ラグランジュの回帰定理

数学において、ラグランジュの反転定理は、暗黙的に定義された特定の関数、つまりそのような関数の合成の 級数展開または形式的な冪級数展開を与えます。

vを別の関数fによるxとyの関数とし、

${\displaystyle v=x+yf(v)}$

すると、任意の関数gに対して、十分小さいyに対して次のようになります。

${\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial}{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right).}$

gが単位元であれば、これ は

${\displaystyle v=x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}\right)}$

その場合、摂動法を使って方程式を導くことができます。

1770年、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ（ 1736–1813）は、上記のvの暗黙の方程式のべき級数解を発表しました。しかし、彼の解法は、対数の面倒な級数展開を使用していました。 ^{[1] [2]} 1780年、ピエール・シモン・ラプラス（1749–1827）は、変数xとパラメータyに関する偏微分の関係に基づいた、より単純な定理の証明を発表しました。 ^{[3] [4] [5]}シャルル・エルミート（1822–1901）は、輪郭積分を使用して定理の最も簡単な証明を提示しました。^{[6] [7] [8]}

ラグランジュの反転定理はケプラーの方程式の数値解を得るために使用されます。

まず次のように書きます:

${\displaystyle g(v)=\int \delta (yf(z)-z+x)g(z)(1-yf'(z))\,dz}$

デルタ関数を積分として書くと次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\iint \exp(ik[yf(z)-z+x])g(z)(1-yf'(z))\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\iint {\frac {(ikyf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(xz)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\iint {\frac {(yf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))e^{ik(xz)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\end{整列}}}$

k を積分すると次のようになります。 ${\displaystyle \delta (xz)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}}$

合計を並べ替えてキャンセルすると、次の結果が得られます。

${\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right)}$

• MathWorldのラグランジュ反転 [逆変換] 定理
• コーニッシュ・フィッシャー展開、定理の応用
• 時間の均衡に関する記事には、ケプラーの方程式への応用が含まれています。