直接数値シミュレーション

直接数値シミュレーション（DNS）^{[ 1 ] [ 2 ]}は、乱流モデルを用いずにナビエ・ストークス方程式を数値的に解く計算流体力学（CFD）のシミュレーションである。これは、乱流の空間的および時間的スケールの全範囲を解像する必要があることを意味する。乱流のすべての空間スケールは、最小の散逸スケール（コルモゴロフ微小スケール）から積分スケールまで、計算メッシュ内で解像されなければならない。${\displaystyle L}$運動エネルギーの大部分を含む運動に関連しています。コルモゴロフスケールは、${\displaystyle \eta }$は、

${\displaystyle \eta =(\nu ^{3}/\varepsilon )^{1/4}}$

どこ${\displaystyle \nu }$は動粘度であり、${\displaystyle \varepsilon }$は運動エネルギー散逸率である。一方、積分スケールは通常、境界条件の空間スケールに依存する。

これらの解像度要件を満たすために、ポイントの数${\displaystyle N}$指定されたメッシュ方向に沿って増分を加算${\displaystyle h}$、 でなければなりません

${\displaystyle Nh>L,\,}$

積分スケールが計算領域内に収まるようにし、また

${\displaystyle h\leq \eta ,\,}$

コルモゴロフ尺度を解読できるようにするため。

以来

${\displaystyle \varepsilon \approx {u'}^{3}/L,}$

どこ${\displaystyle u'}$は速度の二乗平均平方根（RMS）であり、上記の関係式は、3次元DNSには多数のメッシュ点が必要であることを示唆している。${\displaystyle N^{3}}$満足

${\displaystyle N^{3}\geq \mathrm {Re} ^{9/4}=\mathrm {Re} ^{2.25}}$

どこ$\displaystyle \mathrm {Re} }$は乱流レイノルズ数です。

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {u'L}{\nu }}.}$

したがって、DNSにおけるメモリストレージ要件はレイノルズ数とともに非常に速く増加します。さらに、必要なメモリが非常に大きいため、解の時間積分は明示的な方法で行わなければなりません。これは、正確性を確保するためには、ほとんどの離散化方法では、時間ステップで積分を行う必要があることを意味します。${\displaystyle \Delta t}$十分に小さいため、流体粒子はメッシュ間隔のほんの一部しか移動しない。${\displaystyle h}$各ステップで。つまり、

${\displaystyle C={\frac {u'\Delta t}{h}}<1}$

（${\displaystyle C}$ここで はクーラン数です。シミュレーションされる全時間間隔は、一般的に乱流の時間スケールに比例します。$\displaystyle \tau }$によって与えられた

${\displaystyle \tau ={\frac {L}{u'}}.}$

これらの関係と、${\displaystyle h}$オーダーは${\displaystyle \eta }$、時間積分ステップ数は、${\displaystyle L/(C\eta )}$一方、定義から$\displaystyle \mathrm {Re} }$、${\displaystyle \eta }$そして${\displaystyle L}$上記を踏まえると、

${\displaystyle {\frac {L}{\eta }}\sim \mathrm {Re} ^{3/4},}$

その結果、時間ステップの数もレイノルズ数のべき乗則に従って増加する。

シミュレーションを完了するために必要な浮動小数点演算の数は、メッシュ点の数と時間ステップの数に比例すると推定でき、結論として、演算の数は次のように増加します。${\displaystyle \mathrm {Re} ^{3}}$。

そのため、DNSの計算コストは​​、レイノルズ数が低い場合でも非常に高くなります。ほとんどの産業用途で遭遇するレイノルズ数では、DNSに必要な計算リソースは、現在利用可能な最も強力なコンピュータの能力を超えてしまいます。しかし、直接数値シミュレーションは、乱流の基礎研究において有用なツールです。DNSを使用することで、「数値実験」を実行し、実験室では取得が困難または不可能な情報を抽出できるため、乱流の物理をより深く理解することができます。また、直接数値シミュレーションは、大規模渦シミュレーション（LES）用のサブグリッドスケールモデルや、レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式（RANS）を解く手法のモデルなど、実用的な用途向けの乱流モデルの開発にも役立ちます。これは、モデルの入力データをDNSシミュレーションから取得する「事前」テスト、またはモデルによって生成された結果をDNSによって得られた結果と比較する「事後」テストによって行われます。

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