ディリクレ境界条件

数学において、ディリクレ 境界条件は常微分方程式または偏微分方程式に課され、解が領域の境界に沿って取る値は固定される。このような方程式の解を求める問題は、ディリクレ問題として知られている。科学と工学において、ディリクレ境界条件は固定境界条件または第1種境界条件とも呼ばれる。これはピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ（1805–1859）にちなんで名付けられた。 ^[1]

有限要素解析では、必須境界条件またはディリクレ境界条件は、微分方程式の重み付き積分形式によって定義されます。^{[2]境界式に現れる}重み関数wと同じ形式の従属未知数uは主変数と呼ばれ、その指定が必須境界条件またはディリクレ境界条件を構成します。

たとえば、常微分方程式の場合、区間[ a , b ]上のディリクレ境界条件は、 αとβが与えられた数値 である形式になります 。 $${\displaystyle y''+y=0,}$$$${\displaystyle y(a)=\alpha ,\quad y(b)=\beta ,}$$

たとえば、偏微分方程式 （ここで はラプラス演算子を表す）の場合、領域Ω ⊂ R ⁿ上のディリクレ境界条件はという形式になります 。 ここで、 fは境界∂Ω上で定義された既知の関数です。 $${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$$${\displaystyle \nabla ^{2}}$$${\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega ,}$$

たとえば、次のものはディリクレ境界条件と考えられます。

• 機械工学および土木工学（梁理論）において、梁の一端が空間内の固定位置に保持されます。
• 熱伝達では、表面が一定の温度に保たれます。
• 静電気学では、回路のノードが一定の電圧に保持されます。
• 流体力学では、粘性流体の無滑り条件は、固体境界では流体の速度が境界に対してゼロになることを定義します。

コーシー境界条件や混合境界条件など、他の多くの境界条件が可能です。混合境界条件は、ディリクレ条件とノイマン条件の組み合わせです。

• ノイマン境界条件
• ロビン境界条件
• 流体力学における境界条件