ラプラス演算子

数学において、ラプラス演算子またはラプラシアンは、ユークリッド空間上のスカラー関数の勾配の発散によって与えられる微分演算子です。これは通常、記号、(ここではナブラ演算子)、またはで表されます。直交座標系では、ラプラシアンは関数の各独立変数に関する2 次偏導関数の合計によって与えられます。円筒座標や球座標などの他の座標系でも、ラプラシアンは便利な形式を持ちます。非公式には、点pにおける関数fのラプラシアンΔ f  ( p )は、 pを中心とする小さな球またはボール上のfの平均値がf  ( p )からどれだけ外れているかを測定します 。 ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \Delta }$

ラプラス演算子は、この演算子を初めて天体力学の研究に適用したフランスの数学者ピエール＝シモン・ド・ラプラス（1749-1827）にちなんで名付けられました。与えられた質量密度分布による重力ポテンシャルのラプラス演算子は、その密度分布の定数倍です。ラプラス方程式Δ f = 0の解は調和関数と呼ばれ、真空領域における可能な重力ポテンシャルを表します。

ラプラシアンは、物理現象を記述する多くの微分方程式に登場します。ポアソン方程式は電位と重力ポテンシャルを記述し 、拡散方程式は熱と流体の流れを記述し、波動方程式は波の伝播を記述し、シュレーディンガー方程式は量子力学における波動関数を記述します。画像処理とコンピュータービジョンでは、ラプラシアン演算子は、ブロブやエッジ検出などのさまざまなタスクに使用されています。ラプラシアンは最も単純な楕円演算子であり、ホッジ理論とド・ラーム・コホモロジーの結果の中核をなしています。

ラプラス演算子は、n次元ユークリッド空間における2 階微分演算子であり、勾配( ) の発散( )として定義されます。したがって、が2 回微分可能な実数値関数である場合、 のラプラス演算子は次のように定義される実数値関数です。 ${\displaystyle \nabla \cdot }$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

ここで後者の表記は、次のように正式に記述することから派生している。 明示的には、 f のラプラシアンは、直交座標x _iにおけるすべての混合されていない2次偏微分の合計である。 $${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$$

2 次微分演算子として、ラプラス演算子はk ≥ 2に対してC ^k関数をC ^{k −2}関数にマッピングします。これは線型演算子Δ : C ^k ( R ⁿ ) → C ^{k −2} ( R ⁿ ) 、またはより一般的には任意の開集合Ω ⊆ R ⁿに対して演算子Δ : C ^k (Ω) → C ^{k −2} (Ω)です。

あるいは、ラプラス演算子は次のように定義できます。${\displaystyle \nabla ^{2}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{R\rightarrow 0}{\frac {2n}{R^{2}}}(f_{shell_{R}}-f({\overrightarrow {x}}))=\lim _{R\rightarrow 0}{\frac {2n}{A_{n-1}R^{2+n}}}\int _{shell_{R}}f({\overrightarrow {r}})-f({\overrightarrow {x}})dr^{n-1}}$

ここでは空間の次元、は半径 R のn 次元球面上のの平均値、は半径 R のn 次元球面上の表面積分、 は単位 n 次元球面の境界の超体積です。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{shell_{R}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \int _{shell_{R}}f({\overrightarrow {r}})dr^{n-1}}$${\displaystyle A_{n-1}}$

拡散の物理理論では、ラプラス演算子は平衡の数学的記述において自然に生じる。^[2]具体的には、u が化学濃度などの何らかの量の平衡時の密度である場合、V内にソースまたはシンクが存在しない限り、任意の滑らかな領域 V の境界 ∂ V (S とも呼ばれる)を通過するuの正味のフラックスはゼロになる。 ここで、nはVの境界に対して外向きの単位法線である。発散定理により、 $${\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$$${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

これはすべての滑らかな領域Vに当てはまるので、次が成り立つことが示せます。 この式の左辺はラプラス演算子であり、式Δ u = 0全体はラプラス方程式として知られています。ラプラス方程式の解、つまりラプラシアンが常にゼロである関数は、拡散下での可能な平衡密度を表します。 $${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$

ラプラス演算子自体は、非平衡拡散を、拡散方程式によって明確にされた意味で、ある点が化学物質の濃度の源またはシンクを表す程度として物理的に解釈します。ラプラス演算子のこの解釈は、平均に関する次の事実によっても説明されます。

2回連続微分可能な関数と点が与えられたとき、を中心とする半径の球体上のの平均値は次のようになる: ^[3]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

同様に、を中心とする半径の球面（ボールの境界）上のの平均値は次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

φ が電荷分布qに関連付けられた静電ポテンシャルを表す場合、電荷分布自体はφのラプラシアンの負によって表されます。 ここで、ε ₀は電気定数です。 $${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$

これはガウスの法則の結果です。実際、V が境界∂ V を持つ任意の滑らかな領域である場合、ガウスの法則により、境界を横切る 静電場Eのフラックスは、囲まれた電荷に比例します。 ここで、最初の等式は発散定理によるものです。静電場は電位の（負の）勾配であるため、次の式が得られます。 $${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$$${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

これはすべての領域Vに当てはまるので、 $${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

同じアプローチは、重力ポテンシャルのラプラシアンの負が質量分布であることを意味します。多くの場合、電荷（または質量）分布は与えられていますが、関連するポテンシャルは未知です。適切な境界条件に従うポテンシャル関数を見つけることは、ポアソン方程式を解くことと同じです。

物理学にラプラシアンが登場するもう一つの理由は、領域UにおけるΔ f = 0の解がディリクレエネルギー関数を定常化する関数であることです。 $${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

これを理解するために、f  : U → Rが関数であり、u  : U → RがUの境界で消える関数であると仮定します。すると次のようになります。 $${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$

ここで最後の等式はグリーンの第 1 恒等式を使用して得られます。この計算により、 Δ f = 0の場合、E はf の周囲で定常であることが示されます。逆に、E がf の周囲で定常である場合、変分法の基本補題によりΔ f = 0となります。

2次元のラプラス演算子は次のように表されます。

デカルト座標では 、x とyはxy平面の標準デカルト座標です。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$

極座標では 、r は半径距離、θ は角度を表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$

3 次元では、さまざまな異なる座標系でラプラシアンを使用するのが一般的です。

デカルト座標では、 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

円筒座標では、 は半径距離、φ は方位角、z は高さを表します。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$${\displaystyle \rho }$

球座標では、 または 第1項と第2項を展開すると、これらの式は次のようになります。 ここで、φは方位角、θは天頂角または共緯度を表します。特に、上記は次の式と等価です。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{2}}f,}$

ここで、単位球面上の ラプラス-ベルトラミ演算子です。${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f}$

一般的な曲線座標( ξ ¹、ξ ²、ξ ³ ): $${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$

ここで、繰り返されるインデックスの合計が暗示され、 g ^mnは逆計量テンソル、 Γ ^l _{mn は}選択された座標の Christoffel 記号です。

N次元の任意の曲線座標（ξ1 ,..., ξN ）では、ラプラシアンを逆計量テンソルで表すことができます。^これは、 発散に関する Voss- Weylの公式^{[4]から得られ}ます。 ${\displaystyle g^{ij}}$$${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),}$$

N次元の球面座標では、パラメータ化x = rθ ∈ R ^Nで、r は正の実数半径、θ は単位球面 S ^{N −1}の要素を表します。 ここで、Δ _{S ^{N −1}}は( N − 1)球面上のラプラス・ベルトラミ演算子であり、球面ラプラシアンとして知られています。2 つの動径微分項は、次のように書き直すことができます。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$$$${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$$

結果として、S ^{N −1} ⊂ R ^N上で定義された関数の球面ラプラシアンは、 R ^N ∖{0}に拡張された関数の通常のラプラシアンとして計算することができ、光線に沿って一定、つまり次数0の同次になります。

ラプラシアンは、すべてのユークリッド変換、つまり回転と並進に対して不変です。たとえば、2 次元では、 すべてのθ、a、bに対して次の式が成り立ちます。任意の次元では、 ρが回転の 場合は常に次の式が成り立ち、 τが並進 の場合は常に次の式が成り立ちます。(より一般的には、 ρ が反射などの直交変換の場合でも、この式は成り立ちます。) $${\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$$$${\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho }$$$${\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }$$

実際、すべてのユークリッド変換と交換可能な定数係数を持つすべてのスカラー線形微分演算子の代数は、ラプラス演算子によって生成される多項式代数です。

ラプラス演算子のスペクトルは、対応する固有関数 f が存在するすべての固有値λで構成され ます。 $${\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}$$

これはヘルムホルツ方程式として知られています。

Ω がR ⁿの有界領域である場合、ラプラシアンの固有関数はヒルベルト空間L ² (Ω)の正規直交基底です。この結果は本質的に、コンパクトな自己随伴作用素のスペクトル定理をラプラシアンの逆関数（ポアンカレ不等式とレリッヒ・コンドラコフの定理によりコンパクト）に適用することで得られます。^{[5]固有関数は}無限微分可能関数であることも示せます。^{[6]より一般的には、これらの結果は境界を持つ任意のコンパクトリーマン多様体上の}ラプラス・ベルトラミ作用素、または有界領域上の滑らかな係数を持つ任意の楕円作用素のディリクレ固有値問題に対して成り立ちます。Ω がn球面である場合、ラプラシアンの固有関数は球面調和関数です。

ベクトルラプラス演算子は、 とも表記され、ベクトル場上で定義される微分演算子です。^[7]ベクトルラプラス演算子はスカラーラプラス演算子に似ています。スカラーラプラス演算子はスカラー場に適用されスカラー量を返しますが、ベクトルラプラス演算子はベクトル場に適用されベクトル量を返します。正規直交直交座標で計算すると、返されるベクトル場は各ベクトル成分に適用されたスカラーラプラス演算子のベクトル場と等しくなります。 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

ベクトル場のベクトルラプラシアンは次のように定義されます。 この定義は、ベクトル ラプラシアンの ヘルムホルツ分解として考えることができます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

デカルト座標では、これは 次のようにはるかに単純な形式に簡約されます 。ここで、、、はベクトル場 の成分であり、各ベクトル場成分の左側には (スカラー) ラプラス演算子があります。これはラグランジュの公式の特殊なケースと見ることができます。 ベクトルの三重積を参照してください。$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$$${\displaystyle A_{x}}$${\displaystyle A_{y}}$${\displaystyle A_{z}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \nabla ^{2}}$

他の座標系でのベクトル ラプラシアンの表現については、円筒座標と球面座標の Del を参照してください。

任意のテンソル場 （「テンソル」にはスカラーとベクトルが含まれます）のラプラシアンは、テンソルの 勾配の発散として定義されます。${\displaystyle \mathbf {T} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

がスカラー（次数 0 のテンソル）である特殊なケースでは、ラプラシアンはよく知られた形式になります。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$

がベクトル（1 次テンソル）の場合、勾配は共変微分となり、2 次テンソルとなり、この発散もベクトルになります。上記のベクトル ラプラシアンの式は、テンソルの計算を避けるために使用でき、以下に示すベクトルの勾配の ヤコビ行列の発散と同等であることが示されます。${\displaystyle \mathbf {T} }$$${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

同様に、あるベクトルと別のベクトルの勾配（2 次テンソル）との ドット積は、行列の積として考えることができます。 この恒等式は座標に依存する結果であり、一般的なものではありません。 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$

ベクトル ラプラシアンの使用例としては、ニュートンの非圧縮性流れに対するナビエ-ストークス方程式が挙げられます。 ここで、速度場 のベクトル ラプラシアンの項は、流体の 粘性応力を表します。 $${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$

もう 1 つの例は、電荷と電流がない場合の マクスウェル方程式から導出できる電場の波動方程式です。$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

この方程式は次のように書くこともできます。 ここで、はクライン・ゴードン方程式で使用されるダランベルシアンです。 $${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$$${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$

まず、滑らかな関数はの場合に優調和関数であると言えます。 ${\displaystyle u\colon \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle -\Delta u\geq 0}$

を滑らかな関数とし、を連結コンパクト集合とする。が超調和関数である場合、任意の に対して、およびに依存する 定数 に対してが成り立つ 。^[8]${\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle K\subset \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle x\in K}$$${\displaystyle u(x)\geq \inf _{\Omega }u+c\lVert u\rVert _{L^{1}(K)}\;,}$$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle K}$

ディリクレエネルギー関数が意味をなすところであればどこでもラプラシアンのバージョンを定義できます。これがディリクレ形式の理論です。追加の構造を持つ空間の場合、次のようにラプラシアンのより明確な記述を与えることができます。

ラプラス演算子は、リーマン多様体上で定義されるラプラス・ベルトラミ演算子と呼ばれる楕円演算子に一般化することもできます。関数に適用されたラプラス・ベルトラミ演算子は、関数のヘッセ行列のトレース( tr ) です。 ここで、トレースは計量テンソル の逆に対して取られます。ラプラス・ベルトラミ演算子は、同様の式によって、テンソル場上で動作する演算子 (ラプラス・ベルトラミ演算子とも呼ばれる) に一般化することもできます。 $${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$

擬リーマン多様体上で利用可能なラプラス作用素の別の一般化は、外微分を使用し、これを用いて「幾何学者のラプラス演算子」は次のように表現される。 $${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

ここでδは共微分であり、ホッジスターと外微分で表現することもできる。この演算子は、上で定義した「解析者のラプラシアン」とは符号が異なっている。より一般的には、「ホッジ」ラプラシアンは微分形式 α上で次のよう に定義される。$${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

これはラプラス・ド・ラーム演算子として知られており、ワイツェンベック恒等式によってラプラス・ベルトラミ演算子と関連しています。

ラプラシアンは、特定の方法で非ユークリッド空間に一般化することができ、楕円、双曲、超双曲空間になることがあります。

ミンコフスキー空間では、ラプラス・ベルトラミ演算子はダランベール演算子 またはダランベール演算子 になります。${\displaystyle \Box }$$${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

これはラプラス作用素の一般化であり、基底空間の等長群の下で不変な微分作用素であり、時間に依存しない関数に制限されるとラプラス作用素に帰着する。ここでの計量の全体的な符号は、作用素の空間部分が負の符号を許容するように選択され、これは高エネルギー粒子物理学における通常の慣例である。ダランベール作用素は波動方程式に現れる微分作用素であるため波動作用素とも呼ばれ、質量がゼロの場合は波動方程式に帰着する クライン・ゴードン方程式の一部でもある。

物理学では、空間と時間が異なる単位で測定される場合、距離のcという追加係数が必要になります。たとえば、x方向がメートルで測定され、y方向がセンチメートルで測定される場合も、同様の係数が必要になります。実際、理論物理学者は通常、方程式を簡略化するために c = 1となる単位で作業します。

ダランベール作用素は擬リーマン多様体上の双曲型作用素に一般化されます。

• ラプラス・ベルトラミ演算子、ユークリッド空間の部分多様体とリーマン多様体および擬リーマン多様体への一般化。
• 微分幾何学におけるラプラシアン。
• 離散ラプラス演算子は、グラフとグリッド上で定義される連続ラプラス演算子の有限差分類似物です。
• ラプラシアンは、画像処理やコンピューター ビジョンでよく使われる演算子です(ガウスのラプラシアン、ブロブ検出器、スケール空間を参照)。
• リーマン幾何学の公式リストには、クリストッフェル記号によるラプラシアンの表現が含まれています。
• ワイルの補題（ラプラス方程式）。
• アーンショーの定理は、安定した静的重力、静電、または磁気懸架は不可能であることを示しています。
• 円筒座標と球座標での Del。
• ラプラシアンが定義される他の状況としては、フラクタル解析、時間スケール計算、離散外部計算などがあります。

• エヴァンス、L. (1998)、偏微分方程式、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0772-9
• ファインマン物理学講義第2巻第12章: 静電類似体
• ギルバーグ、D.;トゥルーディンガー、N. (2001)、楕円型2次偏微分方程式、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-41160-4。
• Schey, HM (1996)、Div、Grad、Curl、and All That、WW Norton、ISBN 978-0-393-96997-9。

• ラプラシアン - リチャード・フィッツパトリック 2006

• 「ラプラス演算子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「ラプラシアン」。MathWorld。
• 極座標におけるラプラシアンの導出
• フラクタル立方体とカシミール効果に関するラプラス方程式