体積粘度

体積粘度（バルク粘度、第 2 粘度、膨張粘度とも呼ばれる）は、流体の流れの特性を表すのに重要な材料特性です。一般的な記号はまたは です。体積粘度の次元は (質量 / (長さ × 時間)) で、対応するSI単位系はパスカル秒 (Pa·s) です。${\displaystyle \zeta ,\mu ',\mu _{\mathrm {b} },\kappa }$${\displaystyle \xi}$

他の材料特性（密度、せん断粘度、熱伝導率など）と同様に、体積粘度の値は各流体に固有であり、さらに流体の状態、特に温度と圧力によって決まります。物理的には、体積粘度は、等エントロピー 体積弾性率によって引き起こされる可逆抵抗を超えた、流体の圧縮または膨張に対する不可逆抵抗を表します。^[1]分子レベルでは、システムに注入されたエネルギーが分子運動の回転自由度と振動自由度に分配されるまでに要する有限の時間に起因します。^[2]

体積粘性に関する知識は、多原子気体における音の減衰（例：ストークスの法則）、衝撃波の伝播、気泡を含む液体の力学など、さまざまな流体現象を理解する上で重要です。しかし、多くの流体力学の問題では、その影響は無視できます。たとえば、低密度の単原子気体では体積粘性は0ですが（気体が中程度の相対論的である場合を除く^{[3] ）、}非圧縮性の流れでは体積粘性は運動方程式に現れないため不要です。^[4]

体積粘性は、1879年にサー・ホレス・ラムの有名な著書『流体力学』で導入されました。^[5]科学文献全体では比較的知られていないものの、体積粘性は流体力学に関する多くの重要な著書で詳細に議論されています。 ^{[1] [6] [7]}流体音響学、^{[8] [9] [10] [2]}液体の理論、^{[11] [12]}レオロジー、^[13]相対論的流体力学^[3]

熱力学的平衡では、コーシー応力テンソルのトレースの負の1/3は、熱力学的圧力と同一視されることが多い。

${\displaystyle -{1 \over 3}\sigma _{a}^{a}=P,}$

これは、温度や密度などの平衡状態変数（状態方程式）のみに依存します。一般に、応力テンソルのトレースは、熱力学的圧力の寄与と、速度場の発散に比例する別の寄与の合計です。この比例係数は体積粘性と呼ばれます。体積粘性の一般的な記号は、およびです。 ${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \mu_{v}}$

^{一般的な流体力学[6] [1]}や音響学^{[9] [10]}に関するほとんどの書籍に記載されているように、圧縮性流体に対して書かれた古典的なナビエ・ストークス方程式には体積粘性が現れます。

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla P+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\left(\nabla \mathbf {v} \right)^{T}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {I} \right)\right]+\nabla \cdot [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {I} ]+\rho \mathbf {g} }$

ここで、はせん断粘性係数、 は体積粘性係数です。パラメータと は、もともとそれぞれ第 1 粘性係数と体積粘性係数と呼ばれていました。演算子は物質微分です。テンソル (行列) 、および(ここでeは膨張 と呼ばれるスカラー、 は恒等テンソル) を導入すると、それぞれ粗せん断流 (つまり、ひずみ速度テンソル)、純粋せん断流 (つまり、ひずみ速度テンソルの偏差部分、つまりせん断速度テンソル^[14] )、および圧縮流 (つまり、等方膨張テンソル ) を記述します。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle D\mathbf {v} /Dt}$${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}$${\displaystyle e\mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {v} +\left(\nabla \mathbf {v} \right)^{T}\right)}$

${\displaystyle e={\frac {1}{3}}\nabla \!\cdot \!\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}={\boldsymbol {\epsilon }}-e\mathbf {I} }$

古典的なナビエ・ストークス方程式が明確な形になります。

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla (P-3\zeta e)+\nabla \cdot (2\mu {\boldsymbol {\gamma }})+\rho \mathbf {g} }$

非圧縮性の流れでは、流れの発散がないため、体積粘性を含む運動量方程式の項は消え、したがって流れの膨張eも消え、それに比例することに注意してください。

${\displaystyle \nabla \!\cdot \!\mathbf {v} =0}$

したがって、非圧縮ナビエ・ストークス方程式は次のように簡単に記述できます。

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla P+\nabla \cdot (2\mu {\boldsymbol {\epsilon }})+\rho \mathbf {g} }$

実際、非圧縮性の流れでは膨張がないため（e =0）、ひずみ速度は純粋に偏差であることに注意してください。言い換えると、非圧縮性の流れの場合、等方性応力成分は単に圧力です。

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})}$

偏差（せん断）応力は、せん断粘度とひずみ速度の積の2倍になります（ニュートンの構成法則）。

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\epsilon }}}$

したがって、非圧縮性の流れでは、体積粘性は流体力学において何ら役割を果たしません。

ただし、圧縮性流れでは、 となる場合があります。これについては、以下で説明します。また、一般に、 は、古典的な熱力学的な意味での流体の特性であるだけでなく、圧縮/膨張率などのプロセスにも依存します。同じことは、せん断粘度にも当てはまります。ニュートン流体の場合、せん断粘度は純粋な流体特性ですが、非ニュートン流体の場合は、速度勾配に依存するため、純粋な流体特性ではありません。せん断粘度も体積粘度も平衡パラメータまたは特性ではなく、輸送特性です。したがって、速度勾配や圧縮率は、圧力、温度、およびその他の状態変数とともに、独立した変数です。 ${\displaystyle \zeta \gg \mu }$${\displaystyle \zeta }$

ランドーによれば、^[1]

圧縮または膨張では、他の急速な状態変化と同様に、流体は熱力学的平衡を失い、この平衡を回復しようとする内部プロセスが流体内に発生します。これらのプロセスは通常非常に急速であるため (つまり、緩和時間が非常に短いため)、体積の変化率が非常に大きい場合を除き、体積の変化にほぼ即座に平衡が回復します。

彼は後にこう付け加えた。

しかしながら、平衡回復のプロセスの緩和時間が長くなる、つまり比較的ゆっくりと進行することもあります。

例を挙げた後、彼は次のように結論づけています (体積粘度を表すために を使用)。 ${\displaystyle \zeta }$

したがって、これらのプロセスの緩和時間が長い場合、流体が圧縮または膨張するときにかなりのエネルギー散逸が発生し、この散逸は 2 番目の粘度によって決定されるため、大きいという結論に達します。${\displaystyle \zeta }$

液体の体積粘度を測定するために利用可能な技術の簡単なレビューは、Dukhin & Goetz ^[10]およびSharma (2019) ^{[15]に記載されています。そのような方法の1つは、}音響レオメータを使用することです。

以下は、25℃におけるニュートン液体の体積粘度の値である（cPで報告）。^[16]

メタノール - 0.8
エタノール - 1.4
プロパノール - 2.7
ペンタノール - 2.8
アセトン - 1.4
トルエン - 7.6
シクロヘキサノン - 7.0
ヘキサン - 2.4

最近の研究では、二酸化炭素、メタン、亜酸化窒素など、さまざまなガスの体積粘度が決定されました。これらの体積粘度は、せん断粘度の数百から数千倍も大きいことがわかりました。^[15]体積粘度の大きい流体には、非化石燃料熱源を持つ発電システム、風洞試験、医薬品処理における作動流体として使用される流体が含まれます。

体積粘度の数値モデル化に特化した出版物は数多くあります。これらの研究の詳細なレビューは、Sharma (2019) ^[15]と Cramer ^[17]にあります。後者の研究では、多くの一般的な流体の体積粘度が、せん断粘度の数百から数千倍も大きいことがわかりました。相対論的な液体と気体の場合、体積粘度は、化学的に反応する相対論的流体との数学的双対性の観点から都合よくモデル化されます。^[3]