渦度

連続体力学において、渦度は擬似ベクトル（または軸ベクトル）場であり、ある点付近の連続体の局所的な回転運動（何かが回転する傾向^{[ 1 ]} ）を、その点に位置し流れと共に移動する観測者から見たものとして記述します。これは流体力学において重要な量であり、翼の揚力発生など、さまざまな複雑な流れ現象を理解するための便利な枠組みを提供します。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

数学的には、渦度${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$は流速の回転である${\displaystyle \mathbf {v} }$: ^{[ 4 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} \,,}$

どこ${\displaystyle \nabla }$はナブラ演算子です。概念的には、${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$渦度は、問題となる点の近傍にある連続体の一部をマークし、流れに沿って移動する際のそれらの相対的な変位を観察することによって決定できる。${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$それは、それらの粒子の重心に対する平均角速度ベクトルの2倍であり、右手の法則に従って方向付けられている。渦度ベクトルは、その定義により、ソレノイド場である。${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0.}$

二次元の流れでは、${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$は常に流れの平面に垂直であり、したがってスカラー場とみなすことができる。

渦度のダイナミクスは、ジョセフソン・アンダーソン関係を通じて抗力と根本的に結びついている。^{[ 5 ] [ 6 ]}

数学的には、3次元流れの渦度は擬似ベクトル場であり、通常は次のように表される。${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$速度場の回転として定義される${\displaystyle \mathbf {v} }$連続体の運動を記述する。デカルト座標系では：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\,.\end{aligned}}}$

これをインデックス表記で表すと次のようになります。${\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{j}}}}$^{[ 7 ]}言い換えれば、渦度は、速度ベクトルに垂直な方向に微小な距離だけ移動したときに、速度ベクトルがどのように変化するかを示します。

速度が${\displaystyle z}$-座標と${\displaystyle z}$-成分では、渦度ベクトルは常に${\displaystyle z}$軸であり、したがって定数単位ベクトルを乗じたスカラー場として表現できる。${\displaystyle {\hat {z}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\,.\end{aligned}}}$

渦度は、 （古典的な）ストークスの定理によって、閉じた経路に沿った流れの循環（速度の線積分）とも関連付けられます。すなわち、法線方向を持つ任意の微小表面要素Cに対して、${\displaystyle \mathbf {n} }$およびエリア${\displaystyle dA}$循環${\displaystyle d\Gamma }$周囲に沿って${\displaystyle C}$ドット積${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {n} \,dA)}$どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$中心の渦度は${\displaystyle C}$[ ^{8 ]​}

渦度は軸ベクトルであるため、2階の反対称テンソルと関連付けることができる。${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$（いわゆる渦度または回転テンソル）は、${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$2つの量の関係は、添え字表記で次のように表される。

${\displaystyle \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\omega _{k},\qquad \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}}$

どこ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$は3次元レヴィ・チヴィタテンソルです。渦度テンソルは、単純にテンソルの反対称部分です。${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$つまり、

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {1}{2}}\left[(\nabla \mathbf {v} )^{T}-\nabla \mathbf {v} \right]\quad {\text{or}}\quad \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

剛体のように回転する連続体の塊では、渦度はその回転の角速度ベクトルの2倍になります。これは、例えばランキン渦の中心核の場合に当てはまります。^{[ 9 ]}

せん断力（つまり、流速が流線に沿って変化する場合）が存在する場合、すべての粒子が直線かつ平行な流線に沿って流れている場合でも、渦度はゼロにならないことがあります。例えば、断面積が一定の管内の層流では、すべての粒子は管の軸に平行に移動しますが、軸付近ではより速く、壁面付近ではほぼ静止しています。渦度は軸上ではゼロとなり、せん断力が最大となる壁面付近で最大となります。

逆に、粒子が曲線軌​​道に沿って移動している場合でも、流れの渦度がゼロになることがあります。その一例として、理想的な非回転渦が挙げられます。この場合、ほとんどの粒子は直線軸を中心に回転し、その速度は軸からの距離に反比例します。軸をまたがない小さな連続体の塊は、ある方向に回転しますが、反対方向にはせん断されるため、重心周りの平均角速度はゼロになります。

渦度を視覚化するもう一つの方法は、連続体のごく一部が瞬時に固体になり、残りの流れが消える様子を想像することです。その小さな新しい固体粒子が流れと共に移動するだけでなく回転している場合、流れの中に渦度が生じていることになります。下の図では、左側の図は渦度がない状態を示し、右側の図は渦度が存在する状態を示しています。

渦度場の時間的変化は、ナビエ・ストークス方程式から導出できる渦度方程式によって記述される。^{[ 10 ]}

粘性が無視できる多くの実際の流れ（より正確には、レイノルズ数が高い流れ）では、渦度場は離散的な渦の集合によってモデル化でき、渦の軸の周囲の小さな空間領域を除いて、渦度はどこでも無視できます。これは、2 次元ポテンシャル流れ（つまり、2 次元ゼロ粘性流れ）の場合に当てはまり、この場合、流れ場は複素平面上の複素数値場としてモデル化できます。

渦度は、理想的なポテンシャル流れの解がどのように摂動されて実際の流れをモデル化できるかを理解する上で有用です。一般に、粘性の存在は渦度が渦核から一般の流れ場へと拡散する原因となります。この流れは、渦度輸送方程式の拡散項によって考慮されます。^{[ 11 ]}

渦線または渦度線とは、局所渦度ベクトルに常に接する線のことです。渦線は関係式^{[ 12 ]で定義されます。}

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$はデカルト座標における渦度ベクトルです。

渦管は、連続体内の特定の（縮約可能な）閉曲線を通過するすべての渦線によって形成される連続体内の表面です。渦管の「強度」（渦束とも呼ばれる）^{[ 13 ]}は、管の断面全体にわたる渦度の積分であり、管に沿ってどこでも同じです（渦度は発散がゼロであるため）。ヘルムホルツの定理（または同等にケルビンの循環定理）の結果、非粘性流体では渦管の「強度」は時間とともに一定になります。粘性効果は摩擦損失と時間依存性をもたらします。^{[ 14 ]}

三次元の流れでは、渦度（その大きさの二乗の体積積分で測定される）は、渦線が伸びると強まることがあります。これは渦の伸長として知られる現象です。^{[ 15 ]}この現象は、流出する水の中で浴槽の渦が形成されるときや、上昇気流によって竜巻が発達するときに発生します。

• 順圧渦度方程式
• ダランベールのパラドックス
• 内反症
• 回文
• 速度ポテンシャル
• 渦
• 渦管
• 渦の伸長
• 蹄鉄型渦
• 翼端渦

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  • 「渦度方程式の解釈」
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• 「中規模圧縮性コミュニティ（MC2）リアルタイムモデル予測」（ポテンシャル渦度解析）