ウィテカー関数

数学において、ホイッタカー関数はホイッタカー方程式の特殊解であり、ホイッタカー(1903)によって導入された合流型超幾何方程式の修正形で 、解を含む式をより対称的にしたものである。より一般的には、ジャケ (1966, 1967)は局所体上の簡約群のホイッタカー関数を導入した。ここでホイッタカーが研究した関数は、本質的には局所体が実数で群が SL ₂ ( R ) である場合である。

ウィテカーの方程式は

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+ {\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}$

0に正規特異点があり、∞に不規則特異点がある。2つの解は、クンマーの合流型超幾何関数MとUによって定義されるホイッタカー関数 M _κ,μ ( z )、W _κ,μ ( z )によって 与えられる。

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right).}$

ホイッタカー関数は、 μの値が反対である関数と同じです。言い換えると、κとz を固定したμの関数として考えると、それは偶関数です。κとzが実数の場合、関数はμの実数値と虚数値に対して実数値を与えます。これらのμの関数は、いわゆるクンマー空間で役割を果たします。^[1]${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)}$

ウィテカー関数は、ウィテカーモデルと呼ばれるグループSL ₂ ( R )の特定の表現の係数として現れます。

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