ジェフリー・ハメル流

流体力学 において、ジェフリー・ハメル流れは、 2 つの平面壁の交点に流体体積のソースまたはシンクがある収束または発散チャネルによって生成される流れです。これは、ジョージ・バーカー・ジェフリー(1915 年) ^{[ 1 ]}とゲオルク・ハメル(1917 年) ^{[ 2 ] [ 3 ]}にちなんで名付けられましたが、その後、フォン・カルマンとレヴィ・チヴィタ^{[ 4 ]} 、ウォルター・トルミエン[ ⁵ ] 、F. ネーター^{[ 6 ]} 、WR ディーン^{[ 7 ]}、ローゼンヘッド^{[ 8 ]}、ランダウ^{[ 9 ]}、GK バチェラー^{[ 10 ]など、多くの主要な科学者によって研究されました。完全な解のセットは、} 1962 年にエドワード・フランケルによって記述されました^{。[ 11 ]}

一定の体積流量を持つ2つの静止した平面壁を考える${\displaystyle Q}$平面壁の交点で注入/吸引され、2つの壁がなす角度は${\displaystyle 2\alpha }$円筒座標系を取る${\displaystyle (r,\theta ,z)}$システム${\displaystyle r=0}$交点を表し、${\displaystyle \theta =0}$センターラインと${\displaystyle (u,v,w)}$は対応する速度成分である。プレートが軸方向に無限に長い場合、結果として生じる流れは二次元となる。${\displaystyle z}$方向、またはプレートは長いが有限である場合、エッジ効果を無視すれば、同じ理由で流れは完全に放射状であると仮定できます。${\displaystyle u=u(r,\theta ),v=0,w=0}$。

すると、連続の式と非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は次のように簡略化される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (ru)}{\partial r}}&=0,\\[6pt]u{\frac {\partial u}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {u}{r^{2}}}\right]\\[6pt]0&=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {2\nu }{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}\end{aligned}}}$

境界条件は両壁面における滑りなし条件であり、3つ目の条件は、交点において注入／吸引される体積流量が、任意の半径の表面全体で一定であるという事実から導き出される。

${\displaystyle u(\pm \alpha )=0,\quad Q=\int _{-\alpha }^{\alpha }ur\,d\theta }$

最初の式は、${\displaystyle ru}$は単に${\displaystyle \theta }$関数は次のように定義されます。

${\displaystyle F(\theta )={\frac {ru}{\nu }}.}$

著者によって関数の定義は異なり、例えばランダウ^{[ 9 ]}は係数を用いて関数を定義している。${\displaystyle 6}$しかし、ウィザム^{[ 12 ]} 、ローゼンヘッド^{[ 13 ]}に続いて、${\displaystyle \theta }$運動量方程式は次のようになる

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}={\frac {2\nu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {dF}{d\theta }}}$

現在入居中

${\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}={\frac {\nu ^{2}}{r^{2}}}P(\theta ),}$

の${\displaystyle r}$そして${\displaystyle \theta }$運動量方程式は以下のように簡略化される

${\displaystyle P=-{\frac {1}{2}}(F^{2}+F'')}$

${\displaystyle P'=2F',\quad \Rightarrow \quad P=2F+C}$

そしてこれを前の式に代入すると（圧力を消去するため）、

${\displaystyle F''+F^{2}+4F+2C=0}$

を掛ける${\displaystyle F'}$そして一度統合すると、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}F^{3}+2F^{2}+2CF=D,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F^{3}+6F^{2}+6CF-3D)=0}$

どこ${\displaystyle C,D}$は境界条件から決定される定数である。上記の式は、他の3つの定数を用いて簡便に書き直すことができる。${\displaystyle a,b,c}$3次多項式の根として、2つの定数のみが任意であり、3番目の定数は常に他の2つの定数から得られる。なぜなら根の和は${\displaystyle a+b+c=-6}$。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F-a)(F-b)(F-c)=0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F'^{2}-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)=0.}$

境界条件は以下のように簡略化される。

${\displaystyle F(\pm \alpha )=0,\quad {\frac {Q}{\nu }}=\int _{-\alpha }^{\alpha }F\,d\theta }$

どこ${\displaystyle Re=Q/\nu }$は対応するレイノルズ数です。解は楕円関数で表すことができます。収束流の場合${\displaystyle Q<0}$解決策はすべての人にとって存在する${\displaystyle Re}$しかし、発散流の場合${\displaystyle Q>0}$解決策は特定の範囲でのみ存在する${\displaystyle Re}$。

出典: ^{[ 14 ]}

この方程式は減衰のない非線形振動子（3次ポテンシャルを持つ）と同じ形式をとるので、${\displaystyle \theta }$時間です、${\displaystyle F}$変位であり、${\displaystyle F'}$は単位質量の粒子の速度であり、この式はエネルギー方程式を表します(${\displaystyle K.E.+P.E.=0}$、 どこ${\displaystyle K.E.={\frac {1}{2}}F'^{2}}$そして${\displaystyle P.E.=V(F)}$）全エネルギーがゼロの場合、位置エネルギーは

${\displaystyle V(F)=-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)}$

どこ${\displaystyle V\leq 0}$運動している。粒子は${\displaystyle F=0}$のために${\displaystyle \theta =-\alpha }$そして、${\displaystyle F=0}$のために${\displaystyle \theta =\alpha }$検討すべきケースは2つあります。

• 最初のケース ${\displaystyle b,c}$は複雑な共役であり、${\displaystyle a>0}$粒子は${\displaystyle F=0}$有限の正の速度で到達し、${\displaystyle F=a}$その速度は${\displaystyle F'=0}$加速度は${\displaystyle F''=-dV/dF<0}$そして戻る${\displaystyle F=0}$ 最終時刻において、粒子の運動は${\displaystyle 0<F<a}$純粋な流出運動を表すのは${\displaystyle F>0}$また、それは対称です${\displaystyle \theta =0}$。
• 2番目のケース ${\displaystyle c<b<0<a}$、すべての定数は実数です。${\displaystyle F=0}$に${\displaystyle F=a}$に${\displaystyle F=0}$これは、前のケースと同様に、純粋な対称流出を表しています。そして、その動きは${\displaystyle F=0}$に${\displaystyle F=b}$に${\displaystyle F=0}$と${\displaystyle F<0}$常に（${\displaystyle -\alpha \leq \theta \leq \alpha }$）は純粋な対称流入を表します。しかし、粒子はの間で振動することもあります。${\displaystyle b\leq F\leq a}$流入領域と流出領域の両方を表し、流れはもはや対称である必要はない${\displaystyle \theta =0}$。

この動的解釈の豊かな構造は、ローゼンヘッド（1940）に見出すことができる。^{[ 8 ]}

純粋な流出の場合、${\displaystyle F=a}$で${\displaystyle \theta =0}$支配方程式を積分すると、

${\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{F}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}$

境界条件は次のようになる

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\alpha }{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}$

これらの方程式は、例えばジェフリーズ^{[ 15 ]}に示されている標準的な変換によって簡略化できます。

• 最初のケース ${\displaystyle b,c}$は複雑な共役であり、${\displaystyle a>0}$につながる

${\displaystyle F(\theta )=a-{\frac {3M^{2}}{2}}{\frac {1-\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}{1+\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}}}$

${\displaystyle M^{2}={\frac {2}{3}}{\sqrt {(a-b)(a-c)}},\quad \kappa ^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {a+2}{2M^{2}}}}$

どこ${\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} }$はヤコビ楕円関数である。

• 2番目のケース ${\displaystyle c<b<0<a}$につながる

${\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(m\theta ,k)}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}.}$

純粋な流入の場合、陰解は次のように与えられる。

${\displaystyle \theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{F}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}}$

境界条件は次のようになる

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{0}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{\alpha }^{0}{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.}$

純粋な流入は、すべての定数が実数である場合にのみ可能です。${\displaystyle c<b<0<a}$そして解は次のように与えられる。

${\displaystyle F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(K-m\theta ,k)=b+6k^{2}m^{2}\operatorname {cn} ^{2}(K-m\theta ,k)}$

${\displaystyle m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}}$

どこ${\displaystyle K(k^{2})}$これは第一種完全楕円積分です。

チャネル内のジェフリー・ハメル流れは、さまざまな影響について、Turkyilmazoglu ^{[ 16 ]}、Ganji ^{[ 17 ]}、Saumy Mittal ^{[ 18 ]}、M. Mohan などの研究者によって研究されてきました。収束チャネルでは流体速度は減少しますが、ウィリアムソン数と粘度パラメータが高い場合、発散チャネルでは流体速度が大幅に増加することが観察されました。流体の温度はこれらのパラメータとともにわずかに上昇しますが、表面摩擦係数は収束チャネルと発散チャネルの両方で減少します。また、特に収縮壁条件と高いエッカート数の下では、発散チャネルで熱伝達がより効果的に強化されることもわかりました。^{[ 18 ]}