よどみ点の流れ

流体力学では、よどみ点の流れとは、よどみ点（2次元の流れの場合）またはよどみ線（3次元の流れの場合）の近傍の流体の流れを指します。よどみ点/線は、非粘性近似で速度がゼロになる点/線を指します。この流れは、特に鞍点と呼ばれるよどみ点のクラスを考慮します。鞍点では、入ってくる流線が偏向して別の方向に向けられます。流線の偏向は分離線によって誘導されます。よどみ点またはよどみ線の近傍の流れは、一般にポテンシャル流れ理論を使用して記述できますが、よどみ点が固体表面上にある場合は粘性効果を無視できません。

2 次元または軸対称の性質を持つ 2 つの流れが互いに衝突すると、流入する流れが接線方向に外側に逸らされるよどみ面が形成されます。したがって、よどみ面では、その面に垂直な速度成分はゼロですが、接線方向の成分はゼロではありません。よどみ点の近傍では、速度場の局所的な説明を記述できます。

よどみ点の流れは座標に対する線形依存性に対応し、次のように 速度成分を持つ直交座標で記述できる。${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$

${\displaystyle v_{x}=\alpha x,\quad v_{y}=\beta y,\quad v_{z}=\gamma z}$

ここで、は定数（または時間依存関数）で、ひずみ速度と呼ばれます。連続方程式では が必要であり、つまり、3 つの定数のうち 2 つだけが独立しているため、3 つのひずみ速度は完全に任意ではありません。流れは の方向ではよどみ点に向かい、 の方向ではよどみ点から離れると仮定します。一般性を失うことなく、 と仮定できます。流れ場は、1 つのパラメータに基づいてさまざまなタイプに分類できます^[1]${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}$${\displaystyle \gamma <0\leq \alpha }$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}}$

2次元のよどみ点流れは、ケース に属します。流れ場は次のように記述されます。 ${\displaystyle \beta =0\,(\lambda =1)}$

${\displaystyle v_{x}=kx,\quad v_{z}=-kz}$

ここで、 とします。この流れ場は、1934年にGI Taylorによって研究されました。^[2]実験室では、この流れ場は4ミル装置を使用して作成されますが、これらの流れ場は乱流のいたるところに存在します。 ${\displaystyle k=\alpha =-\gamma >0}$

軸対称のよどみ点流れは に対応する。流れ場は、速度成分を持つ円筒座標系で次のように 簡単に記述できる。${\displaystyle \alpha =\beta \,(\lambda =0)}$${\displaystyle (r,\theta,z)}$${\displaystyle (v_{r},0,v_{z})}$

${\displaystyle v_{r}=kr,\quad v_{z}=-2kz}$

私たちが許可する場所。 ${\displaystyle k=\alpha =\beta =-\gamma /2>0}$

放射状よどみ流では、よどみ点の代わりによどみ円があり、よどみ面はよどみ円筒に置き換えられます。放射状よどみ流は、速度成分を持つ円筒座標系を使用して次のように記述されます^{[3] [4] [5]}${\displaystyle (r,z)}$${\displaystyle (v_{r},v_{z})}$

${\displaystyle v_{r}=-k\left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),\quad v_{z}=2kz}$

よどみシリンダーの位置は どこですか。${\displaystyle r_{s}}$

平面のよどみ点流れにおける固体表面の存在による流れは、 1911年にカール・ヒーメンツによって初めて記述され、 ^[6]その解の数値計算は後にレスリー・ハワースによって改良されました。^[7]ヒーメンツ流れが適用できる身近な例としては、円筒上の流れに発生する前方よどみ線があります。^{[8] [9]}${\displaystyle z=0}$

固体表面は 上にある。ポテンシャル流れ理論によれば、流れ関数と速度成分で記述される流体運動は次のように表される。 ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle (v_{x},0,v_{z})}$

${\displaystyle \psi =kxz,\quad v_{x}=kx,\quad v_{z}=-kz.}$

この流れのよどみ線は です。速度成分は固体表面上ではゼロではなく、これは上記の速度場が壁面の無滑り境界条件を満たさないことを示しています。無滑り境界条件を満たす速度成分を見つけるには、次の形式を仮定します。 ${\displaystyle (x,y,z)=(0,y,0)}$${\displaystyle v_{x}}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta ),\quad \eta ={\frac {z}{\sqrt {\nu /k}}}$

ここで、 は動粘性、 は粘性効果が顕著な特性厚さです。粘性効果厚さの定数値が存在するのは、固体表面に向かう流体対流と表面から離れる方向に向かう粘性拡散との間の競合バランスによるものです。したがって、固体表面で生成される渦度は、 オーダーの距離までしか拡散できません。この動作に似た類似の状況は、漸近吸引プロファイルとフォン・カルマン旋回流で発生します。速度成分、圧力、ナビエ・ストークス方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle {\sqrt {\nu /k}}}$${\displaystyle {\sqrt {\nu /k}}}$

${\displaystyle v_{x}=kxF',\quad v_{z}=-{\sqrt {\nu k}}F,\quad {\frac {p_{o}-p}{\rho }}={ \frac {1}{2}}k^{2}x^{2}+k\nu F'+{\frac {1}{2}}k\nu F^{2}}$

${\displaystyle F'''+FF''-F'^{2}+1=0}$

の要件と、の要件は次のように翻訳されます ${\displaystyle (v_{x},v_{z})=(0,0)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle v_{x}\rightarrow kx}$${\displaystyle z\rightarrow \infty }$

${\displaystyle F(0)=0,\ F'(0)=0,F'(\infty )=1.}$

の条件は規定できず、解の一部として得られる。ここで定式化された問題は、Falkner-Skan境界層の特殊なケースである。解は数値積分から得られ、図に示されている。大きな の漸近挙動は、 ${\displaystyle v_{z}}$${\displaystyle z\rightarrow \infty }$${\displaystyle \eta \rightarrow \infty }$

${\displaystyle F\sim \eta -0.6479,\quad v_{x}\sim kx,\quad v_{z}\sim -k(z-\delta ^{*}),\quad \delta ^{*}=0.6479\delta }$

ここで、変位厚さはです。 ${\displaystyle \delta ^{*}}$

固体壁が一定速度で移動するときのヒーメンツ流れは、ロット（1956）によって解決されました。^[10]この問題は、回転する円筒上の流れに生じる前方よどみ線付近の流れを記述します。^[11]必要な流れ関数は ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta )+U\delta \int _{0}^{\eta }G(\eta )d\eta }$

ここで関数は ${\displaystyle G(\eta )}$

${\displaystyle G''+FG'-F'G=0,\quad G(0)=1,\quad G(\infty )=0}$

上記の式の解は次のように与えられる。${\displaystyle G(\eta )=F''(\eta )/F''(0).}$

流入する流れがよどみ点に対して垂直だが斜めに近づく場合、外側の流れはポテンシャルではなく一定の渦度 を持つ。斜めのよどみ点流れの適切な流れ関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle -\zeta _{o}}$

${\displaystyle \psi =kxz+{\frac {1}{2}}\zeta _{o}z^{2}}$

固体壁の存在による粘性効果は、スチュアート（1959）^[12] 、タマダ（1979）^[13]、ドレパアル（1986）^[14]によって研究された。彼らのアプローチでは、流れ関数は次の形をとる。

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\nu k}}xF(\eta )+\zeta _{o}\delta ^{2}\int _{0}^{\eta }H(\eta )d\eta }$

ここで関数${\displaystyle H(\eta )}$

${\displaystyle H''+FH'-F'H=0,\quad H(0)=0,\quad H'(\infty )=1}$。

固体壁が存在する場合の軸対称のよどみ点流れの解は、Homann (1936) によって初めて得られました。^[15]この流れの典型的な例は、球を過ぎる流れに現れる前方のよどみ点です。Paul A. Libby (1974) ^[16] (1976) ^{[17] は}、固体壁がそれ自身の平面に沿って一定速度で移動し、固体表面で一定の吸引または注入を可能にすることで、Homann の研究を拡張しました。

この問題の解は円筒座標系で次のように して得られる。${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle \eta ={\frac {z}{\sqrt {\nu /k}}},\quad \gamma =-{\frac {V}{2{\sqrt {k\nu }}}},\quad v_{r}=krF'(\eta )+U\cos \theta G(\eta ),\quad v_{\theta }=-U\sin \theta G(\eta ),\quad v_{z}=-2{\sqrt {k\nu }}F(\eta )}$

ここで は壁の移動速度、 は壁面における注入（または吸引）速度です。この問題は の場合にのみ軸対称となります。圧力は次のように与えられます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U=0}$

${\displaystyle {\frac {p-p_{o}}{\rho }}=-{\frac {1}{2}}k^{2}r^{2}-2k\nu (F^{2}+F')}$

ナビエ・ストークス方程式は次のように簡約される。

${\displaystyle {\begin{aligned}F'''+2FF''-F'^{2}+1&=0,\\G''+2FG'-F'G&=0\end{aligned}}}$

境界条件とともに、

${\displaystyle F(0)=\gamma ,\quad F'(0)=0,\quad F'(\infty )=1,\quad G(0)=1,\quad G(\infty )=0.}$

のとき、古典的なホーマン問題が回復されます。 ${\displaystyle U=V=0}$

スロットジェットから噴出するジェットは、ポテンシャル理論によれば、その間によどみ点を形成します。よどみ点付近の流れは、自己相似解を使用して研究することができます。この設定は、燃焼実験で広く使用されています。衝突よどみ点流れの最初の研究は、CY Wangによるものです。^{[18] [19]}接尾辞で 示される一定の特性を持つ2つの流体が反対方向から衝突し、2つの流体が混ざり合わず、界面（に位置する）が平面であると仮定します。速度は次のように与えられます。 ${\displaystyle 1({\text{top}}),\ 2({\text{bottom}})}$${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle u_{1}=k_{1}x,\quad v_{1}=-k_{1}y,\quad u_{2}=k_{2}x,\quad v_{2}=-k_{2}y}$

ここで、は流体のひずみ速度である。界面では、速度、接線応力、圧力は連続でなければならない。自己相似変換を導入すると、 ${\displaystyle k_{1},\ k_{2}}$

${\displaystyle \eta _{1}={\sqrt {\frac {\nu _{1}}{k_{1}}}}y,\quad u_{1}=k_{1}xF_{1}',\quad v_{1}=-{\sqrt {\nu _{1}k_{1}}}F_{1}}$

${\displaystyle \eta _{2}={\sqrt {\frac {\nu _{2}}{k_{2}}}}y,\quad u_{2}=k_{2}xF_{2}',\quad v_{2}=-{\sqrt {\nu _{2}k_{2}}}F_{2}}$

結果方程式、

${\displaystyle F_{1}'''+F_{1}F_{1}''-F_{1}'^{2}+1=0,\quad {\frac {p_{o1}-p_{1}}{\rho _{1}}}={\frac {1}{2}}k_{1}^{2}x^{2}+k_{1}\nu _{1}F_{1}'+{\frac {1}{2}}k_{1}\nu _{1}F_{1}^{2}}$

${\displaystyle F_{2}'''+F_{2}F_{2}''-F_{2}'^{2}+1=0,\quad {\frac {p_{o2}-p_{2}}{\rho _{2}}}={\frac {1}{2}}k_{2}^{2}x^{2}+k_{2}\nu _{2}F_{2}'+{\frac {1}{2}}k_{2}\nu _{2}F_{2}^{2}.}$

界面における非浸透状態とよどみ面から離れた自由流状態は、

${\displaystyle F_{1}(0)=0,\quad F_{1}'(\infty )=1,\quad F_{2}(0)=0,\quad F_{2}'(-\infty )=1.}$

しかし、この方程式にはさらに2つの境界条件が必要です。 では、接線速度、接線応力、圧力は連続です。したがって、 ${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle u_{1}=u_{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\nu _{1}\partial u_{1}/\partial y=\rho _{2}\nu _{2}\partial u_{2}/\partial y}$${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}F_{1}'(0)&=k_{2}F_{2}'(0),\\\rho _{1}{\sqrt {\nu _{1}k_{1}^{3}}}F_{1}''(0)&=\rho _{2}{\sqrt {\nu _{2}k_{2}^{3}}}F_{2}''(0),\\p_{o1}-\rho _{1}\nu _{1}k_{1}F_{1}'(0)&=p_{o2}-\rho _{2}\nu _{2}k_{2}F_{2}'(0).\end{aligned}}}$

ここで（外部非粘性問題から）が使用されています。どちらも事前にわかっているわけではなく、一致する条件から導き出されます。3番目の式は、粘性の影響による外部圧力の変化を決定します。したがって、流れを支配するパラメータは2つだけです。 ${\displaystyle \rho _{1}k_{1}^{2}=\rho _{2}k_{2}^{2}}$${\displaystyle F_{i}'(0),F_{i}''(0)}$${\displaystyle p_{o1}-p_{o2}}$

${\displaystyle \Lambda ={\frac {k_{1}}{k_{2}}}=\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{1/2},\quad \Gamma ={\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}}$

境界条件は

${\displaystyle F_{1}'(0)=\Lambda F_{2}'(0),\quad F_{1}''(0)={\sqrt {\frac {\Gamma }{\Lambda }}}F_{2}''(0)}$。