O最小理論

数理論理学、より具体的にはモデル理論において、無限構造${\displaystyle (M,<,\dots )}$それは完全に${\displaystyle <}$は、定義可能な部分集合がすべて である場合に限り、 o-最小構造と呼ばれます。${\displaystyle X\subseteq M}$（パラメータは以下から取得）${\displaystyle M}$) は、区間と点の有限個の和集合です。

O-最小性は、量化子除去の弱い形式とみなすことができる。${\displaystyle M}$は、 1 つの自由変数とパラメータを持つすべての式が である場合に限り o-最小である。${\displaystyle M}$これは、順序のみを含む量化子なしの式と同等であり、パラメータも${\displaystyle M}$これは、等号に至るまで全く同じ性質を持つ最小構造に類似している。

理論​${\displaystyle T}$は、すべてのモデルがo-最小理論である場合です。${\displaystyle T}$は o-最小である。完全な理論は${\displaystyle T}$o-最小構造の完全理論はo-最小理論である。^{[ 1 ]}この結果は注目に値する。なぜなら、対照的に、最小構造の完全理論は必ずしも強く最小理論である必要はなく、つまり、最小ではない基本的な等価構造が存在する可能性があるからである。

O-最小構造は、モデル理論に頼ることなく定義できる。ここでは、空でない集合上の構造を定義する。${\displaystyle M}$集合論的な方法で、シーケンスとして$\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }}$そのため

1. ${\displaystyle S_{n}}$は、サブセットのブール代数である。${\displaystyle M^{n}}$
2. もし${\displaystyle D\in S_{n}}$それから${\displaystyle M\times D}$そして${\displaystyle D\times M}$は${\displaystyle S_{n+1}}$
3. セット${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n})\in M^{n}:x_{1}=x_{n}\}}$は${\displaystyle S_{n}}$
4. もし${\displaystyle D\in S_{n+1}}$そして$\displaystyle \pi :M^{n+1}\to M^{n}}$最初の投影図は${\displaystyle n}$座標、次に$\displaystyle \pi (D)\in S_{n}}$。

サブセットの場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle M}$最小の構造を考慮する${\displaystyle S(A)}$含む${\displaystyle S}$有限部分集合のすべて${\displaystyle A}$に含まれる${\displaystyle S_{1}}$部分集合${\displaystyle D}$の${\displaystyle M^{n}}$と呼ばれる${\displaystyle A}$-定義可能（含まれている場合）${\displaystyle S_{n}(A)}$その場合、${\displaystyle A}$は、パラメータのセットと呼ばれます。${\displaystyle D}$部分集合は、それが定義可能である場合、定義可能であると呼ばれます。${\displaystyle A}$-一部については定義可能${\displaystyle A}$。

もし${\displaystyle M}$端点のない密な線形順序を持つ、例えば${\displaystyle <}$すると構造${\displaystyle S}$の上${\displaystyle M}$は o-最小と呼ばれます (${\displaystyle <}$）追加の公理を満たす場合

6. セット${\displaystyle <}$（グラフで識別される）${\displaystyle \{(x,y)\in M^{2}:x<y\}}$) は${\displaystyle S_{2}}$
7. 定義可能な部分集合${\displaystyle M}$これらはまさに、区間と点の有限個の和集合である。

「o」は「順序」を表しており、任意のo最小構造は、基となる集合上の順序付けを必要とする。

O-最小構造はモデル理論に由来するため、モデル理論の言語を用いたより単純だが同等の定義を持つ。^{[ 2 ]} すなわち、${\displaystyle L}$二項関係を含む言語${\displaystyle <}$、 そして${\displaystyle (M,<,\dots )}$は${\displaystyle L}$-構造${\displaystyle <}$稠密線形順序の公理を満たすと解釈される場合、 ^{[ 3 ]}${\displaystyle (M,<,\dots )}$任意の定義可能な集合に対して、 が である場合、 は o-最小構造と呼ばれる。${\displaystyle X\subseteq M}$開区間は有限個存在する${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{r}}$で${\displaystyle M\cup \{\pm \infty \}}$そして有限集合${\displaystyle X_{0}}$そのため

${\displaystyle X=X_{0}\cup I_{1}\cup \ldots \cup I_{r}.}$

o-最小理論の例としては、以下のようなものがある。

• 順序付けのみを持つ言語における稠密線形順序の完全な理論。
• RCF、実閉体理論。^{[ 4 ]}
• 制限された解析関数を追加した実体の完全な理論（すなわち、近傍上の解析関数${\displaystyle [0,1]^{n}}$限定される${\displaystyle [0,1]^{n}}$（なお、制限のない正弦関数は無限に多くの根を持つため、o-最小構造では定義できないことに注意。）
• ウィルキーの定理による指数関数の記号を用いた実数体の完全な理論。より一般的には、パフィアン関数を加えた実数の完全な理論。
• 最後の2つの例は組み合わせることができます。実体の任意のo-最小展開（例えば、解析関数が制限された実体）が与えられた場合、そのパフィアン閉包を定義することができ、これもまたo-最小構造です。^{[ 5 ]}（構造のパフィアン閉包は、特に、多項式の代わりに任意の定義可能な関数が使用されるパフィアン鎖の下で閉じられています。）

RCF の場合、定義可能な集合は半代数集合です。したがって、o-最小構造と理論の研究は、実代数幾何学を一般化します。現在の研究の主要な流れは、o-最小である実順序体の拡張を発見することに基づいています。適用範囲の一般性にもかかわらず、o-最小構造で定義可能な集合の幾何学について多くのことを示すことができます。セル分解定理、^{[ 6 ]} WhitneyおよびVerdier層化定理、次元とオイラー標数の優れた概念があります。

さらに、o-最小構造における連続微分可能な定義可能関数は、Łojasiewicz 不等式の一般化を満たします。^{[ 7 ]}この性質は、確率的劣勾配法（いくつかの緩やかな仮定の下）などの非平滑最適化手法の収束を保証するために使用されてきました。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

• 半代数集合
• 実代数幾何学
• 強ミニマル理論
• 弱いo-最小構造
• C最小理論
• 扱いやすいトポロジー

• ファン・デン・ドリース、ルー（1998）。「扱いやすいトポロジーとo-最小構造」。ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第 248巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045 . 
• マーカー、デイビッド（2000）。「『穏やかなトポロジーとo-最小構造』のレビュー」( PDF) .アメリカ数学会報. 37 (3): 351– 357. doi : 10.1090/S0273-0979-00-00866-1 .
• マーカー、デイビッド（2002）。モデル理論入門。大学院数学テキスト第217巻。ニューヨーク 、NY：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034 . 
• Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "順序構造における定義可能な集合 I" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 295 (2): 565– 592. doi : 10.2307/2000052 . JSTOR 2000052 . Zbl 0662.03023 .  
• Knight, Julia ; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "順序構造における定義可能な集合 II" . Transactions of the American Mathematical Society . 295 (2): 593–605 . doi : 10.2307/2000053 . JSTOR 2000053 . Zbl 0662.03024 .  
• Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1988). "順序構造における定義可能な集合 III" . Transactions of the American Mathematical Society . 309 (2): 469– 476. doi : 10.2307/2000920 . JSTOR 2000920 . Zbl 0707.03024 .  
• Wilkie, AJ (1996). "制限付きパフィアン関数と指数関数による実数の順序体の展開に関するモデル完全性結果" (PDF) . Journal of the American Mathematical Society . 9 (4): 1051– 1095. doi : 10.1090/S0894-0347-96-00216-0 .
• Denef, J.; van den Dries, L. (1989). " p進および実部分解析集合". Annals of Mathematics . 128 (1): 79–138 . doi : 10.2307/1971463 . JSTOR 1971463 . 

• モデル理論プレプリントサーバー（ 2013年7月3日時点のアーカイブ）
• 実代数幾何学および解析幾何学プレプリントサーバー