ストークスの流れ

ストークス方程式は、特に非圧縮性ニュートン流体の場合において、完全なナビエ・ストークス方程式を大幅に簡略化したものである。 ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 9 ] [ 10 ]}これらは、完全なナビエ・ストークス方程式の主要項簡略化であり、特定の極限において有効である。${\displaystyle \mathrm {Re} \to 0.}$

即時性

ストークス流れは、時間依存の境界条件を除いて、時間に依存しません。つまり、ストークス流れの境界条件が与えられれば、他の時点での流れを知らなくても、その流れを求めることができます。

時間反転

瞬間性の直接的な結果として、時間反転性とは、時間反転したストークス流れが元のストークス流れと同じ方程式を解くことを意味します。この性質は、（境界条件の線形性と対称性と組み合わせて）流れを完全に解くことなく、流れに関する結果を導き出すために利用できる場合があります。時間反転性は、クリープ流れを用いて2つの流体を混合することが困難であることを意味します。

これらの性質は非圧縮性ニュートン流体ストークス流れには当てはまるが、非ニュートン流体の非線形性や時間依存性のため、より一般的な場合には当てはまらない。

テイラー・クエット系では、同心円状の流体シリンダーが互いに螺旋状に移動する層流を作り出すことができます。^{[ 14 ]}コーンシロップのような高粘度の流体が2つのシリンダー間の隙間を満たし、透明な外側のシリンダーを通して流体の着色領域が見えます。シリンダーは互いに低速で回転し、流体の高粘度と隙間の薄さによりレイノルズ数が低くなるため、色の見かけ上の混合は実際には層流であり、その後、ほぼ初期状態に戻すことができます。これにより、流体を混合し、ミキサーの方向を反転させることで混合を解除するという劇的なデモンストレーションが実現します。^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

速度ベクトルを展開すると${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$同様に、物体の力ベクトル${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$ベクトル方程式を明示的に記述すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

これらの式は、以下の仮定に基づいて導き出されます。${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$そして密度${\displaystyle \rho }$は定数である。^{[ 9 ]}

ヘレ・ショー流れは、慣性力が無視できる形状の一例です。これは、非常に接近して配置された2枚の平行板によって定義され、板間の空間は流体と、板に垂直な発生器を持つ円筒形の障害物によって部分的に占められています。^{[ 9 ]}

ストークス流れにおける細長体理論は、幅に比べて長さが大きい物体の周りの非回転流場を決定するための単純な近似法である。この方法の基本は、流れの特異点の分布を線に沿って選択し（物体が細長であるため）、それらの非回転流と一様な流れの組み合わせが、法線速度がゼロであるという条件をほぼ満たすようにすることである。^{[ 9 ]}

ホレス・ラムの一般的な解決策は、圧力が${\displaystyle p}$これはラプラス方程式を満たし、球面座標系における固体球面調和関数の級数展開が可能である。その結果、ストークス方程式の解は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$そして${\displaystyle \chi _{n}}$次数が固体球面調和関数である${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

そして${\displaystyle P_{n}^{m}}$は関連するルジャンドル多項式です。ラムの解は、球の内部または外部の流体の動きを記述するために使用できます。たとえば、表面の流れが規定された球状粒子の周りの流体の動き、いわゆるスクワーマー、または球状の液滴の内部の流れを記述するために使用できます。内部の流れの場合、 の項は${\displaystyle n<0}$は削除され、外部フローの場合は、${\displaystyle n>0}$削除される（多くの場合、慣習${\displaystyle n\to -n-1}$（負の数によるインデックス付けを避けるため、外部フローに対しては と仮定される）。^{[ 1 ]}

移動する球体に対する抗力、すなわちストークスの解を以下にまとめる。半径の球体が与えられた場合${\displaystyle a}$速度で移動${\displaystyle U}$動粘性を持つストークス流体において${\displaystyle \mu }$抗力${\displaystyle F_{D}}$は次のように与えられる：^{[ 9 ]}

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

ストークス解は、同じ境界速度を持つ他のどのソレノイドベクトル場よりもエネルギー散逸が少ない。これはヘルムホルツ最小散逸定理として知られている。^{[ 1 ]}

ローレンツの相反定理は、同一領域内の2つのストークス流れ間の関係を述べている。流体で満たされた領域を考えてみよう。${\displaystyle V}$表面によって囲まれている${\displaystyle S}$速度場を${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {u} '}$領域内でストークス方程式を解く${\displaystyle V}$それぞれに対応する応力場${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$そして${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$すると、次の等式が成り立つ。

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

どこ${\displaystyle \mathbf {n} }$表面上の単位法線は${\displaystyle S}$ローレンツの相反定理は、ストークス流れが内側の閉じた表面から外側の囲む表面へ全力とトルクをそのまま「伝達」することを示すために使用できます。^{[ 1 ]}ローレンツの相反定理は、シアノバクテリア などの微生物の遊泳速度を、繊毛や鞭毛による体形状の変形によって規定される表面速度と関連付けるためにも使用できます。^{[ 19 ]}ローレンツの相反定理は、弾性流体力学理論の文脈で、低レイノルズ数 で弾性界面の表面に接して移動する固体物体に作用する揚力を導出するためにも使用されています。^{[ 20 ] [ 21 ]}

ファクセンの法則は、多重極モーメントを周囲の流れとその導関数で表す直接的な関係です。最初にヒルディング・ファクセンによって力を計算するために開発されました。${\displaystyle \mathbf {F} }$、トルク、${\displaystyle \mathbf {T} }$球面上では、それらは次のような形をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \mu }$は動粘度であり、${\displaystyle a}$は粒子の半径です。${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$周囲の流れは、${\displaystyle \mathbf {U} }$は粒子の速度であり、${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$は背景流の角速度であり、${\displaystyle \mathbf {\omega } }$は粒子の角速度である。

ファクセンの法則は、楕円体、回転楕円体、球状液滴などの他の形状のモーメントを記述するように一般化することができる。^{[ 1 ]}