マッハ数

マッハ数（マッハさん、 MまたはMa）は、多くの場合単にMach（/ m ɑː k /、ドイツ語: [max]）と呼ばれ、境界を通過する流速と局所的な音速の比を表す流体力学における無次元量です。 [ 1 ] [ 2 ]オーストリアの物理^学者で哲学者のエルンスト・マッハ にちなんで名付けられました 。

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}},}$

どこ：

Mは局所マッハ数であり、

uは境界（流れの中にある物体などの内部境界、またはチャネルなどの外部境界）に対する局所的な流れの速度であり、

c は媒体中の音速であり、空気中では熱力学的温度の平方根に応じて変化します。

定義により、マッハ 1 では、局所的な流速u は音速に等しくなります。マッハ 0.65 では、u は音速の 65% (亜音速) になり、マッハ 1.35 では、u は音速より 35% 速くなります (超音速)。高高度航空宇宙機のパイロットは、飛行マッハ数を使用して機体の実際の 対気速度を表しますが、機体の周囲の流れ場は 3 次元で変化し、それに応じて局所的なマッハ数も変化します。

局所的な音速、つまりマッハ数は、周囲のガスの温度に依存します。マッハ数は主に、流れを非圧縮性の流れとして扱うための近似値を決定するために使用されます。媒体は、ガスまたは液体です。境界は、媒体内を移動している場合もあれば、媒体が境界に沿って流れている間に境界が静止している場合もあります。または、境界と媒体が異なる速度で移動している場合もあります。重要なのは、境界と媒体の相対速度です。境界は、媒体に浸漬された物体の境界、または媒体を導くノズル、ディフューザー、風洞などのチャネルの境界です。マッハ数は 2 つの速度の比として定義されるため、無次元量です。M  < 0.2–0.3 で流れが準定常かつ等温である場合、圧縮性の影響は小さく、簡略化された非圧縮性流れ方程式を使用できます。^{[1] [2]}

マッハ数は、物理学者で哲学者のエルンスト・マッハにちなんで名付けられました^[3]。これは、1929年に航空技術者のヤコブ・アッケレットが提案したものです^[4]。マッハという単語は固有名詞に由来するため常に大文字で表記されます。また、マッハ数は測定単位ではなく無次元量であるため、数字はマッハという単語の後に来ます。2番目のマッハ数は2マッハ（またはマッハ数）ではなくマッハ 2です。これは、初期の近代的な海洋測深単位記号（ファゾムの同義語）を彷彿とさせます。海洋測深単位記号も単位が先で、マッハという用語の使用に影響を与えた可能性があります。音速を超える人間の飛行の前の10年間、航空技術者は音速をマッハ数と呼び、マッハ1とは呼びませんでした^[5]。 

マッハ数は、流体の流れの圧縮特性の尺度です。流体（空気）は、他の変数に関係なく、特定のマッハ数で圧縮性の影響を受けて同様に動作します。^[6]国際標準大気、平均海面の乾燥空気、標準温度15°C（59°F）でモデル化されるように、音速は毎秒340.3メートル（1,116.5フィート/秒、761.23マイル/時、1,225.1km/時、661.49ノット）です。^{[7]音速は一定ではなく、気体内では}絶対温度の平方根に比例して増加し、大気温度は一般に海面から11,000メートル（36,089フィート）の間で高度が上がるにつれて低下するため、音速も低下します。たとえば、標準大気モデルでは、高度 11,000 メートル (36,089 フィート) で温度が -56.5 °C (-69.7 °F) まで低下し、対応する音速 (マッハ 1) は 295.0 メートル/秒 (967.8 フィート/秒、659.9 マイル/時、1,062 km/時、573.4 ノット) となり、これは海面値の 86.7% になります。

流れの圧縮性の尺度として、マッハ数は連続の方程式を適切にスケーリングすることで導くことができます。^[8]一般的な流体の流れに対する完全な連続の方程式は、次のようになります。ここで、 は物質微分、は密度、 は流速です。等エントロピー圧力による密度変化の場合、は音速です。次に、この関係を説明するために連続の方程式を少し修正します。次のステップでは、変数を次のように無次元化します。ここで、 は特性長さスケール、は特性速度スケール、は基準圧力、 は基準密度です。すると、連続の方程式の無次元化された形式は次のように書くことができます。ここで、マッハ数 です。 の極限では、連続の方程式は に簡約されます。これは、非圧縮性流れに対する標準的な要件です。 $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {u}})=0\equiv -{1 \over {\rho }}{D\rho \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$${\displaystyle D/Dt}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\bf {u}}}$${\displaystyle dp=c^{2}d\rho }$${\displaystyle c}$$${\displaystyle -{1 \over {\rho c^{2}}}{Dp \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$$${\displaystyle {\bf {x}}^{*}={\bf {x}}/L,\quad t^{*}=Ut/L,\quad {\bf {u}}^{*}={\bf {u}}/U,\quad p^{*}=(p-p_{\infty })/\rho _{0}U^{2},\quad \rho ^{*}=\rho /\rho _{0}}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p_{\infty}}$${\displaystyle \rho_{0}}$$${\displaystyle -{U^{2} \over {c^{2}}}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}\implies -{\text{M}}^{2}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}}$$${\displaystyle {\text{M}}=U/c}$${\displaystyle {\text{M}}\rightarrow 0}$${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {u}}=0}$

亜音速と超音速という用語は、最も純粋な意味では、それぞれ局所的な音速より低い速度と高い速度を指しますが、空気力学者はマッハ値の特定の範囲について話すときに同じ用語を使用することがよくあります。これは、飛行（自由流）M = 1 の周囲に遷音速領域が存在するために発生し、亜音速設計に使用されるナビエ-ストークス方程式の近似は適用されなくなります。最も単純な説明は、自由流マッハ数がこの値より低い場合でも、機体の周囲の流れが局所的に M = 1 を超え始めるというものです。

一方、超音速領域は通常、線形化理論を使用できるマッハ数のセットについて話すために使用されます。この場合、たとえば、（空気）の流れは化学反応せず、空気と車両間の熱伝達は計算で無視できます。

次の表では、マッハ値の範囲または状態について言及しており、亜音速および超音速という言葉の純粋な意味について言及しているわけではありません。

一般的に、NASA は、マッハ数が 10 から 25 までのものを超極超音速と定義し、マッハ数が 25 を超えるものを再突入速度と定義しています。この領域で運航する航空機には、スペース シャトルや開発中のさまざまな宇宙飛行機が含まれます。

飛行は、おおまかに 6 つのカテゴリに分類できます。

比較すると、低地球軌道に必要な速度は、高高度の空気中で約 7.5 km/s = マッハ 25.4 です。

遷音速では、物体の周囲の流れ場には亜音速と超音速の両方の部分が含まれます。遷音速期間は、物体の周囲に M > 1 の流れの最初の領域が現れたときに始まります。翼型 (航空機の翼など) の場合、これは通常、翼の上部で発生します。超音速の流れは、通常の衝撃波でのみ亜音速まで減速できます。これは通常、後縁の前で発生します。(図 1a)

速度が増加すると、M > 1 の流れの領域が前縁と後縁の両方に向かって増加します。M = 1 に達して通過すると、垂直衝撃が後縁に達し、弱い斜め衝撃になります。流れは衝撃上で減速しますが、超音速のままです。垂直衝撃は物体の前方に生成され、流れ場の唯一の亜音速領域は物体の前縁の周りの小さな領域です。(図 1b)

図1. 翼周りの遷音速気流のマッハ数; M < 1 (a) および M > 1 (b)。

航空機がマッハ 1 (つまり音速の壁) を超えると、航空機のすぐ前方に大きな圧力差が生じます。この急激な圧力差は衝撃波と呼ばれ、航空機から後方および外側に円錐状に広がります (いわゆるマッハコーン)。この衝撃波が、高速で移動する航空機が頭上を通過するときに聞こえるソニックブームを引き起こします。航空機内の人にはこの音は聞こえません。速度が速いほどコーンの幅は狭くなります。M = 1 を少し超えるとコーンとはほとんど言えなくなり、わずかに凹んだ平面に近くなります。

完全に超音速になると、衝撃波は円錐形になり始め、流れは完全に超音速になります。または、鈍い物体の場合は、物体の先端と物体が前方に作り出す衝撃波の間に、非常に小さな亜音速の流れ領域だけが残ります。(鋭い物体の場合は、先端と衝撃波の間に空気はありません。衝撃波は先端から始まります。)

マッハ数が増加すると、衝撃波の強さも増加し、マッハコーンはますます狭くなります。流体の流れが衝撃波を横切ると、その速度は低下し、温度、圧力、密度が増加します。衝撃が強いほど、変化は大きくなります。マッハ数が十分に高くなると、衝撃波上の温度が非常に高くなり、衝撃波の後ろのガス分子のイオン化と解離が始まります。このような流れは極超音速と呼ばれます。

極超音速で移動する物体は、機首の衝撃波の後ろのガスと同じ極端な温度にさらされることは明らかであり、そのため耐熱材料の選択が重要になります。

チャネル内の流れが超音速になると、1 つの大きな変化が起こります。質量流量保存則により、チャネルを縮小すると流速が上昇する (つまり、チャネルを狭くすると空気の流れが速くなる) ことが予想され、亜音速ではこれが当てはまります。ただし、流れが超音速になると、流れの面積と速度の関係は逆転します。チャネルを拡張すると、実際には速度が上昇します。

明らかな結論は、流れを超音速まで加速するには、収束部で流れを音速まで加速し、発散部で加速を継続する収束-発散ノズルが必要であるということです。このようなノズルはラバルノズルと呼ばれ、極端な場合には極超音速（20 °C でマッハ 13（15,900 km/h、9,900 mph））に 到達できます。

航空機のマッハ計または電子飛行情報システム ( EFIS ) は、よどみ圧 (ピトー管) と静圧 から算出したマッハ数を表示できます。

音速が分かっている場合、航空機が飛行しているマッハ数は次のように計算できる。

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}}}$

どこ：

Mはマッハ数である

uは移動する航空機の速度であり、

cは与えられた高度（正確には温度）における音速である。

音速は熱力学的温度によって次のように変化します。

${\displaystyle c={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot T}},}$

どこ：

${\displaystyle \gamma \,}$定圧のガスの比熱と定積の熱の比（空気の場合は1.4）

${\displaystyle R_{*}}$空気の特定の気体定数です。

${\displaystyle T,}$静的空気温度です。

音速が分からない場合は、様々な空気圧（静的および動的）を測定し、マッハ数が1.0未満のベルヌーイの式から導かれる次の式を使用してマッハ数を決定することができます。空気を理想気体と仮定すると、亜音速圧縮性流のマッハ数を計算する式は次のとおりです。^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right]}}\,}$

どこ：

q _{c は}衝撃圧力（動圧）であり、

pは静圧である

${\displaystyle \gamma \,}$定圧のガスの比熱と定積の熱の比（空気の場合は1.4）

超音速圧縮性流れにおけるマッハ数を計算する式は、レイリー超音速ピトー方程式から導かれます。

${\displaystyle {\frac {p_{t}}{p}}=\left[{\frac {\gamma +1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\right]^{\​​frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[{\frac {\gamma +1}{1-\gamma +2\gamma \,\mathrm {M} ^{2}}}\right]^{\​​frac {1}{\gamma -1}}}$

マッハ数は温度と真対気速度の関数です。ただし、 航空機の飛行計器は温度ではなく圧力差を使用してマッハ数を計算します。

空気が理想気体であると仮定すると、亜音速圧縮流におけるマッハ数を計算する式は、M < 1（上記）のベルヌーイの式から得られる。^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {5\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {2}{7}}-1\right]}}\,}$

超音速圧縮性流れにおけるマッハ数を計算する式は、空気のパラメータを使用してレイリー超音速ピトー方程式 (上記) から求めることができます。

${\displaystyle \mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}}$

どこ：

q _{c は、}通常の衝撃の背後で測定された動圧です。

見てわかるように、M は方程式の両辺に現れており、実用上は数値解を求めるために根探索アルゴリズムを使用する必要があります (方程式はM ^2の分離方程式であり、これらのいくつかは明示的に解くことができますが、アーベル-ルフィニの定理により、これらの多項式の根の一般的な形式は存在しないことが保証されています)。最初に、亜音速方程式から M を計算して、M が実際に 1.0 より大きいかどうかを判断します。その時点で M が 1.0 より大きい場合は、亜音速方程式の M の値が超音速方程式の固定点反復の初期条件として使用され、通常は非常に急速に収束します。^[9]代わりに、ニュートン法を使用することもできます。

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• 音速 – 弾性媒体を通過する音波の速度
• 真対気速度 – 航空機が飛行している空気塊に対する航空機の速度
• 桁数（速度）  – 広範囲の速度の比較

• ガスダイナミクスツールボックス 完全ガスと不完全ガスの混合物のマッハ数と通常の衝撃波パラメータを計算します。
• NASA のマッハ数に関するページ。マッハ数のインタラクティブな計算機。
• NewByte 標準大気計算機と速度変換器