類の流れ関数要素が得られます。
スカラー流線関数要素の回転を取ると、発散のない速度要素が得られます。[ 22 ] [ 23 ]
境界条件の適用は簡単です。流れのない面では流線関数は一定で、滑りのない速度条件が適用されます。開水路を横切る流線関数の差によって流れが決まります。開境界では境界条件は不要ですが、問題によっては一貫性のある値を用いることもできます。これらはすべてディリクレ境界条件です。
解くべき代数方程式は簡単に設定できるが、もちろん非線形 であるため、線形化された方程式を繰り返し計算する必要がある。
同様の考察は3次元にも当てはまるが、ポテンシャルがベクトル的な性質を持つため、2次元からの拡張は容易ではなく、2次元の場合のように勾配と回転の間に単純な関係は存在しない。
圧力回復 速度場から圧力を復元するのは簡単である。圧力勾配の離散弱方程式は次のようになる。 （ g 私 、 ∇ p ） = − （ g 私 、 （ u ⋅ ∇ ） u j ） − ν （ ∇ g 私 : ∇ u j ） + （ g 私 、 f 私 ） {\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-{\bigl (}\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}
テスト/重み関数が非回転である場合。適合するスカラー有限要素であればどれでも使用できます。ただし、圧力勾配場も関心の対象となる場合があります。この場合、圧力にはスカラーエルミート要素を使用できます。テスト/重み関数については、g 私 {\textstyle \mathbf {g} _{i}}
その他の方程式 ナビエ・ストークス方程式は、厳密には運動量保存則を表すものです。流体の流れを完全に記述するには、より多くの情報が必要であり、その量は仮定によって異なります。この追加情報には、境界条件（滑りなし 、毛細管表面 など）、質量保存則、エネルギー保存則 、および／または状態方程式 が含まれる場合があります。
物件
非線形性 ナビエ・ストークス方程式は、一般的には非線形 偏微分方程式であり、ほとんどすべての実際の状況でそのまま残ります。 [ 24 ] [ 25 ] ストークス流れ （またはクリープ流れ）などの一部のケースでは、方程式を線形方程式に単純化できます。非線形性により、ほとんどの問題は解くのが困難または不可能になり、方程式がモデル化する乱流 の主な原因となっています。
非線形性は対流 加速によるもので、これは位置に対する速度の変化に伴う加速です。したがって、乱流であろうとなかろうと、あらゆる対流流には非線形性が伴います。対流ではあるものの層流（非乱流）の例としては、粘性 流体（例えば油）が小さな収束ノズル を通過する場合が挙げられます。このような流れは、厳密に解けるかどうかに関わらず、多くの場合、徹底的に研究され理解されます。[ 26 ]
適用範囲 補助方程式（例えば質量保存則）と適切に定式化された境界条件を組み合わせることで、ナビエ・ストークス方程式は流体の運動を正確にモデル化しているように思われる。乱流でさえも（平均的には）現実世界の観測結果と一致するようだ。
ナビエ・ストークス方程式は、研究対象の流体が連続体 （無限に分割可能で、原子や分子などの粒子で構成されていない）であり、相対論的速度 で移動していないことを前提としています。非常に小さなスケールや極端な条件下では、離散的な分子で構成される実際の流体は、ナビエ・ストークス方程式でモデル化された連続流体とは異なる結果を生み出します。たとえば、流体の内部層の毛細管現象 は、勾配の大きい流れで現れます。[ 28 ] クヌーセン数 が 大きい場合、ボルツマン方程式が 適切な代替手段となる可能性があります。[ 29 ] それができない場合は、分子動力学 やさまざまなハイブリッド法 に頼らざるを得ないかもしれません。 [ 30 ]
もう一つの制約は、単純に方程式の複雑さです。一般的な流体ファミリーについては、長年の実績のある定式化が存在しますが、ナビエ・ストークス方程式をあまり一般的でないファミリーに適用すると、非常に複雑な定式化になり、未解決の研究課題が生じる傾向があります。このため、これらの方程式は通常、粘性モデルが線形である ニュートン流体 用に記述されます。他の種類の流体（血液など）の流れに対する真に一般的なモデルは存在しません。[ 31 ]
特定の問題への応用 ナビエ・ストークス方程式は、特定の流体に対して明示的に記述された場合でも、本質的にはかなり汎用的なものであり、特定の問題への適切な適用方法は非常に多岐にわたる。これは、静圧分布のような単純なものから、表面張力 によって駆動される多相流 のような複雑なものまで、モデル化できる問題が非常に多種多様であることも一因である。
一般的に、特定の問題への適用は、流れに関する仮定と初期条件／境界条件の定式化から始まり、その後、問題をさらに単純化するためにスケール解析が行われる場合がある。
(a) 平行流と(b) 放射状流の可視化
並行流 平行平板間の定常、平行、一次元、非対流の圧力駆動流を仮定すると、結果として得られるスケール化された（無次元の）境界値問題 は次のようになる。 d 2 u d y 2 = − 1 ; u （ 0 ） = u （ 1 ） = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}
境界条件は滑りなし条件 です。この問題は、流れ場に対しては容易に解くことができます。 u （ y ） = y − y 2 2 。 {\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}
この時点から、粘性抗力や正味流量など、より多くの関心のある量を容易に得ることができる。
放射状の流れ 問題が少し複雑になると、困難が生じる可能性があります。上記の平行流の、一見些細な変化として、平行平板間の放射状 流が挙げられます。これは対流を伴うため、非線形性が生じます。速度場は関数で表すことができます。f （ z ） {\displaystyle f(z)} d 2 f d z 2 + R f 2 = − 1 ; f （ − 1 ） = f （ 1 ） = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}
この常微分方程式は 、ナビエ・ストークス方程式を記述し、流れの仮定を適用したときに得られるものです（加えて、圧力勾配も解かれます）。非線形 項があるため、この問題を解析的に解くのは非常に困難です（楕円積分 と3次多項式の根を含む長い 陰 解法が見つかる可能性があります）。実際の解の存在に関する問題は、次の場合に発生します。R > 1.41 {\textstyle R>1.41} ん ） R {\textstyle R} [ 32 ] [ 32 ]
対流 ナビエ・ストークス方程式で記述できる自然対流の一種に、レイリー・ベナール対流 がある。これは、解析的および実験的に扱いやすいため、最もよく研究されている対流現象の一つである。
ナビエ・ストークス方程式にはいくつかの厳密解が存在する。ナビエ・ストークス方程式の非線形項がゼロとなる退化ケースの例としては、ポアズイユ流れ 、クエット流れ 、振動ストークス境界層 などがある。しかし、ジェフリー・ハメル流れ 、フォン・カルマン旋回流 、よどみ点流れ 、ランダウ・スクワイアジェット 、テイラー・グリーン渦 など、より興味深い完全な非線形方程式の解も存在する。[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] 自己相似解は、 クンマー関数の 2次引数を用いて与えることができる。[ 36 ] 圧縮性ナビエ・ストークス方程式の場合、ポリトロピック 状態方程式を 閉条件として使用すると、時間依存の自己相似解は再び二次引数を持つウィテカー関数になります。 [ 37 ]
追加の仮定の下では、構成要素を分離することができる。[ 38 ]
2次元の例
例えば、極座標 ( r 、 φ )における 二次元 （非圧縮性かつ定常）の流れを持つ無限平面領域の場合、速度成分( u r 、 u φ ) と圧力p は次のようになります。[ 39 ] u r = A r 、 u φ = B （ 1 r − r A ν + 1 ） 、 p = − A 2 + B 2 2 r 2 − 2 B 2 ν r A ν A + B 2 r （ 2 A ν + 2 ） 2 A ν + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&={\frac {A}{r}},\\u_{\varphi }&=B\left({\frac {1}{r}}-r^{{\frac {A}{\nu }}+1}\right),\\p&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {2B^{2}\nu r^{\frac {A}{\nu }}}{A}}+{\frac {B^{2}r^{\left({\frac {2A}{\nu }}+2\right)}}{{\frac {2A}{\nu }}+2}}\end{aligned}}}
ここで、A とBは任意の定数です。この解は、 r ≥ 1A < −2 ν
デカルト座標系において、粘性がゼロ（ν = 0v （ x 、 y ） = 1 x 2 + y 2 （ A x + B y A y − B x ） 、 p （ x 、 y ） = − A 2 + B 2 2 （ x 2 + y 2 ） {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}Ax+By\\Ay-Bx\end{pmatrix}},\\p(x,y)&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\end{aligned}}}
3次元の例
例えば、デカルト座標系 （ x 、 y 、 z ） における、非圧縮性、定常性、粘性ゼロ（ν = 0 ）の 3次元 放射状流を持つ無限ユークリッド領域の場合、速度ベクトルv p は次のようになります。v （ x 、 y 、 z ） = A x 2 + y 2 + z 2 （ x y z ） 、 p （ x 、 y 、 z ） = − A 2 2 （ x 2 + y 2 + z 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y,z)&={\frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\\p(x,y,z)&=-{\frac {A^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}.\end{aligned}}}
x = y = z = 0
3次元定常渦解 ホップファイブレーション に沿った流れ線のワイヤーモデル特異点のない定常状態の例として、ホップファイブレーション の線に沿った流れを考えることが挙げられる。r {\textstyle r} [ 40 ] ρ （ x 、 y 、 z ） = 3 B r 2 + x 2 + y 2 + z 2 p （ x 、 y 、 z ） = − A 2 B （ r 2 + x 2 + y 2 + z 2 ） 3 u （ x 、 y 、 z ） = A （ r 2 + x 2 + y 2 + z 2 ） 2 （ 2 （ − r y + x z ） 2 （ r x + y z ） r 2 − x 2 − y 2 + z 2 ） g = 0 μ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}
任意の定数に対してA {\textstyle A} B {\textstyle B} ρ {\textstyle \rho } は定数であり、乱流 特性に関してナビエ・ストークス方程式の一意性を扱うものでもありません。）速度ベクトルの成分は、ピタゴラスの4重 パラメータ化によるものと全く同じであることも指摘しておく価値があります。同じ速度場であれば、密度と圧力の他の選択肢も可能です。
密度と圧力のその他の選択肢
上記と同じ速度ベクトルを持つ圧力と密度の別の選択肢は、圧力と密度が原点でゼロになり、z = 0x 2 + y 2 = r 2 ρ （ x 、 y 、 z ） = 20 B （ x 2 + y 2 ） （ r 2 + x 2 + y 2 + z 2 ） 3 p （ x 、 y 、 z ） = − A 2 B （ r 2 + x 2 + y 2 + z 2 ） 4 + − 4 A 2 B （ x 2 + y 2 ） （ r 2 + x 2 + y 2 + z 2 ） 5 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{aligned}}}
実際、一般的には、密度が次のようになる 任意の多項式関数fに対して単純な解が存在する。 ρ （ x 、 y 、 z ） = 1 r 2 + x 2 + y 2 + z 2 f （ x 2 + y 2 （ r 2 + x 2 + y 2 + z 2 ） 2 ） 。 {\displaystyle \rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).}
粘性のある三次元周期解 周期的な完全三次元粘性解の2つの例が[ 41 ] トーラス上で定義されている。 T 3 = R 3 / L Z 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/{L\mathbb {Z} ^{3}}} これらはそれぞれ正のらせん性と負のらせん性 によって特徴づけられる。正のらせん性を持つ解は次のように与えられる。 u x = 4 2 3 3 U 0 [ 罪 （ k x − π 3 ） コス （ k y + π 3 ） 罪 （ k z + π 2 ） − コス （ k z − π 3 ） 罪 （ k x + π 3 ） 罪 （ k y + π 2 ） ] e − 3 ν k 2 t u y = 4 2 3 3 U 0 [ 罪 （ k y − π 3 ） コス （ k z + π 3 ） 罪 （ k x + π 2 ） − コス （ k x − π 3 ） 罪 （ k y + π 3 ） 罪 （ k z + π 2 ） ] e − 3 ν k 2 t u z = 4 2 3 3 U 0 [ 罪 （ k z − π 3 ） コス （ k x + π 3 ） 罪 （ k y + π 2 ） − コス （ k y − π 3 ） 罪 （ k z + π 3 ） 罪 （ k x + π 2 ） ] e − 3 ν k 2 t {\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin \left(kx-{\frac {\pi }{3}}\right)\cos \left(ky+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kz+{\frac {\pi }{2}}\right)-\cos \left(kz-{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kx+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(ky+{\frac {\pi }{2}}\right)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin \left(ky-{\frac {\pi }{3}}\right)\cos \left(kz+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kx+{\frac {\pi }{2}}\right)-\cos \left(kx-{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(ky+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kz+{\frac {\pi }{2}}\right)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin \left(kz-{\frac {\pi }{3}}\right)\cos \left(kx+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(ky+{\frac {\pi }{2}}\right)-\cos \left(ky-{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kz+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kx+{\frac {\pi }{2}}\right)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\end{aligned}}} k = 2 π / L {\displaystyle k=2\pi /L} U 0 2 / 2 {\displaystyle U_{0}^{2}/2} t = 0 {\displaystyle t=0} p = p 0 − ρ 0 ‖ u ‖ 2 / 2 {\displaystyle p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2} p 0 {\displaystyle p_{0}} ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} （はそれぞれ圧力場と密度場の基準値である）。両方の解はベルトラミ流れ のクラスに属するため、渦度場は速度に平行であり、正のヘリシティの場合、次式で与えられる。ω = 3 k u {\displaystyle \omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}} テイラー・グリーン渦 の3次元への一般化とみなすことができる。
引用文献 ↑ クライン、モリス (1972).古代から現代までの数学思想 . オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-506136-5 。↑ マクリーン、ダグ（2012）。 「連続体流体力学とナビエ・ストークス方程式」 『 空気力学の理解：現実の物理学からの考察 』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 13～ 78 ページ。ISBN 978-1-119-96751-4 ナビエ・ストークス方程式を構成する主な関係式は、質量、運動量、エネルギーに関する基本的な保存則である 。完全 な 方程式 系 を 得るには、温度、圧力、密度を関連付ける状態方程式も必要となる。 ↑ 「ミレニアム懸賞問題―ナビエ・ストークス方程式」 、 claymath.org 、クレイ数学研究所、2017年3月27日、2015 年12月22日の オリジナルからアーカイブ、 2017年4月2日 取得 ↑ Fefferman, Charles L. 「ナビエ・ストークス方程式の存在と滑らかさ」 (PDF) . claymath.org . クレイ数学研究所。 2015年4月15日の オリジナル (PDF)からアーカイブ。 2017年4月2日 取得 。 ↑ バチェラー（1967） 、 137ページおよび142ページ 1 2 3 4 バチェラー (1967) 、pp. 142–148 ↑ Chorin, Alexandre E.; Marsden, Jerrold E. (1993). 流体力学への数学的入門 。p. 33. ↑ Bird、Stewart、Lightfoot、『Transport Phenomena』、第1版、1960年、式(3.2-11a) 1 2 バチェラー（1967） 、 p.165 1 2 Landau, Lev Davidovich、および Evgenii Mikhailovich Lifshitz。流体力学：Landau と Lifshitz：理論物理学講義、第 6 巻。第 6 巻。Elsevier、2013 年。 ↑ Landau & Lifshitz (1987) 、pp. 44–45、196 ↑ ホワイト（ 2006） 、p.67 ↑ ストークス、GG（1845）。流体の運動における内部摩擦の理論、および弾性固体の平衡と運動の理論について。 ↑ Vincenti, WG、Kruger Jr., CH (1975). 物理気体力学入門。物理気体力学入門/Huntington。 ↑ バチェラー（1967） 、 147ページおよび154ページ ↑ バチェラー（1967） 、 75 ページ 1 2 3 アチソン (1990) ↑ Abdulkadirov, Ruslan; Lyakhov, Pavel (2022-02-22). "弱いヘルツ型ベソフ・モレー空間におけるナビエ・ストークス方程式の弱解の評価" . Mathematics . 10 (5): 680. doi : 10.3390/math10050680 . ISSN 2227-7390 . ↑ バチェラー（1967） 、 21ページおよび147ページ ↑ Temam, Roger (2001), Navier–Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis , AMS Chelsea, pp . 107–112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Quarteroni, Alfio (2014-04-25). 微分問題のための数値モデル （第2 版）. Springer. ISBN 978-88-470-5522-3 。↑ Holdeman, JT (2010), "非圧縮性流体流れのためのエルミート有限要素法", Int. J. Numer. Methods Fluids , 64 (4): 376– 408, Bibcode : 2010IJNMF..64..376H , doi : 10.1002/fld.2154 , S2CID 119882803 ↑ Holdeman, JT; Kim, JW (2010)、「エルミート有限要素法を用いた非圧縮性熱流の計算」、 Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 、 199 ( 49–52 ): 3297–3304 、 Bibcode : 2010CMAME.199.3297H 、 doi : 10.1016/j.cma.2010.06.036 ↑ ポッター、M.、ウィガート、DC (2008)。 流体力学 。シャウムズ・アウトラインズ。マグロウヒル 。ISBN 978-0-07-148781-8 。↑ アリス、R. (1989). ベクトル、テンソル、および流体力学の基本方程式 . ドーバー出版. ISBN 0-486-66110-5 。↑パーカー 、 CB（1994）。 マグロウヒル物理学百科事典 （第2 版）。マグロウヒル。ISBN 0-07-051400-3 。↑ 物理学百科事典（第2版）、 RG ラーナー 、GL トリッグ、VHC 出版社、1991 年、 ISBN 3-527-26954-1 (出版社)、ISBN 0-89573-752-3 （VHC社） ↑ Gorban, AN; Karlin, IV (2016), "Beyond Navier–Stokes equations: capillarity of ideal gas" , Contemporary Physics (Review article), 58 (1): 70– 90, arXiv : 1702.00831 , Bibcode : 2017ConPh..58...70G , doi : 10.1080/00107514.2016.1256123 , S2CID 55317543 ↑ Cercignani, C. (2002), "The Boltzmann equation and fluid dynamics", Friedlander, S.; Serre, D. (eds.), Handbook of mathematical fluid dynamics , vol. 1, Amsterdam: North-Holland, pp. 1–70 , ISBN 978-0-444-50330-5 ↑ Nie, XB; Chen, SY; Robbins, MO (2004)、 「マイクロ流体およびナノ流体の流れのための連続体と分子動力学のハイブリッド法」 、 Journal of Fluid Mechanics (研究論文)、 500 : 55– 64、 Bibcode : 2004JFM...500...55N 、 doi : 10.1017/S0022112003007225 、 S2CID 122867563 ↑ Öttinger, HC (2012), Stochastic processes in polymeric fluids , Berlin, Heidelberg: Springer Science & Business Media, doi : 10.1007/978-3-642-58290-5 , ISBN 978-3-540-58353-0 1 2 Shah, Tasneem Mohammad (1972). "多重グリッド法の解析". NASA Sti/Recon Technical Report N . 91 : 23418. Bibcode : 1989STIN...9123418S . ↑ Wang, CY (1991), "定常ナビエ・ストークス方程式の厳密解", Annual Review of Fluid Mechanics , 23 : 159–177 , Bibcode : 1991AnRFM..23..159W , doi : 10.1146/annurev.fl.23.010191.001111 ↑ ランダウ＆ リフシッツ（1987） 、 75～88 ページ ↑ Ethier, CR; Steinman, DA (1994)、「ベンチマークのための正確な完全3Dナビエ・ストークス解」、 International Journal for Numerical Methods in Fluids 、 19 (5): 369–375 、 Bibcode : 1994IJNMF..19..369E 、 doi : 10.1002/fld.1650190502 ↑ Barna, IF (2011). "Self-Similar Solutions of Three-Dimensional Navier–Stokes Equation" . Communications in Theoretical Physics . 56 (4): 745–750 . arXiv : 1102.5504 . Bibcode : 2011CoTPh..56..745I . doi : 10.1088/0253-6102/56/4/25 . ↑ Barna, IF; Mátyás, L. (2014). "3次元圧縮性ナビエ・ストークス方程式の解析解" . Fluid Dynamics Research . 46 (5) 055508. arXiv : 1309.0703 . Bibcode : 2014FlDyR..46e5508B . doi : 10.1088/0169-5983/46/5/055508 . ↑ 「ナビエ・ストークス方程式」 。www.claudino.webs.com 。 2015年6月19日に オリジナルから アーカイブ済み 。 2023年3月11日 に取得。 ↑ Ladyzhenskaya, OA (1969), 『粘性非圧縮性流れの数学理論』 （第2 版）、 序文、xiページ ↑ カムチャトノ、AM (1982)、 「磁気流体力学におけるトポロジカルソリトン」 （PDF） 、 ソビエト実験理論物理学ジャーナル 、 55 （1）：69、 Bibcode ： 1982JETP...55...69K 、 2016年1月28日にオリジナルから アーカイブ （PDF） ↑ Antuono, M. (2020), "Navier–Stokes方程式の三周期完全三次元解析解", Journal of Fluid Mechanics , 890 A23, Bibcode : 2020JFM...890A..23A , doi : 10.1017/jfm.2020.126 , S2CID 216463266 ↑ McComb, WD (2008), Renormalization methods: A guide for beginners , Oxford University Press, pp. 121–128 , ISBN 978-0-19-923652-7 ↑ ジョージア工科大学 （2022年8月29日） 「物理学者が乱流の新しい力学的枠組み を 発見 」 米国 科学 アカデミー 紀要 119 （ 34 ） e2120665119。Phys.org。doi ： 10.1073 / pnas.2120665119。PMC 9407532。PMID 35984901。S2CID 251693676 。 ↑ de' Michieli Vitturi, Mattia、 「円筒座標におけるナビエ・ストークス方程式」 、 2016年12月26日 取得 ↑ エリック・W・ワイススタイン （2005年10月26日） 「球面座標」 、 MathWorld 、 2008年1月22日 閲覧
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外部リンク ナビエ・ストークス方程式の簡略化された導出 ナビエ・ストークス方程式の3次元非定常形式（NASAグレン研究センター）
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV\\[5pt]&{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} +\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12cb88e5678ac4720a733c3d12aa97dde596cc2)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc04463f0439ceca32d5149f49387c0ead5ce13)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-{\bigl [}p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} ){\bigr ]}\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07fbea846de05bcb9f05d294ef96769820f50e2)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \右]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b1f7f904e33ff0fad0e93ecbfbdaeb0291a8cf)
![{\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left(\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {a} 。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a941666587f5deed0185e98b7eee04a9ab3d7f03)
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{k}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left[\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\tfrac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\zeta {\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{\ell }}}\right)+\rho a_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8100f790c3e7fe8362811297c86982c0c9c5e6)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} -\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)=\rho \mathbf {a} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637e4b42c3a99213c22e2874f4d81e89ba7d1302)
![{\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left(\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)+\rho \mathbf {a} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29772910fee6f39fdb32d60d10e0574a57c95ba)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2543c862003920c5dfe90aa9b753a397ab24e3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b09efe8393b632a0fb6503bdc02f0ffe16a72ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb067f0bff40f60b659551dbd5003f88f7ecc5e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\\\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef8455cb3b1ea995bfc28ad8b66035b1f826f5f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathsf {T}},\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc9ea836ab8830887b09b66b952685e0791259f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=&-\nabla p+\nabla \cdot \left(\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {f} \\&-\rho \left[2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {x} \right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54dff317061b16032db2dca216a99acab541fcd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin \left(kx-{\frac {\pi }{3}}\right)\cos \left(ky+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kz+{\frac {\pi }{2}}\right)-\cos \left(kz-{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kx+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(ky+{\frac {\pi }{2}}\right)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin \left(ky-{\frac {\pi }{3}}\right)\cos \left(kz+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kx+{\frac {\pi }{2}}\right)-\cos \left(kx-{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(ky+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kz+{\frac {\pi }{2}}\right)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin \left(kz-{\frac {\pi }{3}}\right)\cos \left(kx+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(ky+{\frac {\pi }{2}}\right)-\cos \left(ky-{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kz+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(kx+{\frac {\pi }{2}}\right)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618f2c7810ec72624fec2e33b779a0d188e32ee3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7feee6c98dd6d55c4964c54c6d95a14cd5ce2e90)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a863d4cbeecfbcbe5f217fadceb19c36cb7be25b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bce1bb11936b4ddce8ec1b9e7700d4aee89849e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04de3554cecf5a9892ff61575859dd15518e1c64)
