ストークス問題

流体力学において、ストークス問題はストークス第二問題とも呼ばれ、ストークス境界層や振動境界層とも呼ばれ、ジョージ・ストークス卿にちなんで名付けられた、振動する固体表面によって生成される流れを決定する問題です。これは、ナビエ・ストークス方程式の正確な解を持つ最も単純な非定常問題の1つと考えられています。^{[1] [2]}乱流では、これは依然としてストークス境界層と呼ばれていますが、流れに関する有用な情報を得るには、 実験、数値シミュレーション、または近似法に頼る必要があります。

無限に長い板が方向に速度で振動しており、 が流体の無限領域にあるとする。ここで は振動の周波数である。非圧縮ナビエ・ストークス方程式は次のように表される。 ${\displaystyle U\cos\omega t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

ここで は動粘性である。圧力勾配は問題には関係しない。壁面における 初期の滑りのない状態は${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle u(0,t)=U\cos \omega t,\quad u(\infty ,t)=0,}$

2 番目の境界条件は、 の動きが無限遠では感じられないという事実によるものです。流れはプレートの動きのみによるもので、圧力勾配は課せられません。 ${\displaystyle y=0}$

周期性のため初期条件は不要である。方程式と境界条件は両方とも線形なので、速度は複素関数の実部として表すことができる。

${\displaystyle u=U\Re \left[e^{i\omega t}f(y)\right]}$

なぜなら。 ${\displaystyle \cos \omega t=\Re e^{i\omega t}}$

これを偏微分方程式に代入すると常微分方程式になる。

${\displaystyle f''-{\frac {i\omega }{\nu }}f=0}$

境界条件付き

${\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}$

上記の問題の解決策は

${\displaystyle f(y)=\exp \left[-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}y\right]}$

${\displaystyle u(y,t)=Ue^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)}$

振動板によって生じた乱れは、流体中を横波として伝わりますが、指数関数によって大幅に減衰します。この波の浸透深さは、振動の周波数とともに減少しますが、流体の動粘性とともに増加します。 ${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$

流体によってプレートに及ぼされる単位面積あたりの力は

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}={\sqrt {\rho \omega \mu }}U\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

プレートの振動と発生する力の間には位相のずれがあります。

振動するストークス流に対するストークスの解から得られる重要な観察は、渦度振動が薄い境界層に限定され、壁から離れるにつれて指数関数的に減衰するということである。 ^[7]この観察は乱流境界層の場合にも有効である。ストークス境界層（多くの場合、流体体積の大部分を占める）の外側では、渦度振動は無視できる。近似的には、流速振動は境界層外側では非回転であり、運動の振動部分にポテンシャル流理論を適用できる。これにより、これらの流れの問題の解決が大幅に簡素化され、音波や水波の非回転流領域でよく適用される。

流体領域が高さにある上部の静止壁で囲まれている場合、流速は次のように表される。 ${\displaystyle y=h}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]}$

どこ。 ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\omega /(2\nu )}}}$

流体領域の範囲が自由表面を表すと仮定すると、 1968年にChia-Shun Yihによって示された解^[8]は次のように与えられる。 ${\displaystyle 0<y<h}$${\displaystyle y=h}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U\cos h/\delta \,\mathrm {cosh} \,h/\delta }{2(\cos ^{2}h/\delta +\ mathrm {sinh} ^{2}h/\delta )}}\Re \left\{W+W^{*}-i\mathrm {tanh} \,h/\delta \,\tan h/\delta \,(WW^{*})\right\},\qquad W=\mathrm {cosh} [(1+i)(hy)/\delta ]e^{i\omega t}}$

どこ${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}.}$

プレートが静止している状態で振動する遠距離場の流れのケースは、解の線形重ね合わせを使用して、振動するプレートの前の解から簡単に構築できます。プレートから遠く離れた場所での均一な速度振動と、プレートでの速度がゼロになることを検討してください。元の問題の静止流体とは異なり、ここでは無限遠での圧力勾配は時間の調和関数である必要があります。したがって、解は次のように与えられます。 ${\displaystyle u(\infty ,t)=U_{\infty }\cos \omega t}$${\displaystyle u(0,t)=0}$

${\displaystyle u(y,t)=U_{\infty }\left[\,\cos \omega t-{\text{e}}^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\,\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)\right],}$

これは壁y = 0ではゼロであり、静止した壁の滑りなしの条件に対応します。この状況は、固体壁の近くの音波や、水波の海底近くの流体運動でよく見られます。静止した壁の近くの振動流の渦度は、振動するプレートの場合の渦度に等しく、符号が反対です。

無限に長い半径の円筒が、角速度（ここでは周波数）でねじり振動している様子を考えてみましょう。すると、速度は初期の過渡期の後に^{[9]に近づきます。}${\displaystyle a}$${\displaystyle \Omega \cos \omega t}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle v_{\theta }=a\Omega \ \Re \left[{\frac {K_{1}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

ここで、は第二種修正ベッセル関数である。この解は実引数^[10]で次のように表される 。 ${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\left(r,t\right)&=\Psi \left\lbrace \left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)+{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\cos \left(t\right)\right.\\&+\left.\left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)-{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\sin \left(t\right)\right\rbrace \\\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \Psi =\left[{\textrm {kei}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)+{\textrm {ker}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)\right]^{-1},}$

${\displaystyle \mathrm {kei} }$および はケルビン関数であり、 はとして定義される無次元振動レイノルズ数であり、 は動粘性です。 ${\displaystyle \mathrm {ker} }$${\displaystyle R_{\omega }}$${\displaystyle R_{\omega }=\omega a^{2}/\nu }$${\displaystyle \nu }$

円筒が軸方向に速度で振動する場合、速度場は ${\displaystyle U\cos \omega t}$

${\displaystyle u=U\ \Re \left[{\frac {K_{0}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

ここで、は第2種の修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle K_{0}}$

クエット流では、プレートの1つの並進運動の代わりに、1つの平面の振動が実行されます。底壁が で静止し、上壁が で速度 で振動運動している場合、速度場は次のように表されます。 ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=h}$${\displaystyle U\cos \omega t}$

${\displaystyle u=U\ \Re \left\{{\frac {\sin ky}{\sin kh}}\right\},\quad {\text{where}}\quad k={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}.}$

移動面上の単位面積あたりの摩擦力は であり、固定面上の単位面積あたりの摩擦力は です。 ${\displaystyle -\mu U\Re \{k\cot kh\}}$${\displaystyle \mu U\Re \{k\csc kh\}}$

• レイリー問題