非古典的論理

非古典的論理（および代替論理）は、命題論理や述語論理などの標準的な論理体系とは大きく異なる形式体系です。これには、拡張、逸脱、変形など、いくつかの一般的な方法があります。これらの逸脱の目的は、論理的帰結と論理的真実の異なるモデルを構築できるようにすることです。^[1]

哲学的論理は非古典的論理を包含し、それに焦点を当てていると理解されているが、この用語には他の意味もある。^{[2]さらに、}理論計算機科学の一部は非古典的推論を使用していると考えられるが、これは主題領域によって異なる。例えば、計算機科学における基本的なブール関数（AND、OR、NOTなど）は本質的に非常に古典的であり、古典的な真理値表で完全に記述できることを考えるとそれは明らかである。しかし、対照的に、一部の計算機による証明方法では、推論プロセスで古典的論理を使用しないことがある。

非古典的な論理には多くの種類があり、その中には次のようなものがあります。

• 計算可能性論理は、古典論理が真理の形式理論であるのとは対照的に、意味的に構築された計算可能性の形式理論であり、古典的、線形、直観的論理を統合および拡張します。
• 動的セマンティクスは数式を更新関数として解釈し、さまざまな非古典的な動作への扉を開きます。
• 多値論理は二価性を拒否し、真と偽以外の真理値を認めます。最も一般的な形式は、ヤン・ルカシェヴィチによって最初に開発された三値論理と、0 から 1 までの任意の実数を真理値として認めるファジー論理などの無限値論理です。
• 直観主義論理は、排中律、二重否定消去法、およびド・モルガンの法則の一部を否定します。
• 線形論理は含意の冪等性も拒否します。
• 矛盾論理（例えば関連性論理）は爆発の原理を否定し、二元論と密接な関係がある。
• 量子論理
• 関連性論理、線形論理、非単調論理は含意の単調性を拒否します。
• 非反省的論理（ 「シュレーディンガー論理」とも呼ばれる）は同一性法則を拒否または制限する。^[3]

スーザン・ハックは『逸脱論理』（1974年）で、非古典論理を逸脱論理、準逸脱論理、拡張論理に分類した。^[4]提案された分類は排他的ではない。論理は古典論理からの逸脱と拡張の両方になり得る。^[5]他の数人の著者は、非古典論理における逸脱と拡張の主な区別を採用している。^{[6] [7] [8]}ジョン・P・バージェスは同様の分類を使用しているが、2つの主要なクラスを反古典的と超古典的と呼んでいる。^[9]非古典論理の分類には、例えば前述のハックとバージェスによる分類システムがいくつか提案されているが、非古典論理を研究する多くの人々はこれらの分類システムを無視している。そのため、このセクションの分類システムはどれも標準として扱われるべきではない。

拡張では、新しい異なる論理定数が追加されます。たとえば、様相論理における「 」は「必然的に」を表します。^[6]論理の拡張では、 ${\displaystyle \Box}$

• 生成された整形式の式の集合は、古典論理によって生成された整形式の式の集合の適切なスーパーセットです。
• 生成された定理の集合は、古典論理によって生成された定理の集合の適切なスーパーセットですが、拡張論理によって生成された新しい定理は、新しい整形式の式の結果にすぎないという点においてのみです。

(保守的な拡張も参照してください。)

逸脱では、通常の論理定数が使用されますが、通常とは異なる意味が与えられます。古典論理の定理の一部のみが成立します。典型的な例は直観主義論理であり、排中律は成立しません。^{[8] [9]}

さらに、システムの内容は同じままで、表記法が大幅に変わるバリエーション（または変種）を識別することもできます。たとえば、多ソート述語論理は述語論理の単なるバリエーションであると考えられています。^[6]

しかしながら、この分類は意味的同値性を無視している。例えば、ゲーデルは直観主義論理のすべての定理は古典的な様相論理S4に同等の定理があることを示した。この結果は超直観主義論理とS4の拡張に一般化されている。 ^[10]

抽象代数論理の理論は論理を分類する手段も提供しており、ほとんどの結果は命題論理について得られている。命題論理の現在の代数的階層には、ライプニッツ演算子の特性に基づいて、原代数的、（有限）同値、（有限）代数可能という5つのレベルがある。^[11]

• 東洋哲学における論理
  • 中国の論理
  • インドの論理

• プリースト、グラハム（2008年）。非古典論理入門：ifからisまで（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-85433-7。
• ガベイ、ドブ・M. (1998)。『初等論理学：手続き的観点』プレンティス・ホール・ヨーロッパ。I ​​SBN 978-0-13-726365-3。改訂版は、Gabbay, DM (2007). Logic for Artificial Intelligence and Information Technology . College Publications . ISBNとして出版されました。 978-1-904987-39-0。
• バージェス、ジョン・P.（2009）。哲学的論理。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-13789-6。非古典的な論理の簡単な紹介と古典的な論理の入門書。
• ゴブル、ルー編 (2001)。『ブラックウェル哲学論理ガイド』。ワイリー・ブラックウェル。ISBN 978-0-631-20693-4。第 7 章から第 16 章では、今日広く関心を集めている主要な非古典的な論理について説明します。
• ハンバーストーン、ロイド (2011) 。The Connectives。MIT Press。ISBN 978-0-262-01654-4。おそらく、このセクションの他のタイトルよりも多くの論理をカバーしています。この 1500 ページのモノグラフの大部分は、タイトルが示すように、さまざまな論理の論理接続を比較する横断的な内容です。ただし、決定可能性と複雑性の側面は一般的に省略されています。

• グラハム・プリーストとモーリーン・エッカートのDeviant Logicに関するビデオ