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σ を単項関数記号fのみからなるシグネチャとする。fが一対一であるσ 構造のクラスKは基本初等クラスである。これは、単一の文のみからなる理論Tによって証明される。

${\displaystyle \forall x\forall y((f(x)=f(y))\to (x=y))}$。

σ を任意のシグネチャとする。すべての無限 σ 構造のクラスKは基本的である。これを確認するには、次の文を考えてみよう。

${\displaystyle \rho _{2}={}}$「${\displaystyle \exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\not =x_{2})}$「、

${\displaystyle \rho _{3}={}}$「${\displaystyle \exists x_{1}\exists x_{2}\exists x_{3}((x_{1}\not =x_{2})\land (x_{1}\not =x_{3})\land (x_{2}\not =x_{3}))}$「、

などなど。（つまり、文は$\displaystyle \rho _{n}}$（少なくともn個の要素が存在すると述べている。）無限σ構造はまさにその理論のモデルである。

$${\displaystyle T_{\infty }=\{\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4},\dots \}}$$。

しかし、Kは基本的な初等クラスではない。そうでなければ、無限 σ-構造は、ある一階述語 τ を満たすものと正確に一致するはずである。しかし、その集合は ${\displaystyle \{\neg \tau ,\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4},\dots \}}$矛盾が生じるだろう。コンパクト性定理により、ある自然数nに対して、集合は${\displaystyle \{\neg \tau ,\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4},\dots ,\rho _{n}\}}$矛盾が生じるだろう。しかしこれは不合理だ。なぜならこの理論は、有限σ構造であればどれでも満たされるからである。${\displaystyle n+1}$またはそれ以上の要素。

しかし、シグネチャ σ' = σ には基本的な基本クラスK 'が存在する。${\displaystyle \cup }${ f }、ここでfは単項関数記号であり、K はK 'のσ'-構造の σ への還元のみから構成される。K 'は単一の文によって公理化される。${\displaystyle (\forall x\forall y(f(x)=f(y)\rightarrow x=y)\land \exists y\neg \exists x(y=f(x))),}$これは、fが単射ではあるが全射ではないことを示している。したがって、Kは基本関数であり、擬似基本関数と呼べるものではあるが、基本関数ではない。

最後に、単一の単項関係記号Pからなるシグネチャ σ を考えます。すべての σ 構造は、Pが成り立つ要素とそれ以外の要素の 2 つの部分集合に分割されます。Kを、これら 2 つの部分集合が同じ濃度を持つ、つまり、それらの間に全単射が存在するすべての σ 構造のクラスとします。このクラスは基本ではありません。なぜなら、 Pの実現の集合とその補集合の両方が可算無限である σ 構造は、一方の集合が可算無限で他方が非可算である σ 構造とまったく同じ一階述語論理を満たすからです。

次に署名について考えてみましょう${\displaystyle \sigma '}$これは、 Pと単項関数記号fから構成される。${\displaystyle K'}$すべてのクラスになる${\displaystyle \sigma '}$-fが全単射であり、P がx に対して成り立つのは、P がf(x)に対して成り立たない場合に限る、という構造。${\displaystyle K'}$は明らかに基本クラスであり、したがってKは基本クラスではない擬似基本クラスの例である。

σ を任意のシグネチャとする。すべての有限 σ 構造のクラスKは基本クラスではない。なぜなら、（上述のように）その補集合は基本クラスではあるが、基本クラスではないからである。これは σ を拡張するすべてのシグネチャについても同様に成り立つため、Kは擬似基本クラスですらない。

この例は、表現力の限界を、はるかに表現力に優れた二階述語論理と比較して示している。しかしながら、二階述語論理は、完全性定理やコンパクト性定理など、一階述語論理の多くの望ましい特性を保持できていない。