コリオリ力

コリオリ力は2つのベクトルの外積に比例するため、両方のベクトル（この場合は物体の速度ベクトルと座標系の回転ベクトル）に垂直です。したがって、次のことが成り立ちます。

• 速度が回転軸に平行な場合、コリオリ力はゼロになります。例えば、地球上では、赤道上の物体が地球表面に対して北または南に運動する場合にこの状況が発生します。（ただし、赤道以外の緯度では、南北方向の運動には回転軸に垂直な成分があり、後述する内向きまたは外向きの場合によって規定される力が働きます。）
• 速度が回転軸にまっすぐ向かう場合、コリオリ力は局所的な回転方向になります。例えば、地球では、赤道上で物体が落下する場合、上記のデチャールの図のように、落下する球が塔よりも東へ遠くまで移動します。また、北半球で北に向かう場合、速度成分が回転軸に向かうため、コリオリ力は東向きになります（北に行くほど強くなります）。
• 速度が軸から真外向きの場合、コリオリ力は局所的な回転方向とは逆向きに働く。塔の例では、上向きに打ち上げられたボールは西方向へ移動する。
• 速度が回転方向と同じであれば、コリオリ力は軸から外向きに働く。例えば、地球上では、赤道上で地球表面に対して東向きに移動する物体の場合、このような状況が発生する。地表の観測者から見ると、物体は上向きに動くことになる。この効果（後述のエトヴェシュ効果を参照）は、1632年にガリレオ・ガリレイによって、1651年にリッチョーリによって議論された。^{[ 23 ]}
• 速度が回転方向と逆の場合、コリオリ力は軸の内側に作用します。例えば、地球上では、赤道上を西向きに移動する物体の場合、観測者から見ると物体は下向きに偏向します。

図は 、反時計回りに回転するメリーゴーランドの中心に向かって12時の位置から投げられたボールを示しています。最初の図では、メリーゴーランドの上方に静止している観察者からボールを​​見ています。ボールは回転による接線速度（青い矢印）と投げる人による半径方向速度（緑の矢印）によって、中心からわずかに右方向に直線的に移動します。結果として得られる合成速度は赤い実線で示され、軌跡は赤い点線で示されています。2番目の図では、メリーゴーランドと一緒に回転する観察者からボールを​​見ています。そのため、ボールを投げる人は12時の位置にいるように見え 、ボールの軌跡はわずかに湾曲しています。

この図は、回転台に投げられたボールが回転台の端で跳ね返り、投げた人に戻ってきてボールをキャッチするという、より複雑な状況を示しています。コリオリ力がボールの軌道に及ぼす影響は、回転台と一緒に回転する観測者（「カメラ」と呼ばれる）と慣性観測者の2人の観測者から見た形で再び示されています。この図は、ボールの速度が前進時と帰還時で同じであるという前提に基づいた鳥瞰図を示しています。各円の中にプロットされた点は、同じ時点を示しています。左側のパネルでは、回転の中心にあるカメラの視点から、投げた人（笑顔）とレールはどちらも固定位置にあり、ボールはレールに向かう途中で非常に大きな弧を描き、戻る途中ではより直線的な経路をたどります。ボールを投げた人の視点から見ると、ボールは戻ってきたときよりも速く戻ってきたように見えます（帰還飛行中に投げた人がボールに向かって回転しているため）。

回転木馬では、ボールをレールに向かってまっすぐ投げて跳ね返らせるのではなく、投げる人はボールを目標の右側に投げなければなりません。すると、ボールはカメラから見ると、レールに当たるまで進行方向から左に継続的に曲がっているように見えます（回転木馬が時計回りに回転しているため、左に曲がっています）。ボールは、往路と復路の両方で進行方向から左に曲がっているように見えます。この曲線軌道のため、観察者はボールに左向きの正味の力が働いていると認識する必要があります。（この力は、後述するように、静止している観察者にとっては消滅するため、「仮想的な」力です。）発射角度によっては、軌道がほぼ放射状になる部分があり、コリオリ力がボールの見かけ上の偏向の主な原因となります（遠心力は回転中心から放射状に作用し、これらの部分ではほとんど偏向を引き起こしません）。しかし、軌道が放射状から離れて曲がると、遠心力が偏向に大きく寄与します。

地上に立っている観察者から見ると、ボールの空中での軌道は直線です（右図）。右図（静止した観察者）では、ボールを投げる人（笑顔）は12時の位置にあり 、ボールが跳ね返るレールは位置 1にあります。慣性的な観察者の視点から見ると、位置 1、2、3が順番に占められます。位置 2でボールはレールに衝突し、位置 3でボールは投げた人のところに戻ります。ボールは自由飛行しているため直線軌道を描きます。したがって、この観察者は正味の力が加わっていないことを要求します。

南北軸を中心に回転する球面上の緯度φの位置を考えます。ローカル座標系は、 x軸が水平方向に真東、y軸が水平方向に真北、z軸が垂直方向に上向きとなるように設定されます。このローカル座標系で表された回転ベクトル、移動速度、およびコリオリ加速度[東(e)、北(n)、上向き(u)の順に成分を列挙]は次のようになります。^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega {\begin{pmatrix}0\\\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}}\ ,\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{\mathrm {e} }\\v_{\mathrm {n} }\\v_{\mathrm {u} }\end{pmatrix}}\ ,}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {C} }=-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} =2\,\omega \,{\begin{pmatrix}v_{\mathrm {n} }\sin \varphi -v_{\mathrm {u} }\cos \varphi \\-v_{\mathrm {e} }\sin \varphi \\v_{\mathrm {e} }\cos \varphi \end{pmatrix}}\ .}$$ 大気や海洋の力学を考慮すると、鉛直速度は小さく、コリオリ加速度の鉛直成分は${\displaystyle v_{e}\cos \varphi }$）は、重力加速度（g、地球表面付近では約9.81 m/s² ^（32.2 ft/s² ^））に比べて小さい。このような場合、水平方向（東西方向）成分のみが重要となる。上記の式を水平面に限定すると（v _u = 0と設定）、次のようになる。    $${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{\mathrm {e} }\\v_{\mathrm {n} }\end{pmatrix}}\ ,\mathbf {a} _{\mathrm {C} }={\begin{pmatrix}v_{\mathrm {n} }\\-v_{\mathrm {e} }\end{pmatrix}}\ f\ ,}$$ どこ${\displaystyle f=2\omega \sin \varphi \,}$これはコリオリパラメータと呼ばれます。

v _n = 0と設定すると、（ φとωが正の場合）真東への移動は真南への加速をもたらすことがすぐにわかります。同様に、 v _e = 0 と設定すると、真北への移動は真東への加速をもたらすことがわかります。一般に、水平方向に観察すると、加速を引き起こす移動の方向に沿って見ると、加速度は常に 90° 右に回転し（φが正の場合）、水平方向の向きに関係なく同じ大きさになります。

赤道運動の場合、φ = 0°と設定すると次のようになります。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\ ,\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{\mathrm {e} }\\v_{\mathrm {n} }\\v_{\mathrm {u} }\end{pmatrix}}\ ,}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {C} }=-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} =2\,\omega \,{\begin{pmatrix}-v_{\mathrm {u} }\\0\\v_{\mathrm {e} }\end{pmatrix}}\ .}$$この場合、 Ωは南北軸に平行である。

したがって、東向きの動き（つまり、球の回転と同じ方向）は、エトヴェシュ効果として知られる上向きの加速度を生み出し、上向きの動きは真西の加速度を生み出す。^{[ 36 ]}

コリオリ効果の最も重要な影響は、海洋と大気の大規模な力学にあると言えるでしょう。気象学や海洋学では、地球が静止している回転座標系を仮定するのが便利です。この暫定的な仮定に対応するために、遠心力とコリオリ力が導入されます。それらの相対的な重要性は、適用可能なロスビー数によって決まります。竜巻はロスビー数が大きいため、竜巻に伴う遠心力はかなり大きいものの、竜巻に伴うコリオリ力は実際には無視できるほど小さいのです。^{[ 37 ]}

海面の海流は水面上の風の動きによって駆動されるため、コリオリの力は海流やサイクロンの動きにも影響を与えます。海洋の最大の海流の多くは、ジャイアと呼ばれる暖かく高気圧の領域の周りを循環しています。循環は空気中の循環ほど顕著ではありませんが、コリオリ効果による偏向がこれらのジャイアの螺旋状のパターンを作り出します。螺旋状の風のパターンはハリケーンの形成を助けます。コリオリ効果による力が強いほど、風はより速く回転し、追加のエネルギーを獲得し、ハリケーンの強さを増します。^{[ 38 ]}

高気圧システム内の空気は、コリオリ力が半径方向内向きに働き、外向きの半径方向の圧力勾配とほぼ釣り合う方向に回転します。その結果、北半球では空気は高気圧の周りを時計回りに、南半球では反時計回りに流れます。低気圧の周りの空気は反対方向に回転し、コリオリ力が半径方向外向きに働き、内向きの半径方向の圧力勾配とほぼ釣り合います。^{[ 39 ]}

「コリオリ効果」の実際的な影響は、主に水平方向の運動によって生じる水平方向の加速度成分によって引き起こされる。

コリオリ効果には他にも要素があります。西向きに移動する物体は下向きに偏向し、東向きに移動する物体は上向きに偏向します。^{[ 45 ]}これはエトベス効果として知られています。コリオリ効果のこの側面は赤道付近で最大になります。エトベス効果によって生じる力は水平成分と似ていますが、重力と圧力による垂直方向の力がはるかに大きいため、静水圧平衡においては重要ではないと考えられます。しかし、大気中では、風は静水圧平衡からの圧力のわずかなずれと関連しています。熱帯大気では、圧力のずれのオーダーが非常に小さいため、圧力のずれに対するエトベス効果の寄与は相当なものになります。^{[ 46 ]}

さらに、上昇（つまり外向き）または下降（つまり内向き）する物体は、それぞれ西または東に偏向されます。この効果は赤道付近で最も大きくなります。垂直方向の動きは通常、範囲と期間が限られているため、効果の大きさは小さく、検出するには精密な機器が必要です。たとえば、理想化された数値モデリング研究では、大気中で長期間（2週間以上）加熱または冷却が行われると、この効果が熱帯の大規模な風場に約10%直接影響を与える可能性があることが示唆されています。^{[ 47 ] [ 48 ]}さらに、宇宙船が軌道に打ち上げられるなど、運動量が大きく変化する場合には、この効果は顕著になります。軌道への最も速く、最も燃料効率の良い経路は、赤道から打ち上げられ、真東に向かってカーブすることです。

直感的な例

赤道に沿って摩擦のない鉄道線路を走る列車を想像してみてください。列車は、走行中は1日で地球を一周するのに必要な速度（465 m/s）で移動すると仮定します。^{[ 49 ]}コリオリ効果は、列車が西向きに走行する場合、静止している場合、東向きに走行する場合の3つのケースで考えることができます。いずれの場合も、コリオリ効果はまず地球上の回転座標系から計算し、次に固定された慣性座標系と比較して検証することができます。下の図は、地球の自転軸に沿って北極上空の固定点から、（ほぼ）慣性座標系で静止している観測者から見た3つのケースを示しています。列車は数個の赤いピクセルで表され、一番左の図では左側に固定されていますが、他の図では移動しています。 ${\displaystyle \left(1{\text{日}}\mathrel {\overset {\land }{=}} 8{\text{秒}}\right):}$

1. 列車は西に向かって走行します。この場合、列車は自転方向とは逆方向に動きます。したがって、地球の自転座標系では、コリオリの力は自転軸（下向き）に向かって内向きになります。この下向きの力が加わることで、列車はその方向に走行する際に重くなるはずです。
   地球の中心上にある固定された非回転座標系からこの列車を見ると、その速度では地球がその下で自転しているにもかかわらず列車は静止したままです。したがって、列車に作用する力は重力と線路からの反力だけです。この力は、乗客と列車が静止しているとき（地球とともに回転しているとき）に受ける力よりも（0.34%）大きくなっています^{[ 49 ]}。この差が、回転座標系におけるコリオリ効果です。
2. 列車が停止すると、地球の自転座標系から見ると列車の速度はゼロになるため、コリオリ力もゼロになり、列車と乗客は元の重さに戻ります。
   地球上空の固定慣性座標系から見ると、列車は地球全体とともに回転しているように見える。重力の0.34%が、その座標系における円運動を実現するために必要な向心力となる。残りの力は、秤で測定すると、列車と乗客を以前の場合よりも「軽く」見せる効果がある。
3. 列車は東に向かって走行する。この場合、列車は地球の自転軸の方向に移動するため、コリオリの力は自転軸から外側（上向き）に働く。この上向きの力によって、列車は静止時よりもさらに軽く感じられる。

   

   地球上空の固定慣性系から見ると、東に向かって走行する列車は静止時よりも2倍の速度で回転している。そのため、円軌道を描くために必要な向心力が増加し、線路に作用する重力は減少する。これが、前の段落で説明したコリオリの力の項の意味するところである。
   最終確認として、列車と共に回転する基準系を想像してみましょう。そのような基準系は、地球の自転系の2倍の角速度で回転します。その結果、その仮想的な基準系における遠心力成分は大きくなります。列車と乗客は静止しているため、その基準系における遠心力成分はそれだけとなり、列車と乗客が前の2つのケースよりも軽くなっている理由が再び説明できます。

これは、西に向かって飛ぶ高速の飛翔体が下向きに偏向し、東に向かって飛ぶ飛翔体が上向きに偏向する理由も説明しています。このコリオリ効果の垂直成分は、エトヴェシュ効果と呼ばれています。^{[ 50 ]}

上記の例は、物体が西向きに移動しているときに接線速度が地球の自転速度（465  m/s）を超えて増加すると、エトヴェシュ効果が減少する理由を説明するために使用できます。上記の例で西向きの列車が速度を上げると、線路に作用する重力の一部が、慣性系で円運動を維持するために必要な向心力に寄与します。列車が西向きの速度を930 m/s（2,100 mph）に倍増すると、その向心力は列車が停止したときに受ける力と等しくなります。慣性系から見ると、どちらの場合も同じ速度で逆方向に回転します。したがって、力は同じになり、エトヴェシュ効果は完全に打ち消されます。930 m/s（2,100 mph）を超える速度で西向きに移動する物体は、代わりに上向きの力を受けます。図では、列車に乗せられた10キログラム（22ポンド）の物体が様々な速度で移動する際の、エトヴェシュ効果が示されています。放物線状になっているのは、向心力が接線速度の2乗に比例するためです。慣性系では、放物線の底辺は原点を中心としています。原点からずれているのは、この議論では地球の自転座標系を使用しているためです。グラフから、エトヴェシュ効果は対称ではなく、高速で西へ移動する物体が受ける下向きの力は、同じ速度で東へ移動する物体が受ける上向きの力よりも小さいことがわかります。     

よくある誤解とは異なり、浴槽、トイレ、その他の水容器は、北半球と南半球で逆方向に排水されることはありません。これは、このスケールではコリオリ力の大きさが無視できるほど小さいためです。^{[ 28 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}水の初期条件によって決まる力（例えば、排水口の形状、容器の形状、水の既存の運動量など）は、コリオリ力よりも桁違いに大きい可能性が高く、したがって、水の回転方向（もしあれば）を決定します。たとえば、両半球で同じトイレを流すと、同じ方向に排水され、この方向は主に便器の形状によって決まります。

実際の状況では、コリオリ力は水の流れの方向に目立った影響を与えません。水が非常に静止していて、地球の実効的な自転速度が容器に対する水の自転速度よりも速く、かつ外部から加えられるトルク（底面の凹凸によって生じるものなど）が十分に小さい場合にのみ、コリオリ効果が渦の方向を決定する可能性があります。このような入念な準備がなければ、コリオリ効果は、水の残留回転^{[ 55 ]や容器の形状[ 56 ]など、排水方向に影響を与える他のさまざまな要因[ 54 ]}よりもはるかに小さくなります。

コリオリ力は、非常に長距離の砲弾の軌道を計算する外部弾道学において重要です。最も有名な歴史的例は、第一次世界大戦中にドイツ軍がパリを約120 km (75マイル)の距離から砲撃するために使用したパリ砲です。コリオリ力は弾丸の軌道をわずかに変化させ、極めて長距離での精度に影響を与えます。狙撃手などの正確な長距離射撃手は、これを調整します。カリフォルニア州サクラメントの緯度では、北向きに1,000ヤード (910 m)の射撃は、右に2.8インチ (71 mm)偏向します。また、上記のエトヴェシュ効果のセクションで説明されている垂直成分もあり、これにより西向きの射撃は低く、東向きの射撃は高く着弾します。^{[ 59 ] [ 60 ]}      

弾道軌道に対するコリオリ力の影響は、メルカトル図法などの2次元（平面）地図上にミサイル、衛星、および同様の物体の軌道をプロットしたときの軌道の曲率と混同してはならない。地球の3次元曲面を2次元面（地図）に投影すると、必然的に歪んだ形状が生じる。軌道の見かけ上の曲率は地球の球形性の結果であり、回転していない座標系でも発生する。^{[ 61 ]}

移動する発射体に働くコリオリ力は、緯度と方位角の3方向すべての速度成分に依存します。方向は通常、射程方向（砲が最初に向けられている方向）、垂直方向、および射程横方向です。^{[ 62 ]： 178}

$${\displaystyle A_{\mathrm {X} }=-2\omega (V_{\mathrm {Y} }\cos \theta _{\mathrm {lat} }\sin \phi _{\mathrm {az} }+V_{\mathrm {Z} }\sin \theta _{\mathrm {lat} })}$$$${\displaystyle A_{\mathrm {Y} }=2\omega (V_{\mathrm {X} }\cos \theta _{\mathrm {lat} }\sin \phi _{\mathrm {az} }+V_{\mathrm {Z} }\cos \theta _{\mathrm {lat} }\cos \phi _{\mathrm {az} })}$$$${\displaystyle A_{\mathrm {Z} }=2\omega (V_{\mathrm {X} }\sin \theta _{\mathrm {lat} }-V_{\mathrm {Y} }\cos \theta _{\mathrm {lat} }\cos \phi _{\mathrm {az} })}$$ どこ

• ${\displaystyle A_{\mathrm {X} }}$射程距離における加速。
• ${\displaystyle A_{\mathrm {Y} }}$垂直方向の加速度で、正の値は上向きの加速度を示す。
• ${\displaystyle A_{\mathrm {Z} }}$クロスレンジ加速度。正の値は右方向への加速度を示す。
• ${\displaystyle V_{\mathrm {X} }}$射程方向の速度。
• ${\displaystyle V_{\mathrm {Y} }}$垂直速度は、正の値が上向きを示す。
• ${\displaystyle V_{\mathrm {Z} }}$横方向速度。正の値は右方向への速度を示す。
• ${\displaystyle \omega }$= 0.00007292  rad/sec、地球の角速度（恒星日に基づく）。
• ${\displaystyle \theta _{\mathrm {lat} }}$緯度は、正の値が北半球を示す。
• ${\displaystyle \phi _{\mathrm {az} }}$方位角は真北から時計回りに測定されます。

コリオリ効果の実用的な応用例として、チューブ内を流れる流体の質量流量と密度を測定する装置である質量流量計がある。動作原理は、流体が通過するチューブに振動を誘発することである。この振動は完全な円形ではないが、コリオリ効果を生み出す回転基準座標系を提供する。流量計の設計によって具体的な方法は異なるが、センサーは振動する流体チューブの周波数、位相シフト、振幅の変化を監視および分析する。観測された変化は、流体の質量流量と密度を表す。^{[ 66 ]}

多原子分子では、分子の運動は、原子が平衡位置を中心に剛体回転と内部振動を行うことで記述できます。原子の振動の結果、原子は分子の回転座標系に対して相対的に運動します。そのため、コリオリ効果が存在し、原子は元の振動に垂直な方向に動きます。これにより、分子スペクトルにおいて回転準位と振動準位が混ざり合い、そこからコリオリ結合定数を決定できます。^{[ 67 ]}

ハエ（双翅目）や一部のガ（鱗翅目）は、体の角速度に関する情報を伝える特殊な付属肢や器官を用いて、飛行中にコリオリ効果を利用している。これらの付属肢の直線運動によって生じるコリオリ力は、昆虫の体の回転座標系内で検出される。ハエの場合、その特殊な付属肢は、翅のすぐ後ろにあるダンベル型の器官で、「平均棍」と呼ばれる。^{[ 68 ]}

ハエの平均棍は主翅と同じ拍動周波数で平面内で振動するため、体の回転によって平均棍が運動面から横方向にずれることになる。^{[ 69 ]}

ガでは、触角がハエの平均棍と同様にコリオリ力を感知する役割を担っていることが知られている。 ^{[ 70 ]}ハエとガの両方において、付属肢の基部にある機械受容器群は、ピッチ面とロール面の回転に対応するビート周波数と、ヨー面の回転に対応するビート周波数の2倍の周波数でのずれに敏感である。^{[ 71 ] [ 70 ]}

天文学では、ラグランジュ点とは、2 つの大きな天体の軌道面上の 5 つの位置であり、重力のみの影響を受ける小さな物体が 2 つの大きな天体に対して安定した位置を維持できる点です。最初の 3 つのラグランジュ点 (L ₁、 L ₂、 L ₃ ) は 2 つの大きな天体を結ぶ線上にあり、最後の 2 つの点 (L ₄と L ₅ ) はそれぞれ 2 つの大きな天体と正三角形を形成します。L ₄と L ₅の点は、 2 つの大きな天体とともに回転する座標系における有効ポテンシャルの最大値に対応しますが、コリオリ効果により安定しています。 ^{[ 72 ]}この安定性により、L ₄または L _{5の周りを回る軌道}(オタマジャクシ軌道として知られ、トロヤ群が見つかることがあります) が生じる可能性があります。また、L ₃、L ₄、および L _{5を囲む軌道 (}馬蹄形軌道として知られています)が生じる可能性もあります。