自己相似解

偏微分方程式の研究、特に流体力学において、自己相似解とは、独立変数と従属変数が適切にスケールされている場合に、それ自身と相似となる解の形式である。自己相似解は、問題に特徴的な長さや時間スケールがない場合に必ず現れる（例えば、無限板のブラシウス境界層は現れるが、有限長板のブラシウス境界層は現れない）。これらには、例えば、ブラシウス境界層やセドフ・テイラー殻が含まれる。^{[1] [2]}

物理学における強力なツールは、次元解析とスケーリング則の概念です。システムに存在する物理的効果を調べることで、その大きさを推定し、たとえば無視できるものを推定することができます。場合によっては、システムに固定の自然長や時間スケールがなく、解が空間や時間に依存することがあります。その場合、空間または時間と、粘度などの存在する他の次元量を使用してスケールを構築する必要があります。これらの構成は「推測」されるものではなく、支配方程式のスケーリングから直接導き出されます。 ${\displaystyle \nu}$

通常の自己相似解は、第一種の自己相似解とも呼ばれます。これは、次元解析から導くことができない、第二種の自己相似解と呼ばれる、有限サイズの問題に対する別の種類の自己相似が存在するためです。

第二種の自己相似解の初期の特定は、G. Guderley (1942) とLev Landauおよび KP Stanyukovich (1944)によって解析された衝撃波の爆縮の問題 ( Guderley-Landau-Stanyukovich 問題) に見られます。 ^[3]また、 Carl Friedrich von Weizsäcker ^[4]とYakov Borisovich Zel'dovich (1956)によって解析された短いインパルスによる衝撃波の伝播にも見られ、Weizsäcker はこれを初めて第二種として分類しました。^[5]完全な説明は、1972 年にGrigory BarenblattとYakov Borisovich Zel'dovichによって行われました。^[6]第二種の自己相似解は、小さな摂動を受ける境界層問題などのさまざまな状況でも現れ、^[7]キース・スチュワートソン、^[8]ポール・A・リビー、ハーバート・フォックスによって特定されました。^[9]モファット渦も第二種の自己相似解です。

簡単な例としては、剛体壁で囲まれ粘性流体で満たされた半無限領域がある。^[10]壁が一定速度で一定の方向（明確にするために方向だけを考え、平面だけを考える）に動く とき、問題には明確な長さのスケールがないことがわかる。これはレイリー問題として知られている。滑りなしの境界条件は ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle xy}$$${\displaystyle u{(y\!=\!0)}=U}$$

また、プレートが無限遠の流体に影響を与えないという条件は次のように強制される。 $${\displaystyle u{(y\!\to \!\infty )}=0.}$$

ここで、ナビエ・ストークス方程式から、 この流れは直線で、勾配は方向、流れは 方向であり、圧力項には接線成分がないため となること がわかります。ナビエ・ストークス方程式の成分は となり 、スケーリング引数を適用して となり、 座標 のスケーリングが となることがわかります。 $${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {u}}\right) =-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\vec {u}}}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\dfrac {\partial p}{\partial y}}=0}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}=\nu \partial _{y}^{2}{\vec {u}}}$$$${\displaystyle {\frac {U}{t}}\sim \nu {\frac {U}{y^{2}}}}$$${\displaystyle y}$$${\displaystyle y\sim (\nu t)^{1/2}}$$

これにより、次元がゼロで、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \eta}$$${\displaystyle u=Uf\left(\eta \equiv {\dfrac {y}{(\nu t)^{1/2}}}\right)}$$

上記には関連するすべての物理学が含まれており、次のステップは方程式を解くことです。多くの場合、数値法が含まれます。この方程式は、 境界条件を満たす解を持ち、 第 1 種の自己相似解です。 $${\displaystyle -\eta f'/2=f''}$$$${\displaystyle f=1-\operatorname {erf} (\eta /2)\quad {\text{ または }}\quad u=U\left(1-\operatorname {erf} \left(y/(4\nu t)^{1/2}\right)\right)}$$

ミサイル発射時の船の甲板への衝突加熱や熱防護システムのサイジングなどの過渡的熱伝達アプリケーションでは、半無限固体に対して自己相似解が見つかることがあります。^{[11] [12]}熱伝導が主要な熱伝達メカニズムである場合の支配方程式は、1 次元エネルギー方程式です。ここで、 は材料の密度、は材料の比熱容量、は材料の熱伝導率です。材料が均質でその特性が一定であると仮定した場合、エネルギー方程式は熱方程式に簡約されます。ここで、は熱拡散率です。相似変数 を導入し、 と仮定すると、PDE を ODE に変換できます。熱防護シ​​ステム サイジングの単純なモデルを仮定し、分解、熱分解ガス流、および表面の後退を無視し、初期温度および一定の表面温度とすると、深さおよび時間における温度 について ODE を解くことができます。^[12 ] $${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(k{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)}$$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}},\quad \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}}$$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \eta =x/{\sqrt {t}}}$${\displaystyle T(t,x)=f(\eta )}$$${\displaystyle f''(\eta )+{\frac {1}{2\alpha }}\eta f'(\eta )=0}$$${\displaystyle T(0,x)=f(\infty )=T_{i}}$${\displaystyle T(t,0)=f(0)=T_{s}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle T(t,x)={\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\alpha t}}}}\right)\left(T_{i}-T_{s}\right)+T_{s}}$$${\displaystyle {\text{erf}}(\cdot )}$