クエットフロー

流体力学において、クエット流れとは、一方が他方に対して接線方向に動いている 2 つの表面の間の空間における粘性 流体の流れのことです。表面の相対運動により、流体にせん断応力が加わり、流れが生じます。用語の定義によっては、流れ方向に 圧力勾配が適用される場合もあります。

クエット構成は、地球のマントルと大気^{[1]や、軽負荷の}ジャーナルベアリング内の流れなどの特定の実用的な問題をモデル化します。また、粘度測定や可逆性の近似値を示すためにも使用されます。^{[2] [3]}

19世紀後半に フランスのアンジェ大学の物理学教授であったモーリス・クエットにちなんで名付けられました。

クエット流は、せん断駆動による流体運動を説明するために、学部の物理学や工学の授業でよく使われます。単純な構成は、2枚の無限の平行板が距離だけ離れているもので、一方の板はそれ自身の平面内で一定の相対速度で移動します。圧力勾配を無視すると、ナビエ・ストークス方程式は次のように単純化されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=0,}$

ここで、はプレートに垂直な空間座標であり、は速度場です。この式は、流れが一方向であるという仮定を反映しています。つまり、3つの速度成分のうち1つだけが自明ではありません。下側のプレートが に対応する場合、境界条件はおよびです。正確な解は ${\displaystyle y}$${\displaystyle u(y)}$${\displaystyle (u,v,w)}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle u(0)=0}$${\displaystyle u(h)=U}$

${\displaystyle u(y)=U{\frac {y}{h}}}$

は、2回積分し、境界条件を使用して定数を解くことで見つけることができます。この流れの注目すべき点は、せん断応力が領域全体で一定であることです。特に、速度の1次導関数は一定です。ニュートンの粘性法則（ニュートン流体）によれば、せん断応力はこの式と（一定の）流体粘度の積です。 ${\displaystyle U/h}$

実際には、クエット解は瞬時に到達しません。定常状態へのアプローチを説明する「始動問題」は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

初期条件に従う

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad 0<y<h,}$

定常流と同じ境界条件で：

${\displaystyle u(0,t)=0,\quad u(h,t)=U,\quad t>0.}$

この問題は定常解を減算することで同次化できる。次に変数分離を適用すると次の解が得られる: ^[4]

${\displaystyle u(y,t)=U{\frac {y}{h}}-{\frac {2U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-n^{2}\pi ^{2}{\frac {\nu t}{h^{2}}}}\sin \left[n\pi \left(1-{\frac {y}{h}}\right)\right]}$。

図に示すように、定常状態への緩和を表すタイムスケールは です。定常状態に到達するのに必要な時間は、プレート間の間隔と流体の動粘性にのみ依存し、 には依存しません。 ${\displaystyle t\sim h^{2}/\nu }$${\displaystyle h}$${\displaystyle U}$

より一般的なクエット流には、プレートに平行な方向に一定の圧力勾配が含まれる。ナビエ・ストークス方程式は、 ${\displaystyle G=-dp/dx=\mathrm {定数} }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }},}$

ここで は動粘性である。上記の式を2回積分し、境界条件（圧力勾配のないクエット流れの場合と同じ）を適用すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y\,(hy)+U{\frac {y}{h}}.}$

圧力勾配は正（逆圧力勾配）または負（順圧力勾配）になることがある。静止したプレート（）の極限ケースでは、流れは平面ポアズイユ流と呼ばれ、対称（水平中間面を基準）放物線状の速度プロファイルを持つ。^[5]${\displaystyle U=0}$

非圧縮流では、流体の温度が一定であるため、速度プロファイルは線形です。上壁と下壁の温度が異なる場合、速度プロファイルはより複雑になります。しかし、1950年にCR Illingworthによって示されたように、正確な暗黙の解があります。^[6]

下壁が静止し、上壁が一定速度で運動している平面クエット流を考える。下壁の流体特性を下付き文字で、上壁の特性を下付き文字で表す。上壁の特性と圧力は規定されており、基準量として取られる。2つの壁の間の距離を とする。境界条件は ${\displaystyle U}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle u=0,\ v=0,\ h=h_{w}=c_{pw}T_{w}\ {\text{at}}\ y=0,}$

${\displaystyle u=U,\ v=0,\ h=h_{\infty }=c_{p\infty }T_{\infty },\ p=p_{\infty }\ {\text{at}}\ y=l}$

ここで は比エンタルピー、 は比熱です。流れの領域ではどこでも質量と運動量の保存則が成り立ちます。エネルギーと運動量の保存則は次のように表されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v=0,\ p=p_{\infty }}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {du}{dy}}\right)=0,\quad \Rightarrow \quad {\frac {d\tau }{dy}}=0,\quad \Rightarrow \quad \tau =\tau _{w}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Pr} }}{\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {dh}{dy}}\right)+\mu \left({\frac {du}{dy}}\right)^{2}=0.}$

ここで、 は壁面せん断応力です。流れはレイノルズ数ではなく、プラントル数とマッハ数に依存します。ここで、は熱伝導率、は音速、 は比熱比です。無次元変数を導入します 。${\displaystyle \tau =\tau _{w}={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} =Ul/\nu _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathrm {Pr} =\mu _{\infty }c_{p\infty }/\kappa _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathrm {M} =U/c_{\infty }=U/{\sqrt {(\gamma -1)h_{\infty }}}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {y}{l}},\quad {\tilde {T}}={\frac {T}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {T}}_{w}={\frac {T_{w}}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {u}}={\frac {u}{U}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}={\frac {\tau _{w}}{\mu _{\infty }U/l}}}$

これらの量に関して、解は

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+\left[{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} +(1-{\tilde {h}}_{w})\right]{\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2},}$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {1}{{\tilde {\tau }}_{w}}}\int _{0}^{\tilde {u}}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}=\int _{0}^{1}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad q_{w}=-{\frac {1}{\mathrm {Pr} }}\tau _{w}\left({\frac {dh}{du}}\right)_{w},}$

ここで、 は下壁から単位時間単位面積あたりに伝達される熱です。したがって、は の暗黙の関数です。また、断熱壁の温度で評価された回復温度と回復エンタルピー、つまり となる との値で解を書くこともできます。^{[説明が必要]}すると、解は次のようになります 。${\displaystyle q_{w}}$${\displaystyle {\tilde {h}},{\tilde {T}},{\tilde {u}},{\tilde {\mu }}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle T_{r}}$${\displaystyle h_{r}}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle h_{w}}$${\displaystyle q_{w}=0}$

${\displaystyle {\frac {q_{w}}{\tau _{w}U}}={\frac {{\tilde {T}}_{w}-{\tilde {T}}_{r}}{(\gamma -1)\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} }},\quad {\tilde {T}}_{r}=1+{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} ,}$

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+({\tilde {h}}_{r}-{\tilde {h}}_{w}){\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2}.}$

比熱が一定の場合は、 です。およびのとき、 およびはどこでも一定であり、非圧縮性クエット流れの解が回復します。 それ以外の場合は、 の温度依存性を完全に知っておく必要があります。 に対する正確かつ一般的な簡単な式はありませんが、特定の材料についてはいくつかの近似値があります。たとえば、粘度 の温度依存性を参照してください。 およびのとき、回復量は 1 になります。空気の場合、これらの値が一般的に使用されており、この場合の結果は図に示されています。 ${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {T}}}$${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$${\displaystyle T_{w}=T_{\infty },\Rightarrow q_{w}=0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$${\displaystyle q_{w}\neq 0}$${\displaystyle {\tilde {T}}_{r}=1}$${\displaystyle \gamma =1.4,\ {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})={\tilde {T}}^{2/3}}$

解離とイオン化（すなわち一定ではない）の影響も研究されており、その場合、回復温度は分子の解離によって低下する。^[7]${\displaystyle c_{p}}$

1 次元の流れは、両方のプレートが流れ方向 ( ) とスパン方向 ( )に無限に長い場合に有効です。スパン方向の長さが有限の場合、流れは 2 次元になり、と の両方の関数になります。ただし、流れの一方向性を保証するために、流れ方向の無限の長さは保持されなければなりません。 ${\displaystyle u(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

例として、横方向の高さとスパン方向の幅を持つ無限に長い長方形のチャネルを考えます。ここで、上壁は一定速度 で動きます。圧力勾配が課されていない場合、ナビエ・ストークス方程式は次のように簡約されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle l}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$

境界条件付き

${\displaystyle u(0,z)=0,\quad u(h,z)=U,}$

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(y,l)=0.}$

変数分離法を用いると、解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(y,z)={\frac {4U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {\sinh(\beta _{n}y)}{\sinh(\beta _{n}h)}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}}.}$

のとき、図に示すように平面クエット流れが回復します。 ${\displaystyle h/l\ll 1}$

テイラー・クエット流は、回転する無限に長い2つの同軸円筒間の流れです。^[8]元々の問題は1845年にストークスによって解決されましたが、 ^[9]ジェフリー・イングラム・テイラーが1923年の有名な論文でその安定性を研究したため、彼の名前がこの流れに付けられました。^[10]

この問題は円筒座標 で解くことができる。内側と外側の円筒の半径をそれぞれ と とする。円筒が一定の角速度と で回転すると仮定すると、 -方向の速度は^[11]となる。${\displaystyle (r,\theta ,z)}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle \Omega _{2}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{\theta }(r)=ar+{\frac {b}{r}},\qquad a={\frac {\Omega _{2}R_{2}^{2}-\Omega _{1}R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}},\quad b={\frac {(\Omega _{1}-\Omega _{2})R_{1}^{2}R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}}.}$

この式は、曲率の影響により、流れ領域で一定のせん断が許容されなくなることを示しています。

古典的なテイラー・クエット流問題では、無限に長い円筒を仮定しています。円筒が無視できない有限の長さ を持つ場合、解析を修正する必要があります（ただし、流れは依然として一方向です）。 の場合、有限長問題は変数分離または積分変換を使って解くことができ、次の式が得られます。^[12]${\displaystyle l}$${\displaystyle \Omega _{2}=0}$

${\displaystyle v_{\theta }(r,z)={\frac {4R_{1}\Omega _{1}}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}r)-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}r)}{I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}R_{1})-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}R_{1})}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}},}$

ここで、第 1 種および第 2 種の 修正ベッセル関数です。${\displaystyle I(\beta _{n}r),\ K(\beta _{n}r)}$

• 層流
• ストークス・クエット流
• ハーゲン・ポアズイユ方程式
• テイラー・クエット流
• ナビエ・ストークス方程式からのハーゲン・ポアズイユ流

• AMS 用語集: クエットフロー
• レオロジストの視点：クエットセルアクセサリの背後にある科学