毛細管表面

流体力学と数学において、毛細管表面は2 つの異なる流体の界面を表す表面です。表面であるため、ほとんどの実際の流体界面と若干対照的に、毛細管表面には厚さがありません。

毛細管面は、関連する問題が非常に非線形であり、孤立した点における境界データへの不連続な依存性などの興味深い特性を持つため、数学において興味深いものです。^[1]特に、重力がない場合の静的毛細管面は平均曲率が一定であるため、極小面は静的毛細管面の特殊なケースです。

これらは、流れと静的構成の両方が毛細管効果によって支配されることが多い宇宙（または体積力のない他の環境）での流体管理にとっても実用的な関心事です。

毛細管表面の定義式は応力バランス方程式と呼ばれ、^[2]毛細管表面によって部分的に囲まれた小さな体積に作用する力と応力を考慮することによって導き出すことができます。流体が表面で別の流体（バーで表記された「他の」流体）と出会う場合、方程式は次のようになります。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} =-\gamma \mathbf {\hat {n}} (\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} )+\nabla _{\!S}\gamma \\&\qquad \nabla _{\!S}\gamma =\nabla \gamma -\mathbf {\hat {n}} (\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \gamma )\end{aligned}}}$

ここで、 は「他の」流体（その量がバーで表記される流体）を指す単位法線、は応力テンソル（左側はテンソルとベクトルの積であることに注意してください）、は界面に関連する表面張力、 は表面勾配です。 この量は表面の 平均曲率の2 倍であることに注意してください。${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$${\displaystyle \scriptstyle \nabla _{S}}$${\displaystyle \scriptstyle -\nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$

流体力学では、この方程式は界面流の境界条件として機能し、通常はナビエ・ストークス方程式を補完します。これは、表面の力によってバランスが取られる応力の不連続性を説明します。境界条件としては、界面を定義する表面という新しい変数を導入する点でやや変わっています。したがって、応力バランス方程式が通常、独自の境界条件を要求するのはそれほど驚くことではありません。 ${\displaystyle S}$

最適に使用するには、通常、このベクトル方程式を単位法線と 2 つの選択された単位接線とのドット積を介して 3 つのスカラー方程式に変換します。

${\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {\hat {n}} =-\gamma \nabla _{\!S}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} }$

${\displaystyle ((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} =\nabla _{\!S}\gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} }$

点のない積はテンソルとベクトルのテンソル積（行列とベクトルの積に似たベクトルになる）であり、点のある積は点積であることに注意してください。最初の方程式は、法線応力方程式、または法線応力境界条件と呼ばれます。次の 2 つの方程式は、接線応力方程式と呼ばれます。

応力テンソルは速度と圧力に関連しています。その実際の形は、扱われる特定の流体に依存しますが、一般的な非圧縮ニュートン流体の場合、応力テンソルは次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}&2{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\\{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}&{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}&2{\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\&=-pI+\mu (\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{T})\end{aligned}}}$

ここで、は流体の圧力、は速度、 は粘度です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mu }$

運動がない場合、応力テンソルは静水圧のみを生じるため、流体の種類や圧縮性に関係なく、となる。法線方程式と接線方程式を考慮すると、 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{ij}=-pI}$

${\displaystyle {\bar {p}}-p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle 0=\nabla \gamma \cdot \mathbf {\hat {t}} }$

最初の方程式は、曲率力が圧力力によってバランスしていることを立証しています。2 番目の方程式は、表面張力の勾配がゼロ以外の場合、静的界面は存在できないことを示唆しています。

重力が唯一の物体力である場合、ナビエ・ストークス方程式は大幅に簡素化されます。

${\displaystyle 0=-\nabla p+\rho \mathbf {g} }$

方向のみ重力がゼロでなくなるように座標を選択すると、この方程式は特に単純な形になります。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dz}}=\rho g\quad \Rightarrow \quad p=\rho gz+p_{0}}$

ここで、 は、における基準圧力を表す積分定数です。これを法線応力方程式に代入すると、ヤング・ラプラス方程式と呼ばれる方程式が得られます。 ${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle {\bar {\rho }}gz+{\bar {p}}_{0}-(\rho gz+p_{0})=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} \quad \Rightarrow \quad \Delta \rho gz+\Delta p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }$

ここで、は界面を横切る（一定の）圧力差、 は密度の差です。この方程式は表面を定義するため、 は毛細管表面の座標であることに注意してください。この非線形偏微分方程式は、適切な境界条件が与えられれば静的界面を定義します。 ${\displaystyle \Delta p}$${\displaystyle \Delta \rho }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

上記の圧力差は定数ですが、座標がシフトするとその値は変化します。圧力の線形解は、重力項がない限り、常に座標を と定義できることを意味します。無次元化されたヤング・ラプラス方程式は、通常、次の形式で研究されます^[1]${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Delta p=0}$

${\displaystyle \kappa z+\lambda =\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} }$

ここで、（重力が負の方向の場合）は、密度の高い流体がインターフェースの「内側」にある場合は正、インターフェースの「外側」にある場合は負、重力がない場合、または流体間に密度の差がない場合はゼロになります。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \kappa }$

この非線形方程式には、特に一意の解の存在に関して、いくつかの豊富な特性があります。たとえば、ある境界値問題に対する解が存在しないということは、物理的にその問題が静的ではあり得ないことを意味します。解が存在する場合、通常は の非常に特定の値に対して存在します。これは、界面を越えた圧力ジャンプを表します。圧力差を決定する別の物理方程式がないため、これは興味深いことです。たとえば、毛細管では、接触角境界条件を実装すると、 の 1 つの値に対して一意の解が得られます。解は多くの場合一意ではありませんが、これは複数の静的界面が存在する可能性があることを意味します。それらはすべて同じ境界値問題を解く可能性がありますが、エネルギーの最小化は通常、1 つに有利になります。異なる解は、界面の 構成と呼ばれます。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

毛細管表面の重要な特性は、表面張力によって与えられる 表面エネルギーです。

${\displaystyle E_{S}=\gamma _{S}A_{S}\,}$

ここで、 は対象の表面積であり、総エネルギーはすべてのエネルギーの合計です。すべての界面がエネルギーを与えることに注意してください。たとえば、重力やその他のエネルギーポテンシャルがない固体容器内に2つの異なる流体（液体と気体）がある場合、システムのエネルギーは ${\displaystyle A}$

${\displaystyle E=\sum \gamma _{S}A_{S}=\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{SG}A_{SG}+\gamma _{SL}A_{SL}\,}$

ここで、下付き文字、、 はそれぞれ液体と気体の界面、固体と気体の界面、固体と液体の界面を示します。重力を考慮すると、毛細管表面と固体の壁に囲まれた体積を考慮する必要があることに注意してください。 ${\displaystyle LG}$${\displaystyle SG}$${\displaystyle SL}$

通常、固体と気体の界面と固体と液体の界面の間の表面張力の値は不明です。エネルギーの変化のみが主な関心事であるため、これは問題にはなりません。純固体面積が一定で接触角がわかっている場合、（再び、固体容器内の2つの異なる流体について） ${\displaystyle A_{SG}+A_{SL}}$

${\displaystyle E=\gamma _{SL}(A_{SL}+A_{SG})+\gamma _{LG}A_{LG}+\gamma _{LG}A_{SG}\cos(\theta )\,}$

となることによって

${\displaystyle {\frac {\Delta E}{\gamma _{LG}}}=\Delta A_{LG}+\Delta A_{SG}\cos(\theta )=\Delta A_{LG}-\Delta A_{SL}\cos(\theta )\,}$

ここで、は接触角であり、大文字のデルタは、ある構成から別の構成への変化を示します。この結果を得るには、固体界面に接し、接触線に垂直な方向の接触線（固体、気体、液体が出会う場所）での（分散）力を合計する必要があります。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum F_{\mathrm {Contact\ line} }\\&=\gamma _{LG}\cos(\theta )+\gamma _{SL}-\gamma _{SG}\end{aligned}}}$

ここで、静的状態のため、合計はゼロになります。ヤング・ラプラス方程式の解が一意でない場合、物理的に最も好ましい解は最小エネルギーの解ですが、実験（特に低重力）では、準安定表面は驚くほど持続することがあり、最も安定した構成は機械的な衝撃によってそれほど困難なく準安定になる可能性があることが示されています。一方、準安定表面は、十分な時間があれば、（少なくとも一見すると）入力なしで自発的に低エネルギーになることがあります。

応力バランスの境界条件は、接触線、つまり固体が毛細管界面と出会う線における毛細管表面を記述します。また、体積制約も境界条件として機能することができます (たとえば、吊り下げられた液滴には接触線はありませんが、明らかに一意の解が存在する必要があります)。

静的表面の場合、最も一般的な接触線境界条件は接触角の実装であり、これは流体の 1 つが固体壁と出会う角度を指定します。表面上の接触角条件は通常、次のように記述されます。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos(\theta )\,}$

ここで、は接触角です。この条件は、表面の境界（または複数の境界）に適用されます。は固体表面に対する単位外向きの法線で、 はに対する単位法線です。 の選択は、接触角が指定されている流体によって異なります。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \scriptstyle \partial S}$${\displaystyle \scriptstyle {\hat {v}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}}$

動的インターフェースの場合、接触線速度が低い場合は、上記の境界条件がうまく機能します。速度が高い場合、接触角は変化します（「動的接触角」）。2007年現在、移動する接触線のメカニズム（またはパラメータとしての接触角の有効性さえも）は不明であり、活発な研究が行われている分野です。^[3]

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