尺度分析（数学）

スケール解析（または桁数解析）は、多くの項を含む方程式を簡略化するために数学分野で用いられる強力なツールです。まず、方程式に含まれる個々の項のおおよその大きさを決定します。次に、無視できるほど小さな項は省略することができます。

例えば、大気の鉛直座標方向におけるナビエ・ストークス方程式の運動量方程式を考えてみよう。

ここで、 Rは地球の半径、Ωは地球の自転周波数、 gは重力加速度、φは緯度、ρは空気の密度、νは空気の動粘度です（自由大気中の乱流は無視できます）。

総観規模では、水平速度は約U = 10 ¹  m.s ⁻¹、垂直速度は約W = 10 ⁻²  m.s ⁻¹と予想されます。水平スケールはL = 10 ⁶  m、垂直スケールはH = 10 ⁴  m です。典型的な時間スケールはT = L / U = 10 ^{5秒です。}対流圏 の気圧差 は Δ P = 10 ⁴ Pa、空気密度はρ = 10 ⁰ kg⋅m ^{−3 です}。その他の物理的特性はおおよそ次のとおりです。  

R = 6.378 × 10⁶ ^m ;

Ω = 7.292 × 10 ^-5 rad・^{s -1;}

ν = 1.46 × 10 ⁻⁵ m ² ⋅s ^−1;

g = 9.81 m⋅s ^−2。

式（ A1 ）の各項の推定値は、それぞれの尺度を用いて行うことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial w}{\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}$

ここで、これらの尺度とその値を式（A1）に代入してみましょう。

右辺の1番目と2番目の項を除いて、すべての項が無視できるほど小さいことがわかります。したがって、垂直運動量方程式を静水圧平衡方程式に簡略化できます。

スケール解析は、熱伝達と流体力学の分野、圧力駆動壁面ジェット、後向きステップ後方の剥離流、ジェット拡散火炎、線形および非線形ダイナミクスの研究における問題を解決するために非常に有用で広く使用されているツールです。スケール解析は、厳密に解くには複雑すぎる方程式の近似解を得るための効果的な近道です。スケール解析の目的は、対流熱伝達の基本原理を使用して、関心のある量の桁違いの推定値を生成することです。スケール解析は、適切に行えば、厳密な解析によって得られる高価な結果を、1 倍程度の係数で予測できます。スケール解析のルールは次のとおりです。

ルール1：スケール分析の最初のステップは、スケール分析を適用する範囲を定義することです。一意に定義されていない流れ領域のスケール分析は無効です。

ルール2 - 1つの方程式は、方程式に現れる2つの主要な項の尺度間の等価性を構成する。例えば、

${\displaystyle \rho c_{P}{{\partial T} \over {\partial t}}=k{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}.}$

上記の例では、左辺は右辺と同程度の大きさになる可能性がある。

ルール3- 2つの項の合計が

${\displaystyle c=a+b}$

一方の項の桁数は、もう一方の項の桁数よりも大きい。

${\displaystyle O(a)>O(b)}$

すると、和の大きさの桁数は支配的な項によって決まる。

${\displaystyle O(c)=O(a)}$

2つの項の差がある場合も同じ結論が成り立つ

${\displaystyle c=a-b}$

ルール4 - 2つの項の和において、2つの項が同じ桁数である場合、

${\displaystyle c=a+b}$

${\displaystyle O(a)=O(b)}$

すると、合計値も同じオーダーになる。

${\displaystyle O(a)\thicksim O(b)\thicksim O(c)}$

ルール5 - 2つの項の積の場合

${\displaystyle p=ab}$

積の桁数は、2つの因子の桁数の積に等しい。

${\displaystyle O(p)=O(a)O(b)}$

比率について

${\displaystyle r={\frac {a}{b}}}$

それから

${\displaystyle O(r)={\frac {O(a)}{O(b)}}}$

ここでO(a)はaの桁数を表します。

~ は、2 つの項が同じ桁数であることを示します。

> は、桁違いの意味で「より大きい」を表します。

円管内の粘性流体の定常層流を考えます。流体は流れの断面全体に均一な速度で流入します。流体が管を下っていくと、表面に隣接する流体の速度がゼロであるため、低速流体の境界層が表面に形成され、成長します。円筒管内の粘性流の特異で単純化された特徴は、境界層が管の中心線で自身と交わり、速度分布が不変の固定パターンを確立するという事実です。流体力学的入口長は、運動量境界層が成長し、速度分布が長さとともに変化する管の部分です。完全に発達した領域における固定速度分布は、完全に発達した速度プロファイルと呼ばれます。2次元における定常状態の連続性と運動量保存の式は、

これらの式は、スケール分析を用いることで簡略化できる。${\displaystyle x\sim L}$完全に開発された地域では、${\displaystyle y\sim \delta }$そして${\displaystyle u\sim U_{\infty }}$式（ 1 ）から、完全に発達した領域における横方向速度成分は、スケーリングを用いて次のように簡略化される。

完全に発展した地域では${\displaystyle L\gg \delta }$したがって、式（ 4 ）から横方向速度のスケールは無視できる。したがって、完全に発達した流れでは、連続の式は以下を要求する。

式（５）に基づくと、y運動量方程式（３）は以下のように簡略化される。

これは、 Pがxのみの関数であることを意味します。これから、x運動量方程式は次のようになります。

左辺はxのみの関数であり、右辺はyのみの関数であるため、各項は定数でなければならない。境界条件の下で方程式 ( 7 ) を解く

これは、平行平板間の完全発達流に対するよく知られたハーゲン・ポアズイユ解をもたらす。

ここで、yは流路の中心からの距離を表す。流速は放物線状であり、流れの方向における単位流路長あたりの圧力に比例する。

• 近似
• 次元解析

• Barenblatt, GI (1996).スケーリング、自己相似性、および中間漸近解析. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43522-6。
• テネケス、H. ; ラムリー、ジョン L. (1972).乱流入門. MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ. ISBN 0-262-20019-8。
• Bejan, A. (2004).対流熱伝達. John Wiley & Sons. ISBN 978-81-265-0934-8。
• Kays, WM、Crawford ME (2012).対流熱および物質移動. McGraw Hill Education (インド). ISBN 978-1-25-902562-4。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

• スケール解析とレイノルズ数（2006年4月10日にWayback Machineにアーカイブ済み）