基本的な等価性

数理論理学の一分野であるモデル理論では、同じシグネチャσを持つ2つの構造MとNは、同じ一階σ文を満たす場合、基本的に同等であると呼ばれる。

NがMの部分構造である場合、より強い条件が必要になることがよくあります。この場合、Nのパラメータa ₁ , …, a _nを持つすべての1階σ式φ ( a ₁ , … , a _n )が、M で真である場合に限り Nで真である場合、NはMの基本部分構造と呼ばれます。NがMの基本部分構造である場合、MはNの基本拡張と呼ばれます。埋め込みh : N → Mは、 h ( N ) がMの基本部分構造である場合、NからMへの基本埋め込みと呼ばれます。          

Mの部分構造N が基本であるのは、それがTarski–Vaught テストに合格する場合に限る。すなわち、 Nのパラメータを持つすべての一次式φ ( x , b ₁ , …, b _n )がMで解を持つ場合、 Mで評価するとNでも解を持つ。2 つの構造がEhrenfeucht–Fraïssé ゲームと基本的に等価であることを証明できる。     

基本的な埋め込みは、ランクからランクへの埋め込みを含む、大きな基数の研究に使用されます。

同じシグネチャσを持つ2 つの構造MとNは、σ上のすべての一次文 (自由変数を含まない式) が、Mにおいて真である場合に限りNにおいて真である場合、すなわち、MとN が同じ完全な一次理論を持つ場合に、基本的に同値であると言います。MとN が基本的に同値である場合、M ≡ Nと書きます。    

一次理論が完全であるのは、その理論に含まれるモデルのうち、任意の2つが基本的に等価である場合に限る。

例えば、二項関係記号「<」を一つだけ持つ言語を考えてみましょう。通常の順序を持​​つ実数のモデルRと、通常の順序を持​​つ有理数のモデルQは、どちらも「<」を無限稠密線形順序として解釈するため、基本的に等価です。これは、Łoś–Vaughtテストで示されるように、無限稠密線形順序の理論が完全であるため、基本的等価性を保証するのに十分です。

より一般的に言えば、無限モデルを持つ任意の一階理論には、レーヴェンハイム・スコレムの定理によって得られる、非同型で初等的に等価なモデルが存在する。例えば、ペアノ算術には、0、1、2などの数以外の対象を含む非標準モデルが存在するが、それらは標準モデルと初等的に等価である。

NがMの基本部分構造または基本部分モデルであるとは、NとM が同じシグネチャσの構造であり、自由変数x ₁ , …, x nとNのすべての要素a ₁ , … , a _nを持つすべての1 階σ式φ ( x ₁ , …, x _n ) に対して、φ ( a ₁ , …, a _n )がNで成り立つのは、 Mで成り立つ場合かつその場合に限る、という条件が満たされる場合を_いう。           $${\displaystyle N\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}){\text{ であるのは、}}M\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n} である場合に限る。}$$

^{この定義は、タルスキ、ヴォート（1957） [ 1 ]}に初めて登場する。したがって、NはMの部分構造である。

NがMの部分構造である場合、 NとMはともに、σとNの各要素に対応する新しい定数記号からなるシグネチャσ _Nの構造として解釈できます。このとき、Nが Mの基本部分構造であるのは、 NがMの部分構造であり、かつ NとMがσ _N構造として基本的に等価である場合に限ります。 

NがMの基本部分構造である場合、Nは次のように表記される。${\displaystyle \preceq }$Mは Nの基本拡張である: M​​ であると述べています。${\displaystyle \succeq }$N。

下方レーヴェンハイム・スコレムの定理は、最大で可算符号を持つ任意の無限一階構造に対して、可算基本部分構造を与える。上方レーヴェンハイム・スコレムの定理は、任意の大きな濃度を持つ任意の無限一階構造の基本拡張を与える。

タルスキー・ヴォート判定法（またはタルスキー・ヴォート基準）は、構造Mの部分構造Nが基本部分構造であるための必要十分条件である。これは、大規模構造の基本部分構造を構築する際に有用である。

M をシグネチャσの構造とし、N をMの部分構造とする。このとき、NがMの基本部分構造であるのは、 σ上のすべての一次論理式φ ( x , y ₁ , …, y _n )と Nのすべての要素b ₁ , …, b _nに対して、 M が次の条件を満たす場合に限る。     ${\displaystyle \models }$${\displaystyle \exists }$x φ ( x , b ₁ , …, b _n ) の場合、 Mとなる要素aがNに存在します。    ${\displaystyle \models }$φ ( a , b ₁ , …, b _n )。^{[ 2 ]}   

同じシグネチャσを持つ構造Nから構造Mへの基本的な埋め込みとは、すべての 1 階σ式φ ( x ₁ , …, x _n ) および N のすべての要素a 1 , _… , a n_に対して、次の写像 h : N → Mのことである。        

N${\displaystyle \models }$φ ( a ₁ ,  …, a _n ) は、 Mの場合に限り成り立つ。 ${\displaystyle \models }$φ ( h ( a ₁ ),  …, h ( a _n )) 

すべての基本埋め込みは強準同型であり、NとMの基本部分構造との間の同型を誘導する。

基本埋め込みは、モデル理論において最も重要な写像です。集合論においては、領域がV (集合論の宇宙) である基本埋め込みは、大きな基数の理論において重要な役割を果たします(臨界点も参照)。

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd  ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3。
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）、『より短いモデル理論』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58713-6。
• モンク、J.ドナルド（1976）、『数理論理学』、大学院数学テキストシリーズ、ニューヨーク・ハイデルベルク・ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-90170-1