流体力学的ヘリシティ

流体力学において、らせん性は適切な条件下では流体の流れのオイラー方程式の不変量であり、流れの中の渦線のつながりや結びつきの尺度として位相的に解釈されます。これは1961年にジャン=ジャック・モローによって初めて証明され^[1]、モファットは1969年にモローの論文を知らずにこれを導きました。このらせん性不変量は、磁気らせん性に関するウォルチャーの定理の拡張です。

を速度場、対応する渦度場とします。次の 3 つの条件下では、渦線は流れとともに運ばれます（または流れの中で「固定」されます）。( i ) 流体は非粘性です。(ii) 流れは非圧縮性( )であるか、圧力pと密度ρの間に順圧関係がある圧縮性です。(iii) 流体に作用するあらゆる物体力は保存力です。これらの条件下では、法線ベクトルが渦度に直交する（つまり、 ）閉じた表面S は、渦度と同様に流れとともに運ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {u} (x,t)}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$${\displaystyle p=p(\rho )}$${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0}$

V をそのような表面の内側の体積とすると、Vのヘリシティ（H ）は体積積分によって定義される。

${\displaystyle H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.}$

境界のない流体内の局所的な渦度分布では、V を 空間全体と見なすことができ、H は流れの全らせん度になります。Hが不変なのは、渦線が流れの中で固定され、そのつながりや結び目が保存されるためであり、これはケルビン卿(1868) によって認識されました。らせん度は疑似スカラー量です。つまり、右手系の参照フレームから左手系の参照フレームへの変化によって符号が変わります。つまり、流れの利き手 (またはカイラリティ) の尺度と見なすことができます。らせん度は、オイラー方程式の 4 つの既知の積分不変量の 1 つです。他の 3 つは、エネルギー、運動量、角運動量です。

循環 と を持ち、内部にねじれのない、連結された 2 つの結び目のない渦管の場合、らせん度は で与えられます。ここで、nは 2 つの管のガウス連結数で、プラスまたはマイナスは連結が右巻きか左巻きかによって選択されます。循環 を持つ単一の結び目のある渦管の場合、MoffattとRicca (1992) が示したように、らせん度は で与えられます。ここで、 と は管のよじれとねじれです。その合計は、管の連続変形に対して不変であることが知られています。 ${\displaystyle \kappa_{1}}$${\displaystyle \kappa_{2}}$${\displaystyle H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)}$${\displaystyle Wr}$${\displaystyle Tw}$${\displaystyle Wr+Tw}$

ヘリシティの不変性は、流れの全体的特性とその位相的特徴を扱う トポロジカル流体力学と磁気流体力学という分野の重要な基礎を提供します。

気象学では、^{[2]ヘリシティは}対流運動中の空気塊への環境からの渦度の伝達に対応する。ここではヘリシティの定義を簡略化して、風と渦度の水平成分のみを使用し、体積積分を1次元の定積分または線積分に置き換えて垂直方向のみに積分する。

${\displaystyle H=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\, d{Z}=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z},}$

どこ

• ⁠ ⁠ は${\displaystyle Z}$高度です。
• ⁠ ⁠ は${\displaystyle {\vec {V}}_{h}}$水平速度であり、
• ⁠ ⁠ は${\displaystyle {\vec {\zeta }}_{h}}$水平方向の渦度です。

この式によると、水平風が高度とともに方向を変えない場合、と は垂直なのでH はゼロになり、それらのスカラー積はゼロになります。したがって、風が高度とともに方向を変える（時計回りに回転する）場合はHは正になり、風が逆になる（反時計回りに回転する）場合は H は負になります。気象学で使用されるこのヘリシティは、質量あたりのエネルギー単位が [m ² /s ² ] であるため、方向を含む高度による風のせん断によるエネルギー伝達の尺度として解釈されます。 ${\displaystyle V_{h}}$${\displaystyle \nabla \times V_{h}}$

この概念は、雷雲内で竜巻が発生する可能性を予測するために使用されます。この場合、垂直積分は雲頂下（通常 3 km または 10,000 フィート）に制限され、水平風は嵐の動きを差し引いて嵐に対する風として計算されます。

${\displaystyle \mathrm {SRH} =\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{\left({\vec {V}}_{h}-{\vec {C}}\right )}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z}}$

ここで、⁠ ⁠ は${\displaystyle {\vec {C}}}$地面に対する雲の動きです。

北米で研究された竜巻の発達におけるSRH（ストーム相対ヘリシティ）の臨界値[ ^3]は以下のとおりです 。

• SRH = 150-299 ...藤田スケールによると弱い竜巻を伴うスーパーセルの可能性あり
• SRH = 300-499 ... スーパーセルの発達と強力な竜巻に非常に有利
• SRH > 450 ... 激しい竜巻
• 1 km (4,000 フィート) 未満でのみ計算する場合、カットオフ値は 100 になります。

ヘリシティ自体は激しい雷雨の唯一の要素ではないため、これらの値は注意して扱う必要があります。^[4]そのため、エネルギーヘリシティ指数（EHI ）が作成されました。これは、SRHにCAPE（対流有効位置エネルギー）を掛け、それを閾値CAPEで割った 結果です。

${\displaystyle \mathrm {EHI} ={\frac {\mathrm {CAPE} \times \mathrm {SRH} }{\text{160,000}}}}$

これには、ヘリシティだけでなく空気塊のエネルギーも組み込まれているため、強い SRH 領域でも雷雨の弱い可能性を排除しようとします。EHI の重要な値:

• EHI = 1 ... 竜巻の可能性あり
• EHI = 1-2 ... 中程度から強い竜巻
• EHI > 2 ... 強い竜巻

• Batchelor, GK、(1967、2000年再版)流体力学入門、ケンブリッジ大学出版局
• 大木谷 憲一「渦度と関連方程式の基本的説明」ケンブリッジ大学出版局、2005 年 1 月 30 日。ISBN 0-521-81984-9 
• Chorin, AJ、「渦度と乱流」。応用数学科学、第 103 巻、Springer-Verlag。1994 年 3 月 1 日。ISBN 0-387-94197-5 
• Majda, AJ & Bertozzi, AL、「渦度と非圧縮性流れ」。ケンブリッジ大学出版局、第 1 版。2001 年 12 月 15 日。ISBN 0-521-63948-4 
• トリットン、DJ、「物理流体力学」。ヴァン・ノストランド・ラインホールド、ニューヨーク。1977年。ISBN 0-19-854493-6 
• Arfken, G.、「物理学者のための数学的手法」、第 3 版。Academic Press、フロリダ州オーランド。1985 年。ISBN 0-12-059820-5 
• Moffatt, HK (1969) 絡み合った渦線の結び目の度合い。J . Fluid Mech . 35、pp. 117–129。
• Moffatt, HK & Ricca, RL (1992) ヘリシティと Cǎlugǎreanu 不変量。Proc . R. Soc. Lond. A 439、pp. 411–429。
• トムソン、W.（ケルビン卿）（1868）渦運動について。ロイ訳。Soc. Edin. 25、pp. 217–260。