ストークス流関数

流体力学では、ストークス流れ関数は、軸対称の3 次元の非圧縮性流れにおける流線と流速を記述するために使用されます。ストークス流れ関数の値が一定である表面は、流速ベクトルに対してどこでも接線方向となる流管を囲みます。さらに、この流管内の体積流束は一定で、流れのすべての流線はこの表面上にあります。ストークス流れ関数に関連付けられた速度場はソレノイド型で、発散はゼロです。この流れ関数は、ジョージ・ガブリエル・ストークスにちなんで名付けられました。

円筒座標系（  ρ  、  φ  、  z  ）を考えてみましょう。z軸は非圧縮性_の流れが軸対称となる線、φは方位角、ρはz軸までの距離です。すると、流速成分uρとuz_はストークス流関数で次のように表すことができます。^[1]${\displaystyle \Psi}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}}$

方位角速度成分u _{φ は}流れ関数に依存しません。軸対称性のため、3 つの速度成分 (  u _ρ  、  u _φ  、  u _z  ) はすべてρとzのみに依存し、方位角φには依存しません。

ストークス流関数の定数値ψで囲まれた表面を通る体積流束は、 2π ψに等しくなります。

球座標(  r  ,  θ  ,  φ  )では、 r は原点からの半径距離、θは天頂角、φ は方位角です。 θ = 0 の回転対称軸を持つ軸対称の流れでは 、流れを記述する量は方位角φとは無関係です。 流速成分u _rとu _{θ は}、ストークス流関数と次の式で関連しています。^[2]${\displaystyle \Psi}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}}$

再び、方位角速度成分u _{φ は}ストークス流関数ψの関数ではありません。 一定ψの表面で囲まれた流管を通る体積流束は、前と同じように2π ψに等しくなります。

渦度は次のように定義されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$、 どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=-{\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}},}$

単位ベクトルは - 方向にあります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$${\displaystyle \phi \,}$

結果として、計算から渦度ベクトルは次のようになることがわかります。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.}$

円筒座標系と球面座標系は、

${\displaystyle z=r\,\cos \theta \,}$  そして  ${\displaystyle \rho =r\,\sin \theta .\,}$

一般的な流れ関数の記事で説明したように、ストークス流れ関数と流速の関係については、反対の符号規則を使用した定義も使用されています。^[3]

円筒座標では、速度場uの発散は次のようになる: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}{\Bigl (}\rho \,u_{\rho }{\Bigr )}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(-{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}\right)=0,\end{aligned}}}$

非圧縮性の流れとして予想される通りです。

球座標では^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(u_{\theta }\,\sin \theta )+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{2}\,u_{r}{\Bigr )}\\&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)=0.\end{aligned}}}$

微積分から、勾配ベクトルは曲線に垂直であることが分かっています(例:レベル セット#レベル セットと勾配を参照)。に関して の公式を使用してどこでも であることが示される場合、 の等高線は流線であることが証明されます。 ${\displaystyle \nabla \Psi }$${\displaystyle \Psi =C}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \Psi =0,}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$${\displaystyle \Psi ,}$${\displaystyle \Psi }$

円筒座標

円筒座標では、

${\displaystyle \nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}}$。

そして

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+u_{z}{\boldsymbol {e}}_{z}=-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{z}.}$

となることによって

${\displaystyle \nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial \rho }(-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z})+{\partial \Psi \over \partial z}{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }=0.}$

球座標

そして球座標では

${\displaystyle \nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }}$

そして

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+u_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }={1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{r}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{\theta }.}$

となることによって

${\displaystyle \nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial r}\cdot {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }\cdot {\Big (}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\Big )}=0.}$

• バチェラー、GK（1967）。流体力学入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-66396-2。
• ラム、H. (1994)。流体力学（第6版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-45868-9。1879 年に最初に出版され、第 6 版が 1932 年に初めて登場しました。
• ストークス、GG (1842)。「非圧縮性流体の定常運動について」。ケンブリッジ哲学協会紀要。7 :439-453。書誌コード:1848TCaPS...7..439S。
  再版：Stokes, GG (1880). Mathematical and Physical Papers, Volume I. Cambridge University Press. pp. 1–16.