乱流運動エネルギー

乱流運動エネルギー
一般的な記号	TKE、k
SI基本単位では	J / kg = m 2 ⋅ s −2
他の量からの導出	${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right)}$

流体力学において、乱流運動エネルギー( TKE ) は、乱流内の渦に関連する単位質量あたりの平均運動エネルギーです。物理的には、乱流運動エネルギーは、測定された二乗平均平方根(RMS) 速度変動によって特徴付けられます。レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式では、乱流運動エネルギーは、閉包法、つまり乱流モデルに基づいて計算できます。

TKE は、変動速度成分の分散σ² (標準偏差 σ の二乗) の 合計の半分として定義できます。 ここで、各乱流速度成分は、瞬間速度と平均速度の差です(レイノルズ分解)。平均と分散はそれぞれ次のようになります。 $${\displaystyle k={\frac {1}{2}}(\sigma _{u}^{2}+\sigma _{v}^{2}+\sigma _{w}^{2})={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right),}$$${\displaystyle u'=u-{\overline {u}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt\geq 0=\sigma _{u}^{2},\end{aligned}}}$$

TKE は、流体せん断、摩擦、浮力、または低周波渦スケール（積分スケール）での外部力によって生成されます。乱流運動エネルギーは乱流エネルギーカスケードに伝達され、コルモゴロフスケールで粘性力によって消散します。この生成、輸送、消散のプロセスは次のように表すことができます。 ここで、^[1]$${\displaystyle {\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon ,}$$

• ⁠ ⁠ は${\displaystyle {\tfrac {Dk}{Dt}}}$TKEの平均流量物質微分です。
• ∇ · T′はTKEの乱流輸送である。
• PはTKEの生産量であり、
• εはTKEの消散です。

分子粘性が一定であると仮定し、ブシネスク近似を行うと、TKE 方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{Local}} \atop {\text{derivative}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Advection}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{Pressure}} \atop {\text{diffusion}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{Turbulent}} \atop {\text{transport}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{Molecular}} \atop {\text{viscous}}} \atop {\text{transport}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Production}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{Dissipation}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{Buoyancy flux}} \atop b}}$$

これらの現象を調べることで、特定の流れに対する乱流運動エネルギーの予算を見つけることができます。^[2]

数値流体力学(CFD)では、流れ場をコルモゴロフ マイクロスケールまで離散化せずに乱流を数値的にシミュレートすることは不可能です。これを直接数値シミュレーション(DNS)と呼びます。DNS シミュレーションはメモリ、計算、およびストレージのオーバーヘッドにより非常にコストがかかるため、乱流の影響をシミュレートするには乱流モデルが使用されます。さまざまなモデルが使用されますが、一般的に TKE は流体の乱流をモデル化するために計算する必要がある基本的な流れ特性です。

レイノルズ平均ナビエ・ストークス（RANS）シミュレーションでは、ブシネスク渦粘性仮説^[3]を使用して、平均化手順から生じる レイノルズ応力を計算します。 ここで$${\displaystyle {\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),}$$$${\displaystyle \nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.}$$

TKE を解決する正確な方法は、使用する乱流モデルによって異なります。k – ε (k-イプシロン) モデルでは、乱流の等方性を想定し、法線応力が等しくなります。 $${\displaystyle {\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.}$$

この仮定は乱流量（kとε）のモデル化をより簡単にしますが、乱流応力の異方性が支配的なシナリオでは正確ではありません。また、乱流の生成におけるこの仮定の影響は、乱流の生成が平均ひずみ速度に依存し、法線応力の差（仮定によりそれらは等しい）に依存しないため、過剰予測につながります。^[4]

レイノルズ応力モデル (RSM) は、レイノルズ応力を閉じるために異なる方法を使用します。これにより、法線応力は等方性であると想定されないため、TKE 生成の問題が回避されます。

CFD シミュレーションの初期条件として TKE を正確に規定することは、特に高レイノルズ数のシミュレーションで流れを正確に予測するために重要です。滑らかなダクトの例を以下に示します。 ここで、I は以下に示す初期乱流強度 [%]、U は初期速度の大きさです。パイプの流れの例として、レイノルズ数はパイプの直径に基づきます。 $${\displaystyle k={\frac {3}{2}}(UI)^{2},}$$$${\displaystyle I=0.16Re^{-{\frac {1}{8}}}.}$$

ここで、l は乱流または渦の長さのスケールで、以下で示されます。c _μはk – εモデル パラメータで、その値は通常 0.09 として与えられます。

$${\displaystyle \varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}.}$$

乱流長さスケールは、Lを 特性長さとして 推定することができます。内部流れの場合、これは入口ダクト（またはパイプ）の幅（または直径）または水力直径の値を取る場合があります。^[5]$${\displaystyle l=0.07L,}$$

• CFD Online の乱流運動エネルギー。
• Absi, R. (2008). 「モデル化されたk方程式の解析解」.応用力学ジャーナル. 75 (44501): 044501. Bibcode :2008JAM....75d4501A. doi :10.1115/1.2912722.
• Lacey, RWJ; Neary, VS; Liao, JC; Enders, EC; Tritico, HM (2012)。「IPOS フレームワーク: 変化した流れの中での魚の遊泳能力を実験室実験から河川までリンクする」River Res. Applic. 28 (4)、pp. 429–443。doi:10.1002/rra.1584。
• Wilcox, DC (2006)。「CFD のための乱流モデリング」。第 3 版。DCW Industries、ラ カナダ、米国。ISBN 978-1-928729-08-2。