署名（ロジック）

論理学、特に数理論理学では、シグネチャは形式言語の非論理記号をリストし、記述する 。普遍代数では、シグネチャは代数構造を特徴付ける演算をリストする。モデル理論では、シグネチャは両方の目的で使われる。論理学のより哲学的な扱いでは、シグネチャが明示的に示されることはめったにない。

正式には、（単一ソートされた）署名は、4つの組として定義することができ、ここで、およびはそれぞれと呼ばれる他の基本論理記号を含まない 互いに素な集合である。${\displaystyle \sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right),}$${\displaystyle S_{\operatorname {func} }}$${\displaystyle S_{\operatorname {rel} }}$

• 関数記号（例：）、${\displaystyle +,\times }$
• 関係記号または述語（例：）、${\displaystyle \,\leq ,\,\in }$
• 定数記号（例：）、${\displaystyle 0,1}$

そして、すべての関数または関係記号にアリティと呼ばれる自然数を割り当てる関数。関数または関係記号は、そのアリティが である場合に -aryと呼ばれます。一部の著者は、ヌル引数 ( -ary) 関数記号を定数記号として定義し、それ以外の場合は定数記号は別途定義されます。 ${\displaystyle \operatorname {ar} :S_{\operatorname {func} }\cup S_{\operatorname {rel} }\to \mathbb {N} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle 0}$

関数記号のないシグネチャは関係署名と呼ばれ、関係記号のない署名は 代数的署名。^[1]有限署名とは、 およびが有限でような署名である。より一般的には、署名の濃度は次のように定義される。${\displaystyle S_{\operatorname {func} }}$${\displaystyle S_{\operatorname {rel} }}$${\displaystyle \sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)}$${\displaystyle |\sigma |=\left|S_{\operatorname {func} }\right|+\left|S_{\operatorname {rel} }\right|+\left|S_{\operatorname {const} }\right|.}$

の署名の言語は、その署名内のシンボルと論理システム内のシンボルから構築されたすべての整形式の文の集合です。

普遍代数学では、入力または類似性タイプは「シグネチャ」の同義語としてよく使われる。モデル理論では、シグネチャはしばしば${\displaystyle \sigma}$語彙、または非論理記号 を提供する(一階)言語 。ただし、言語の濃度は常に無限大である。 が有限であればとなる。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle |L|}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

正式な定義は日常の使用には不便であるため、特定の署名の定義は次のように非公式に省略されることがよくあります。

「アーベル群の標準的なシグネチャは、単項演算子であるです。」${\displaystyle \sigma =(+,-,0),}$${\displaystyle -}$

代数的シグネチャは、次のように、単なる引数のリストとして扱われることがあります。

「アーベル群の相似型は」${\displaystyle \sigma =(2,1,0).}$

正式には、シグネチャの関数シンボルは(2 項)、(単項)、 (零項)のように定義されますが、実際にはこの規則に関連しても通常の名前が使用されます。 ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

数理論理学では、多くの場合、記号はゼロ引数であることが許されないため^{[要出典]、}定数記号はゼロ引数関数記号としてではなく、別個に扱う必要がある。定数記号は、引数関数が定義されていない集合とは互いに素な集合を形成する。しかし、これは問題を複雑にするだけであり、特に式の構造に対する帰納法による証明では、追加のケースを考慮しなければならない。ゼロ引数関係記号もそのような定義では許されないが、その値はすべての要素に対して同じであることを表す文を添えた単項関係記号によってエミュレートできる。この変換は、空の構造 (慣例により除外されることが多い) の場合のみ失敗する。ゼロ引数記号が許される場合、命題論理のすべての式は、一階述語論理の式でもある。 ${\displaystyle S_{\operatorname {const} }}$${\displaystyle S_{\operatorname {func} },}$${\displaystyle \operatorname {ar} }$

無限署名の例では、とを使用して、無限スカラー体上のベクトル空間に関する式と方程式を形式化します。ここで、それぞれは、によるスカラー乗算の単項演算を表します。このようにして、署名とロジックは、ベクトルのみをソートして、単一ソートに保つことができます。^[2]${\displaystyle S_{\operatorname {func} }=\{+\}\cup \left\{f_{a}:a\in F\right\}}$${\displaystyle S_{\operatorname {rel} }=\{=\}}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle f_{a}}$${\displaystyle a.}$

一階述語論理の文脈では、署名内の記号は非論理記号とも呼ばれます。これは、署名内の記号が論理記号とともに、署名上の項の集合と署名上の（整形式の）式の集合という2 つの形式言語が帰納的に定義される基礎となるアルファベットを形成するためです。

構造では、解釈によって関数記号と関係記号が、その名前を正当化する数学的オブジェクトに結び付けられます。ドメインを持つ構造 内の-ary 関数記号の解釈は関数であり、 -ary 関係記号の解釈は関係です。ここで はドメインとそれ自体の- 倍直積を表すため、 は実際には-ary 関数であり、-ary関係です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle f^{\mathbf {A} }:A^{n}\to A,}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R^{\mathbf {A} }\subseteq A^{n}.}$${\displaystyle A^{n}=A\times A\times \cdots \times A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$

多ソートロジックと多ソート構造の場合、シグネチャはソートに関する情報をエンコードする必要があります。これを行う最も簡単な方法は、一般化されたアリティの役割を果たすシンボル型^{。 [3]}

を記号を含まない集合（のようなもの）とする。${\displaystyle S}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \to .}$

上の記号型は、アルファベット上の特定の単語です。関係記号型と、非負の整数および関数記号型です(式は空の単語を表します)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S\cup \{\times ,\to \}}$${\displaystyle s_{1}\times \cdots \times s_{n},}$${\displaystyle s_{1}\times \cdots \times s_{n}\to s^{\prime },}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n},s^{\prime }\in S.}$${\displaystyle n=0,}$${\displaystyle s_{1}\times \cdots \times s_{n}}$

（多ソート）署名は、以下の３つから構成される。 ${\displaystyle (S,P,\operatorname {type} )}$

• ある種のセット、${\displaystyle S}$
• 一連のシンボル、そして${\displaystyle P}$
• シンボルタイプ内のすべてのシンボルに関連付けられたマップ${\displaystyle \operatorname {type} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle S.}$

• 項代数 – 与えられたシグネチャ上で自由に生成された代数構造

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981). 『普遍代数の講座』Springer . ISBN 3-540-90578-2。無料のオンライン版。
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）。「より短いモデル理論」ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58713-1。

• スタンフォード哲学百科事典：「モデル理論」—ウィルフレッド・ホッジス著。
• PlanetMath: エントリ「Signature」は、ソートが導入されていない場合の概念について説明します。
• Baillie, Jean、「抽象データ型の代数仕様入門」