ポリトロープ

天体物理学において、ポリトロープとは、圧力が密度に依存し、独立状態変数が1つだけ残る熱力学系のことである。ポリトロープ過程は、等温過程と断熱過程の中間に位置する。^{[ 1 ]}^{： 3}圧力の密度依存性は、レーン・エムデン方程式の解である。 $P=K\rho ^{(n+1)/n}=K\rho ^{1+1/n},$ ここで、Pは圧力、ρは密度、Kは比例 $定数$ で $ある$ 。 $[$ 1 ]：28^定数ⁿ^は^ポリ^{トロピック}指数 $として$ 知られている。^[¹^]^：²⁴

この関係は、圧力Pをρと温度Tの両方の関数として表す状態方程式として解釈する必要はありません。ただし、ポリトロープ方程式で記述される特定の場合には、これら3つの量の間には他の追加的な関係があり、それらが合わさって方程式を決定します。したがって、これは単に半径による圧力の変化に関する仮定を半径による密度の変化で表した関係であり、レーン・エムデン方程式の解が得られます。

ポリトロープという言葉は、上記の熱力学的関係に似た状態方程式を指す場合もあります。流体自体（レーン・エムデン方程式の解ではなく）をポリトロープ流体またはポリトロープ気体と呼ぶ方が望ましいです。具体的には、ポリトロープ気体とは、比熱が一定の気体のことです。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}ポリトロープ流体の状態方程式は十分に一般的であるため、このような理想化された流体は、ポリトロープの限定された問題以外でも広く使用されています。

ポリトロープ指数（ポリトロープの）は、体積弾性率の圧力微分と等しいことが示されており^[⁴^] 、マーナハン状態方程式との関係も実証されています。したがって、ポリトロープ関係は、体積弾性率の圧力微分（ポリトロープ指数に相当）がほぼ一定となる、比較的低圧（10 ⁷Pa未満）および高圧（10 ¹⁴ Pa以上）の条件に最適です。

ポリトロピック指数によるモデル例

指数n=3のポリトロープにおける密度（平均密度で正規化）と半径（外部半径で正規化）の関係。

指数 $n =0のポリトロープは、$ 岩石惑星のモデル化によく用いられる。その理由は、 $n =0の$ ポリトロープは密度が一定、すなわち内部が非圧縮性であるためである。これは、岩石（固体／液体）惑星に対するゼロ次近似である。
中性子星は、指数が $n$ $= 0.5$ から $n$ $= 1$ の間のポリトロープによってうまくモデル化される。
$指数n = 1.5$ のポリトロープは、完全に対流している恒星の核^{[ 2 ]}^{[ 5 ]} (赤色巨星など)、褐色矮星、巨大ガス惑星(木星など)の良いモデルです。この指数では、ポリトロープ指数は 5/3 であり、これは単原子ガスの熱容量比( γ )です。ガス星の内部 (電離水素またはヘリウムのいずれかで構成されている)については、これは自然対流条件に対する理想気体近似から導かれます。
非相対論的縮退物質の状態方程式によれば、指数 $n = 1.5$ のポリトロープも低質量白色矮星の良いモデルである。^[⁶^]
相対論的縮退物質の状態方程式によれば、指数 $n = 3$ のポリトロープは、質量が大きい白色矮星の核の良質なモデルである。^[⁶^]
$指数n = 3$ のポリトロープは、少なくとも放射領域では、恒星構造のエディントン標準モデルに対応して、太陽のような主系列星をモデル化するためにも通常使用されます。^[⁷^]
$指数n = 5$ のポリトロープは無限の半径を持ちます。これは、1883 年にアーサー・シュスターによって初めて研究された、自己無撞着な恒星系の最も単純で妥当なモデルに対応し、厳密解を持ちます。
$指数n = \infty$ のポリトロープは、等温球と呼ばれるものに対応します。等温球とは、等温で自己重力を持つガス球のことで、その構造は球状星団のような衝突のない星系の構造と同一です。これは、理想気体の場合、温度はρ ^{1/nに比例するため、}n が無限大になると温度が一定になるからです。

一般的に、ポリトロピック指数が増加するにつれて、密度分布は物体の中心（ $r = 0 ）に向かってより強く偏る。$

参考文献

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↑ Weppner, SP、McKelvey, JP、Thielen, KD、Zielinski, AK、「惑星および物質モデルに適用された可変ポリトロープ指数」、 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society、第452巻、第2号（2015年9月）、1375～1393ページ、Oxford University Press。arXivにも掲載。
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