不確定性原理

不確定性原理は、ハイゼンベルクの不確定性原理とも呼ばれ、量子力学における基本的な概念です。位置と運動量など、特定の物理的特性のペアを同時に知ることができる精度には限界があると述べています。言い換えると、1 つの特性をより正確に測定すればするほど、他の特性をより正確に知ることはできません。

より正式には、不確定性原理とは、位置xや運動量pなど、量子システム上の特定の関連する測定値のペアの精度の積に基本的な限界があると主張するさまざまな数学的不等式のいずれかです。^{[1]このようなペア変数は、}相補変数または正準共役変数として知られています。

_{1927年にドイツ}の物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによって初めて導入された^{[2] [3] [4] [5]}位置の標準偏差σxと運動量の標準偏差σp_を関係付ける正式な不等式は、その年の後半にアール・ヘッセ・ケナード^{[6]によって、1928年には}ヘルマン・ワイル^[7]によって導かれた。

ここで、 は換算プランク定数です。 ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

典型的な量子力学的な不確定性原理は、位置と運動量以外にもさまざまな形で現れます。エネルギーと時間の関係は、量子状態の寿命と測定されたエネルギー幅を関連付けるために広く使用されていますが、その正式な導出には時間の性質に関する紛らわしい問題が伴います。基本原理はさまざまな方向に拡張されており、多くの種類の基本的な物理的測定で考慮する必要があります。

この原理は人間が経験するマクロな^[8]スケールでは識別できないため、比較的理解しやすい物理的状況にどのように適用されるかを説明することは非常に重要です。量子物理学の2つの代替フレームワークは、不確定性原理に対して異なる説明を提供します。不確定性原理の波動力学図は視覚的に直感的ですが、より抽象的な行列力学図は、より簡単に一般化できる方法で定式化します。

数学的には、波動力学において、位置と運動量の間に不確定性関係が生じるのは、ヒルベルト空間の対応する２つの正規直交 基底における波動関数の表現が互いのフーリエ変換である（すなわち、位置と運動量は共役変数である）ためである。非ゼロ関数とそのフーリエ変換は、同時に鋭く局在化することはできない。^[9]フーリエ共役の分散間の同様のトレードオフは、例えば音波において、フーリエ解析の対象となるすべてのシステムで生じる。純音は単一周波数の鋭いスパイクであるが、そのフーリエ変換は時間領域における音波の形状を与え、それは完全に非局在化した正弦波である。量子力学において、２つの重要な点は、粒子の位置が物質波の形をとり、運動量がそのフーリエ共役であり、ド・ブロイ関係p = ħk（kは波数）によって保証されるということである。

量子力学の数学的定式化である行列力学では、観測量を表す非可換な 自己随伴演算子の任意のペアは、同様の不確定性限界の影響を受ける。観測量の固有状態は、特定の測定値（固有値）に対する波動関数の状態を表す。たとえば、観測量Aの測定が実行されると、システムはその観測量の特定の固有状態Ψにある。しかし、観測量Aの特定の固有状態は、別の観測量Bの固有状態である必要はない。そうであれば、システムはその観測量の固有状態にないため、それに関連する一意の測定値はない。^[10]

不確定性原理は、1 次元の質量を持つ 1 つのスピンレス粒子の位置空間波動関数と運動量空間波動関数を使用して視覚化できます。

位置空間波動関数がより局所化されるほど、その領域内の位置座標で粒子が見つかる可能性が高くなり、それに応じて運動量空間波動関数はより局所化されなくなるため、粒子が持つ可能性のある運動量成分はより広範囲になります。逆に、運動量空間波動関数がより局所化されるほど、その領域内の運動量成分の値で粒子が見つかる可能性が高くなり、それに応じて位置空間波動関数はより局所化されなくなるため、粒子が占める可能性のある位置座標はより広範囲になります。これらの波動関数は互いのフーリエ変換です。数学的には、不確定性原理は変換内の共役変数間の関係を表します。

ド・ブロイの仮説によれば、宇宙のあらゆる物体は波と関連している。したがって、素粒子から原子、分子、さらには惑星やそれ以降のあらゆる物体は不確定性原理の対象である。

波数k ₀または運動量p ₀の単モード平面波の時間に依存しない波動関数は^[11] $${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

ボルン則によれば、これは確率密度振幅関数として解釈されるべきであり、 aとbの間に粒子が見つかる確率は $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

シングルモード平面波の場合、は の場合は1、それ以外の場合は0です。言い換えると、粒子の位置は、波束上のどこにでも存在する可能性があるという意味で、極めて不確実です。 ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$${\displaystyle X=x}$

一方、多数の波の和である波動関数を考えてみましょう。これは と書くことができます 。 ここで、A _{n は}モードp _nの全体に対する相対的な寄与を表します。右の図は、多数の平面波を追加することで、波束がより局所的になる様子を示しています。これをさらに進めて連続体極限にすると、波動関数 はすべての可能なモードにわたる 積分となり、 はこれらのモードの振幅を表し、 運動量空間における波動関数と呼ばれます。数学的には、は のフーリエ変換であり、xとp は共役変数であると言えます。これらすべての平面波を足し合わせると、運動量の精度が低下し、多くの異なる運動量の波が混ざり合うという代償が伴います。^[12]$${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$$${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$${\displaystyle \varphi (p)}$${\displaystyle \varphi (p)}$${\displaystyle \psi (x)}$

位置と運動量の精度を定量化する 1 つの方法は、標準偏差 σです。は位置の確率密度関数なので、その標準偏差を計算します。 ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

多数の平面波を使用することで位置の精度が向上し、つまりσ _{x が}減少し、それによって運動量の精度が弱まり、つまりσ _{p が}増加します。別の言い方をすると、σ _xとσ _{p は}逆の関係にあるか、少なくとも下から制限されているということです。これが不確定性原理であり、その正確な限界はケナード境界です。

我々が興味を持っているのは、位置と運動量の 分散であり、次のように定義される。$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

一般性を失うことなく、平均値が消えると仮定します。これは、座標の原点をシフトするだけです。（この仮定をしないより一般的な証明は以下で示します。）これにより、より単純な形式が得られます。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

関数は関数空間のベクトルとして解釈できます。このベクトル空間で 関数u ( x ) とv ( x )のペアの内積を定義できます。 ここでアスタリスクは複素共役を表します。 ${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$$${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$

この内積を定義すると、位置の分散は次のように表せることがわかります。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

関数をベクトルとして解釈することで、運動量についてこれを繰り返すことができますが、と が互いのフーリエ変換であるという事実を利用することもできます。を部分積分して逆フーリエ変換を評価します。 ここで、部分積分では、波動関数が無限大と の両方で消えるため、キャンセルされた項が消え、 がpに依存しないため有効なディラックのデルタ関数を使用します。 ${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \varphi (p)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$${\displaystyle |e^{-ip\chi /\hbar }|=1}$${\displaystyle {\dfrac {d\psi (\chi )}{d\chi }}}$

この項は位置空間における運動量演算子と呼ばれる。プランシュレルの定理を適用すると、運動量の分散は次のように書けることがわかる。 ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

コーシー・シュワルツの不等式は、 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

任意の複素数zの二乗の係数は、 ととして表すことができ 、これらを上の式に代入すると、 $${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$$${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

残っているのはこれらの内積を評価することだけです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$

これを上記の不等式に当てはめると、 平方根を取ると $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

等式は、 pとx が線形従属である場合に限ります。この証明に含まれる唯一の物理的意味は、と が位置と運動量の波動関数であり、互いにフーリエ変換されているということであることに注意してください。同様の結果は、共役変数の任意のペア に対しても当てはまります。${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \varphi (p)}$

行列力学では、位置や運動量などの観測量は自己随伴演算子によって表される。^[12]観測量のペアを考える場合、重要な量は交換子である。演算子のペアÂとに対して、それらの交換子を次のように定義する。 位置と運動量の場合、交換子は標準的な交換関係である。${\displaystyle {\hat {B}}}$$${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

非可換性の物理的な意味は、位置固有状態と運動量固有状態に対する交換子の効果を考慮することで理解できます。を、定数固有値x ₀を持つ位置の右固有状態とします。定義により、これは次のことを意味します。 に交換子を適用すると、が生成されます 。 ここで、Îは恒等演算子です。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$

背理法による証明のために、 が定数の固有値p ₀を持つ運動量の右固有状態でもあると仮定します。これが真であれば、 次のように書くことができます。一方、上記の標準的な交換関係では、 となります。 これは、位置固有状態と運動量固有状態の両方を同時に持つ量子状態は存在しないことを意味します。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$

状態が測定されると、関連する観測量の基底における固有状態に投影されます。たとえば、粒子の位置が測定されると、その状態は位置固有状態になります。ただし、これは状態が運動量固有状態ではなく、複数の運動量基底固有状態の合計として表されることを意味します。言い換えると、運動量はそれほど正確ではないはずです。この精度は標準偏差によって定量化できます。 $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

上記の波動力学の解釈と同様に、不確定性原理によって定量化された 2 つの精度の間にはトレードオフが見られます。

1次元の量子調和振動子を考えてみましょう。位置演算子と運動量演算子を生成演算子と消滅演算子で表現することができます。 $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

エネルギー固有状態の生成および消滅演算子の標準規則を使用すると、 分散は直接計算できます。 これらの標準偏差の積は、 $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$ $${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

特に、上記のケナード境界^[6]は基底状態 n =0に対して飽和しており、その場合の確率密度は正規分布にちょうど一致する。

特性角周波数ωの量子調和振動子において、ポテンシャルの底から変位x ₀だけオフセットされた状態を次のように 置きます。ここで、 Ω は初期状態の幅を表しますが、 ω と同じである必要はありません。プロパゲータ上の積分により、完全な時間依存の解を求めることができます。多くのキャンセルの後、確率密度は次のように減少します。 ここで、平均μと分散σ ²の正規分布を表すために という 表記法を使用しています。上記の分散をコピーし、三角関数の恒等式を適用すると、標準偏差の積を次のように表すことができます 。$${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$ $${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

これらの関係から 、次のことが言えます（右端の等式はΩ = ωの場合にのみ成立します）。 $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

コヒーレント状態は消滅演算子の右固有状態であり、 フォック状態を用いて次のように 表される。$${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$$${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

コヒーレント状態が量子調和振動子内の質量粒子である図では、位置演算子と運動量演算子は、上記と同じ式の消滅演算子で表され、分散の計算に使用できます。 したがって、すべてのコヒーレント状態は 、位置と運動量がそれぞれ「バランスのとれた」方法で 一定量を寄与することで、ケナード境界を飽和します。さらに、すべての圧縮コヒーレント状態もケナード境界を飽和しますが、位置と運動量の個々の寄与は一般にバランスがとれている必要はありません。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$

長さ の 1 次元ボックス内の粒子を考えます。位置と運動量空間の固有関数は および で、 ここではド・ブロイの関係 を使用しています。およびの分散は明示的に計算できます。 ${\displaystyle L}$$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

したがって、標準偏差の積は となる。 すべての に対して、量は1より大きいので、不確定性原理に違反することはない。数値的に具体的には、 のときに最小値が生じ、その場合 $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$${\displaystyle n=1}$$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

粒子が、ある一定の運動量p ₀の周りの正規分布で記述される運動量空間波動関数を最初に持っていると仮定する。ここで 、分布の幅を記述する 基準スケールを導入する（無次元化を参照） 。状態が自由空間で発展することを許される場合、時間依存の運動量および位置空間波動関数は、 $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$${\displaystyle \omega _{0}>0}$$${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

となので、これは粒子が一定の運動量で任意の高精度で動いていると解釈できる。一方、位置の標準偏差は、 不確実性積が時間とともに増加する程度であり、 ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$$${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$$${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

ケナードの位置運動量不確定性の導出から始めて、ハワード・パーシー・ロバートソンは、任意のエルミート作用素の作用素 をその標準偏差で表す 定式化を考案した^{[13] [1]} 。 括弧は、作用素で表される観測量の期待値を示す。作用素のペアとに対して、それらの交換子を次のように定義する。 ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$$${\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},}$$${\displaystyle \langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle }$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$$${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},}$$

ロバートソンの不確実性関係は^{[14]で与えられる。} $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|.}$$

エルヴィン・シュレーディンガー^{[15]は、演算子間の相関関係を考慮し、}ロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係として知られるより強い不等式を与える方法を示した。^{[16] [1]}

ここで反交換子が使用されます。 ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

量子力学の位相空間定式化において、ロバートソン・シュレーディンガー関係は実数スタースクエア関数の正値条件から導かれる。スター積★を持つウィグナー関数 と関数fが与えられたとき、一般に次が成り立つ：^[24]${\displaystyle W(x,p)}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

を選択すると、 ${\displaystyle f=a+bx+cp}$$${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

この正値条件はa、b、c のすべてに 当てはまるため、行列のすべての固有値は非負になります。

非負の固有値は、対応する行列式上の非負条件を意味する。 または、明示的に代数的操作を行った後、 $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

ロバートソン関係とシュレーディンガー関係は一般的な演算子に対するものであるため、この関係を任意の 2 つの観測可能量に適用して、特定の不確定性関係を得ることができます。文献に見られる最も一般的な関係のいくつかを以下に示します。

• 位置-線形運動量不確定性関係: 位置および線形運動量演算子の場合、標準交換関係は上記のケナード不等式を意味します。${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• 角運動量の不確定性関係:物体の全角運動量演算子の 2 つの直交成分について、次の式が成り立ちます。ここで、i、j、kはそれぞれ異なり、J _{i は}x _i軸に沿った角運動量を表します。この関係は、3 つの成分すべてが同時に消えない限り、システムの角運動量の 1 つの成分のみ、通常は外部 (磁場または電場) に平行な成分のみを任意の精度で定義できることを意味します。さらに、 について、角運動量多重項ψ = | j , m ⟩ で 、を選択すると、カシミール不変量(角運動量の 2 乗、 ) が下から制限されるため、 j ( j + 1) ≥ m ( m + 1)などの有用な制約が得られ、したがってj ≥ mなどとなります。$${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$

• 超伝導体中の電子数とギンツブルグ・ランダウ秩序パラメータの位相について^{[25] [26]} $${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

演算子 および に対するロバートソン不等式の導出には、およびが定義されていることが必要である。これらの条件が有効でない量子システムもある。^{[27]一例として、}リング 上の 量子粒子が挙げられ、ここで波動関数は区間 内の角度変数に依存します。 およびによって 、「位置」演算子および「運動量」演算子を、 上の周期境界条件とともに 定義 します。 の定義は、 0 から の範囲に依存します。これらの演算子は、位置演算子および運動量演算子 に対する通常の交換関係 を満たします。より正確には、と の両方が定義されているときはいつでも、そのような の空間は量子ヒルベルト空間の稠密な部分空間です。^[28]${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [0,2\pi ]}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$$${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$$${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$${\displaystyle \psi }$

ここで、 を の固有状態のいずれかとします。これはで与えられます。これらの状態は、直線上の運動量演算子の固有状態とは異なり、正規化可能です。また、は有界区間にわたるため、演算子 は有界です。したがって、状態 では、 の不確実性はゼロで、 の不確実性は有限であるため、 が 成り立ちます。 この場合、ロバートソンの不確定性原理は適用されません。 は演算子 のドメイン内にありません。 による乗算により に課せられた周期境界条件が破壊されるためです。^[20]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\hat {B}}}$

実数直線上の通常の位置および運動量演算子およびに対しては、そのような反例は起こり得ない。およびが状態 で定義されている限り、が または の領域内にない場合であっても、ハイゼンベルクの不確定性原理は成立する。^[29]${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{p}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$

ロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係は、密度行列の任意の分解のすべての成分に対して成立する必要があることに留意することで改善できます。ここで、確率とが成立します。次に、の関係を使用して 、次 の 式が 得られます。 ^[30]ここで、 境界内の関数は定義されます 。上記の関係は、元のロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係よりも大きな境界を持つことがよくあります。したがって、量子状態ではなく量子状態の混合成分についてロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係の境界を計算し、それらの平方根の平均を計算する必要があります。次の式は、 右側に密度行列の分解の上に凹状の屋根があるロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係よりも強力です。上記の改善された関係は、すべての単一量子ビットの量子状態によって飽和します。^[30]${\displaystyle \varrho _{k}}$$${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$${\displaystyle p_{k}\geq 0}$${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$$${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$$${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

同様の議論で、右辺に凸屋根を持つ関係式を導くことができる^[30]。 ここで、は量子フィッシャー情報量を表し、密度行列は純粋状態に分解される。 この導出は、量子フィッシャー情報が分散の4倍の凸屋根である という事実を利用している。 ^{[31] [32]}$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$$${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$

凸屋根なしでもより単純な不等式が成り立ち 、これはハイゼンベルクの不確定性関係よりも強い ^[33] 。なぜなら、量子フィッシャー情報量に対しては等式が成り立つのに対し、純粋状態に対しては等式が成り立つからである。 $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},}$$

ロバートソン–シュレーディンガーの不確定性関係は、システムの状態が観測量の 1 つの固有状態になるように選択される場合、自明である可能性があります。Lorenzo Maccone とArun K. Patiによって証明されたより強い不確定性関係は、2 つの互換性のない観測量の分散の合計に非自明な境界を与えます。^[34] (分散の合計として定式化された不確定性関係に関する以前の研究には、例えば、Yichen Huang による文献^[35]が含まれます。) 2 つの非可換な観測量との場合、最初のより強い不確定性関係は次のように与えられます 。 ここで、、はシステムの状態に直交する正規化されたベクトルであり、この実数を正の数にするには の符号を選択​​する必要があります。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}$${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}$${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }$

2 番目に強い不確定性関係は、がに直交する状態である場合に、 によって与えられます 。の形式は、が の固有状態でない限り、新しい不確定性関係の右辺が非ゼロであることを意味します。 は、または のいずれの固有状態であってもなくても、の固有状態になることができることに注意してください。ただし、 が 2 つの観測量のうちの 1 つの固有状態である場合、ハイゼンベルク–シュレーディンガーの不確定性関係は自明になります。ただし、が両方の固有状態でない 限り、新しい関係の下限は非ゼロです。$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}$$${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle (A+B)}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle (A+B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$

のようなエネルギーと時間の不確定性関係には 、長く議論の多い歴史があります。との意味は様々で、異なる定式化には異なる妥当性領域があります。^[36]しかし、よく知られた応用の 1 つは、十分に確立されており^{[37] [38]}、実験的に検証されています。[ ^{39] [40]}共鳴状態の寿命とそのエネルギー幅の関係: 素粒子物理学では、ブライト-ウィグナーエネルギー分布への実験的適合からの幅は、準安定状態または減衰状態の寿命を特徴付けるために使用されます。^[41]$${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2,}$$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta E}$${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}}$${\displaystyle \Delta E}$$${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4.}$$

この原理の非公式で発見的な意味は次のとおりです。^[42]短時間しか存在しない状態は、一定のエネルギーを持つことはできません。一定のエネルギーを持つためには、状態の周波数を正確に定義する必要があり、これには、必要な精度の逆数である多くのサイクルにわたって状態が存在することが必要です。たとえば、分光法では、励起状態には有限の寿命があります。時間エネルギー不確定性原理により、励起状態は一定のエネルギーを持たず、崩壊するたびに放出されるエネルギーはわずかに異なります。放出される光子の平均エネルギーは、状態の理論的なエネルギーでピークを持ちますが、分布には自然線幅と呼ばれる有限の幅があります。崩壊が速い状態は線幅が広く、崩壊が遅い状態は線幅が狭いです。^{[43]同じ線幅効果により、}素粒子物理学では、不安定で崩壊が速い粒子の静止質量を特定することも困難になります。粒子の崩壊が速いほど（寿命が短いほど）、その質量は不確実になります（粒子の幅が大きくなります）。

量子力学における「時間」の概念には多くの課題がある。^[44]時間測定の量子理論は存在しない。相対性は時間の基本であると同時に量子力学に組み込むのが難しい。^[36]位置と運動量は単一の粒子に関連付けられているが、時間はシステムの特性である。ロバートソン・シュレーディンガー関係に必要な演算子はない。^[1]安定した量子システムと不安定な量子システムの数学的処理は異なる。^[45]これらの要因が組み合わさって、エネルギーと時間の不確定性原理は議論の余地がある。

「時間」には3つの概念が区別できる：^[36]外部時間、内部時間、観測可能時間。外部時間または実験室時間は実験者によって観察される。内部時間は時計の針や自由粒子の運動のような動的変数の変化から推測される。観測可能時間は観測可能な時間、つまり時間的に隔てられたイベントの測定に関する。

外部時間エネルギー-時間不確定性原理によれば、量子系のエネルギーをある精度で測定するには時間間隔が必要であるとされる。^[38]しかし、ヤキル・アハロノフとデイヴィッド・ボーム^{[46] [36]は}、一部の量子系ではエネルギーを任意の短時間で正確に測定できることを示しており、外部時間不確定性原理は普遍的ではない。 ${\displaystyle \Delta E}$${\displaystyle \Delta t>h/\Delta E}$

固有時間は、次のセクションで説明するマンデルシュタム-タム関係を含む、エネルギーと時間の不確定性関係のいくつかの定式化の基礎となる。外部実験室時間と密接に一致する固有時間を持つ物理システムは「時計」と呼ばれる。^{[44] : 31}

観測可能時間、つまり2つの出来事の間の時間を測定することは量子理論にとって依然として課題であるが、正の演算子値測定概念を用いることである程度進歩が遂げられている。^[36]

1945年、レオニード・マンデリシュタムとイゴール・タムは、非相対論的な時間とエネルギーの不確定性関係を次のように導いた。 ^{[47] [36]}ハイゼンベルク力学から、明示的な時間依存性のない観測量Bに対する一般化エーレンフェスト定理は、自己随伴演算子によって表され、平均値の時間依存性とそのハミルトニアンの交換子の平均を 関連付けます。${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle .}$$

次に、ロバートソンの不確定性関係において、エネルギー演算子および をに代入すると、 が 得られます (分母がゼロでない場合は常に)。これは普遍的な結果ですが、選択された観測量と、偏差 および が特定の状態について計算されることに依存します。と特性時間を 識別すると、 エネルギーと時間の関係が得られます。 は時間の次元を持ちます が、シュレーディンガー方程式に入る時間パラメータtとは異なります。これは、観測量の期待値が 1 標準偏差に等しい量だけ変化する時間として解釈できます。^[48] 例: ${\displaystyle \langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$$${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$$${\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$${\displaystyle \sigma _{H}}$${\displaystyle \sigma _{B}}$${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}}$$${\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}}$$${\displaystyle \Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$${\displaystyle \tau _{B}}$${\displaystyle \tau _{B}}$${\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle ,}$

• 自由量子粒子が空間内の点を通過する時間は、状態のエネルギーがより正確に制御されるにつれて不確実性が高まる。時間の広がりは粒子の位置の広がりと関連し、エネルギーの広がりは運動量の広がりと関連しているため、この関係は位置と運動量の不確実性に直接関係している。^{[17] : 144}${\displaystyle \Delta T=\hbar /2\Delta E.}$
• 陽子と中性子に関連するクォークの準安定複合体であるデルタ粒子の寿命は10 ⁻²³ 秒であるため、エネルギー1232 MeV/ c ²に相当する測定質量は±120 MeV/ c ²変動する。この変動は固有のものであり、測定誤差によるものではない。^{[17] : 144}
• エネルギーが重ね合わされて複合状態を形成する2つのエネルギー状態${\displaystyle \psi _{1,2}}$${\displaystyle E_{1,2},}$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}.}$$

この状態の確率振幅には時間依存の干渉項があります。

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t).}$$

振動周期はエネルギー差に反比例して変化する。[ ^{17] : 144}${\displaystyle \tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})}$

各例では、使用される観測可能値と状態に応じて、時間の不確実性の意味が異なります。

量子場理論のいくつかの定式化では、計算に仮想粒子と呼ばれる一時的な電子-陽電子対を使用します。これらの粒子の質量エネルギーと寿命は、エネルギーと時間の不確定性関係によって関連しています。量子システムのエネルギーは、その動作を単一の単純な履歴に限定できるほどの精度でわかっていません。したがって、測定/計算されたエネルギー分布の平均よりもはるかに大きいまたははるかに小さいエネルギーを持つ履歴も含め、すべての履歴の影響を量子計算に組み込む必要があります。

エネルギーと時間の不確定性原理は、エネルギー保存則を一時的には破るものではない。エネルギーが短時間内に「返される」限り、宇宙から「借りる」ことができるということを意味しているわけではない。^{[17] : 145}宇宙のエネルギーは、常に正確にわかっているパラメータではない。^[1]非常に短い時間間隔でイベントが発生する場合、これらのイベントのエネルギーには不確定性がある。

調和解析の文脈では、不確定性原理は関数の値とそのフーリエ変換を同時に局所化することはできないことを意味している。すなわち、次の不等式が成り立つ。 $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.}$$

上記のエントロピー不確実性を含むさらなる数学的不確実性不等式は、関数fとそのフーリエ変換ƒ̂の間に成立する：^{[49] [50] [51]} $${\displaystyle H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)}$$

時間周波数解析の文脈では、不確定性原理は、デニス・ガボールにちなんでガボール限界、またはハイゼンベルク・ガボール限界と呼ばれることがあります。以下の「ベネディックスの定理」から導かれる基本的な結果は、関数が時間制限と帯域制限の両方を受けることはできない（関数とそのフーリエ変換が両方とも有界領域を持つことはできない）ということです—帯域制限と時間制限 を参照してください。より正確には、時間帯域幅または持続時間帯域幅の積は を満たします 。 ここで、 および はそれぞれ時間エネルギー集中と周波数エネルギー集中の標準偏差です。 ^[52]最小値は、ガウス形状のパルス（ガボールウェーブレット）で達成されます [非二乗ガウス（つまり信号振幅）とその非二乗フーリエ変換振幅 の場合。二乗すると、それぞれ倍数 だけ減少します。] 別の一般的な尺度は、時間と周波数の半値全幅（電力/エネルギー）の積で、ガウスの場合 に等しくなります（帯域幅制限パルス を参照）。 $${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0.08{\text{ cycles}},}$$${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle 2\ln 2/\pi \approx 0.44}$

言い換えれば、信号f を時間領域と周波数領域の両方で同時に明確に特定することはできません。

フィルターに適用した場合、高い時間分解能と高い周波数分解能を同時に達成することはできないという結果が示されています。具体的な例としては、短時間フーリエ変換の分解能の問題があります。広いウィンドウを使用すると、時間分解能を犠牲にして優れた周波数分解能が得られますが、狭いウィンドウを使用すると逆のトレードオフがあります。

代替定理はより正確な定量的結果をもたらし、時間周波数解析では、(1 次元) 時間領域と周波数領域を別々に解釈するのではなく、(2 次元) 時間周波数平面における関数のサポートの下限として限界を解釈します。実際には、ガボール限界は干渉なしで達成できる同時時間周波数解像度を制限します。より高い解像度を達成することは可能ですが、信号の異なるコンポーネントが互いに干渉するという代償を払うことになります。

その結果、過渡現象が重要な信号を解析するために、フーリエ変換の代わりに ウェーブレット変換がよく使用されます。

をN個の複素数の列とし、その離散フーリエ変換を とします。 ${\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

時間系列の非ゼロ要素の数を で表し、周波数系列の非ゼロ要素の数を で表します。すると、 ${\displaystyle \|x\|_{0}}$${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$${\displaystyle \|X\|_{0}}$${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$$${\displaystyle \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N.}$$

この不等式は鋭く、xまたはXがディラック質量の場合、またはより一般的にはx がN を法とする整数の部分群でサポートされているディラック コームの非ゼロ倍である場合に等式が達成されます(この場合、Xも相補部分群でサポートされているディラック コームであり、その逆も同様です)。

より一般的には、TとW がNを法とする整数の部分集合である場合、はそれぞれ 時間制限演算子 と帯域制限演算子を表すものとする。ここ でノルム はNを法とする整数上の関数のヒルベルト空間上の演算子の演算子ノルムである。この不等式は信号再構成に影響する。^[53]${\displaystyle L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$$${\displaystyle \|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}}$$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

Nが素数のとき、より強い不等式が成り立ちます。 テレンス・タオ によって発見されたこの不等式も鋭いものです。^[54]$${\displaystyle \|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1.}$$

アムライン・ベルティエ定理^[55]とベネディックス定理^[56]は、 fが非ゼロである点の集合とƒ̂が非ゼロである点の集合が両方とも小さくなることはできないことを直感的に示しています。

具体的には、 L ² ( R )の関数fとそのフーリエ変換ƒ̂ が有限ルベーグ測度の集合上でサポートされることは不可能である。より定量的なバージョンは^{[57] [58]である。} $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~.}$$

因子Ce ^{C | S || Σ |は}Ce ^{C (| S || Σ |) 1/ d}に置き換えられると考えられますが、これはSまたはΣ のいずれかが凸である場合にのみ知られています。

数学者GHハーディは、次のような不確定性原理を定式化した。^[59] fとƒ̂が両方とも「非常に急速に減少する」ことはあり得ない。具体的には、 fが（整数）である場合、ab > 1であれば f = 0であり、 ab = 1であればN次の多項式Pが存在し、 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle |f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}}$$$${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}}$$${\displaystyle C>0,N}$$${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}.}$$

これは後に次のように改良されました:が成り立つ場合、 となり 、ここ でP は次数( N − d )/2の多項式であり、A は実数d × d の正定値行列です。 ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}$$$${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

この結果は、Beurlingの全著作では証明なしで述べられており、Hörmander ^[60] ( の場合) と Bonami、Demange、Jaming ^[61]によって一般の場合が証明されている。Hörmander–Beurlingのバージョンは、 Hardyの定理のab > 1の場合を意味しているのに対し、Bonami–Demange–Jamingのバージョンは、Hardyの定理の完全な強さをカバーしていることに注意する必要がある。Liouvilleの定理に基づくBeurlingの定理の別の証明は、文献^{[62]に掲載されている。}${\displaystyle d=1,N=0}$

ab < 1の場合の詳細な説明と、シュワルツ類分布への次の拡張については、文献^{[63]に記載されている。}

量子計測学、特に干渉計において、ハイゼンベルク限界とは、測定精度が測定に使用されたエネルギーに比例する最適な速度のことである。通常、これは位相の測定（ビームスプリッターの一方のアームに適用）であり、エネルギーは干渉計で使用される光子の数で与えられる。ハイゼンベルク限界を破ったと主張する人もいるが、これはスケーリングリソースの定義に関する意見の不一致を反映している。^[64]適切に定義されれば、ハイゼンベルク限界は量子力学の基本原理の結果であり、弱いハイゼンベルク限界は破ることができるが、これを破ることはできない。^[65]

上記の不等式は、標準偏差によって定量化された観測量の統計的不正確さに焦点を当てています。しかし、ハイゼンベルクの元のバージョンは、測定装置によって生成される量子システムの乱れ、つまり観測者効果である 系統的誤差を扱っていました。${\displaystyle \sigma }$

観測量Aの測定誤差（つまり不正確さ）と、共役変数Bのその後の測定でAの以前の測定によって生じる外乱を表すとすると、小沢正直が提案した不等式（系統的誤差と統計的誤差の両方を含む）が成り立つ：^[66]${\displaystyle \varepsilon _{A}}$${\displaystyle \eta _{B}}$

1927年に最初に記述されたハイゼンベルクの不確定性原理は、系統的誤差に関する小沢不等式の第1項のみに言及している。上記の表記法を使用して、連続測定（最初にA、次にB ）の誤差/外乱効果を記述すると、次のように記述できる。

ハイゼンベルクの関係式の正式な導出は可能ですが、直感的ではありません。これはハイゼンベルクによって提案されたものではなく、近年になって初めて数学的に一貫した方法で定式化されました。^{[ 67] [ 68]}また、ハイゼンベルクの定式化では固有の統計誤差と が考慮されていないことにも注意する必要があります。量子不確定性全体がハイゼンベルク項だけでは説明できず、小沢不等式の3つの項すべての存在が必要であることを示す実験的証拠が増えています[ ^{69] [70] [71] [72] 。}${\displaystyle \sigma _{A}}$${\displaystyle \sigma _{B}}$

同じ形式論^{[1]を使用して、前のものと混同されることの多い別の種類の物理的状況、つまり}同時測定（AとBを同時に測定） のケースを導入することもできます。

AとBの2つの同時測定は必然的に^[73] 不鮮明または弱いものとなる。

小澤の不確定性関係と同様に、統計的誤差と系統的誤差の両方の要素を組み合わせながらも、ハイゼンベルクの元の不等式に非常に近い形を保つ不確定性関係を導くことも可能である。ロバートソン^[1]

と小澤の関係から、 4つの項は次のように表される。 を 変数Aの測定値の不正確さ、および 共役変数Bの結果としての変動 として 定義する と、藤川一夫^{[74]はハイゼンベルクの元の不確定性関係に似ているが、}系統的誤差と統計的誤差の両方に有効な不確定性関係を確立した。 $${\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$$${\displaystyle (\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$$${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}$$$${\displaystyle {\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})}$$

多くの分布では、標準偏差は構造を定量化する特に自然な方法ではありません。たとえば、観測値の1つが角度である不確実性関係は、1周期よりも大きな変動に対しては物理的な意味をほとんど持ちません。^{[22] [75] [76] [77]}その他の例としては、高度に二峰性の分布や、分散が発散する 単峰性分布などがあります。

これらの問題を克服する解決策は、分散の積ではなくエントロピーの不確実性に基づく不確実性である。1957年に量子力学の多世界解釈を定式化する際に、ヒュー・エヴェレット3世は、エントロピーの確実性に基づく不確定性原理のより強力な拡張を予想した。^[78]この予想は、II・ヒルシュマン^[79]によっても研究され、1975年にW・ベックナー^[80]とイヴォ・ビアリニッキ・ビルラとイェジ・ミシェルスキ^[81]によって証明され、2つの正規化された無次元フーリエ変換のペアf ( a )とg ( b )に対して、

${\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}$   そして    ${\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}$

シャノン情報エントロピーは 、 以下の制約を受ける。 $${\displaystyle H_{a}=-\int _{-\infty }^{\infty }|f(a)|^{2}\log |f(a)|^{2}\,da,}$$$${\displaystyle H_{b}=-\int _{-\infty }^{\infty }|g(b)|^{2}\log |g(b)|^{2}\,db}$$

ここで、対数は任意の底を取ることができます。

位置波動関数ψ ( x )と運動量波動関数φ ( x )に関連付けられた確率分布関数は、それぞれ長さと運動量の逆数の次元を持ちますが、エントロピーは次のように無次元化できます 。 ここで、 x ₀とp _{0 は}、それぞれ任意の長さと運動量であり、対数の引数を無次元化します。エントロピーは、これらの選択されたパラメータの関数になることに注意してください。位置波動関数ψ ( x )と運動量波動関数φ ( p )の間のフーリエ変換関係により、上記の制約は、対応するエントロピーに対して次のように記述できます。 $${\displaystyle H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle }$$ $${\displaystyle H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle }$$

ここでhはプランク定数です。

x ₀ p ₀積の選択に応じて、式はさまざまな方法で記述できます。x ₀ p ₀がhに選択された場合、 $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$

代わりにx ₀ p ₀をħとすると、 $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )}$$

x ₀とp _{0 が}どのような単位系であれ1になるように選択されると、 hは 選択された単位系におけるプランク定数の値に等しい無次元数として解釈される。これらの不等式は、マルチモード量子状態、または複数の空間次元における波動関数に拡張できることに注意されたい。^[82]$${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)}$$

量子エントロピー不確定性原理はハイゼンベルクの不確定性原理よりも制限的である。逆対数ソボレフ不等式^[83] （正規分布は与えられた分散を持つすべての分布のエントロピーを最大化するという事実と同等）から、このエントロピー不確定性原理は標準偏差に基づく原理よりも強いことが容易に分かる。 $${\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~,}$$$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

言い換えれば、ハイゼンベルクの不確定性原理は量子エントロピーの不確定性原理の結果であり、その逆は成り立ちません。これらの不等式について少し述べます。まず、底 eの選択は物理学で一般的な慣例事項です。対数は、不等式の両辺で一貫している限り、任意の底にすることができます。次に、量子フォンノイマンエントロピーではなく、シャノンエントロピーが使用されていることを思い出してください。最後に、正規分布は不等式を飽和させますが、これは固定分散を持つ分布の中で最大エントロピー確率分布であるため、この特性を持つ唯一の分布です(証明については ここを参照)。

測定装置は、出力をビンに分割することで有限の解像度を持ち、ビンの 1 つに含まれる確率はボルン則で与えられます。ビンが均一なサイズである最も一般的な実験状況を考えてみましょう。δxを空間解像度の尺度とします。ゼロ番目のビンは原点付近を中心とし、小さな定数オフセットcを持つものとします。幅δxの j 番目の間隔に含まれる確率は、 $${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}$$

この離散化を考慮するために、与えられた測定装置の波動関数のシャノンエントロピーを次のように定義することができる。 $${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}].}$$

上記の定義によれば、エントロピー不確定性関係は $${\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right).}$$

ここで、δx δp / h は、分割関数の計算で使用される典型的な無限小位相空間体積であることに注意してください。不等式も厳密であり、飽和していません。この境界を改善するための取り組みは、活発な研究分野です。

全角運動量 の粒子に対して、次の不確定性関係が成り立ちます 。 ここで、は角運動量成分です。この関係は、およびから導かれます。 この関係は 、 次のように強化することができます。^{[30] [84]} ここで、は量子フィッシャー情報です。 ${\displaystyle j}$$${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j,}$$${\displaystyle J_{l}}$$${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1),}$$$${\displaystyle \langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j.}$$ $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j,}$$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,J_{z}]}$

1925年にハイゼンベルクはUmdeutung（再解釈）論文を発表し、量子論の中心的な側面は非可換性であることを示した。この理論は、位置と運動量の測定の相対的な順序が重要であることを示唆していた。マックス・ボルンとパスクアル・ジョルダンと協力して、彼は行列力学の開発を続け、これが最初の現代量子力学の定式化となった。^[85]

1926年3月、ボーアの研究所で働いていたハイゼンベルクは、非可換性が不確定性原理を意味することに気づいた。 1927年2月にヴォルフガング・パウリに手紙を書き、基本的な概念を解明した。^[86]

ハイゼンベルクは、 1927 年の有名な論文「量子論的運動学と力学の知覚内容について」で、この式を位置測定によって生じる避けられない運動量擾乱の最小量として確立しましたが、^{[2]不確実性 Δx と Δ} pの正確な定義は与えませんでした。代わりに、それぞれの場合について、妥当な推定値を個別に与えました。彼の論文では顕微鏡による分析が行われましたが、ボーアはそれが間違っていることを示しました。ハイゼンベルクは論文に補遺を含めました。

1930年のシカゴ講演^[87]で彼はその原理をさらに洗練させた。

その後の研究でこの概念は拡大されました。交換できない 2 つの変数は同時に測定できません。つまり、一方がより正確にわかるほど、もう一方はより不正確にしかわかりません。ハイゼンベルクは次のように書いています。

最も単純な形では、次のように表現できます。最小の粒子の動きを決定する2つの重要な要素、つまり位置と速度の両方を完璧な精度で知ることは決してできません。粒子の位置と方向と速度を同時に正確に決定することは不可能です。^[88]

ケナード^{[6] [1] : 204} 1927年に初めて現代の不等式を証明した。

ここでħ = ⁠h/2π​⁠、 σ _x、 σ _{p は}位置と運動量の標準偏差です。（ハイゼンベルクはガウス状態の特殊なケースについてのみ関係式（ A2 ）を証明しました。 ^[87]）1929年にロバートソンは不等式をすべての観測量に一般化し、1930年にシュレーディンガーは演算子の非ゼロ共分散を許容するように形式を拡張しました。この結果はロバートソン-シュレーディンガー不等式と呼ばれています。 ^{[1] : 204}

1927年にドイツ語で書かれた論文の本文全体を通して、ハイゼンベルクは「Ungenauigkeit」^[2]という語を使って 基本的な理論原理を説明していた。脚注でのみ「Unsicherheit」という語に切り替えた。その後、彼は常に「Unbestimmtheit」を使用した。しかし、ハイゼンベルクの教科書「量子論の物理的原理」の英語版が1930年に出版されたとき、英語の「uncertainty」という語だけが使用され、それが英語の用語となった。^[89]

この原理は直感に反するものであり、量子論の初期の研究者は、この原理に違反する単純な測定は常に実行不可能であるということを確信しなければならなかった。ハイゼンベルクが不確定性原理に違反することの本質的不可能性を示した方法の1つは、架空の顕微鏡の観測者効果を測定装置として使用することである。^[87]

彼は、実験者が光子を電子に照射して電子の位置と運動量を測定しようとしているところを想像している。^{[90] : 49–50}

• 問題 1 – 光子の波長が短く、したがって運動量が大きい場合、位置を正確に測定できます。しかし、光子はランダムな方向に散乱し、大きな不確定な量の運動量を電子に伝達します。光子の波長が長く、運動量が低い場合、衝突によって電子の運動量があまり乱されることはありませんが、散乱によってその位置が漠然としか明らかになりません。
• 問題 2 –顕微鏡に大きな開口部を使用すると、電子の位置をうまく分解できます (レイリー基準を参照)。しかし、運動量保存の原理により、入射光子の横方向の運動量が電子のビームラインの運動量に影響するため、電子の新しい運動量の分解は不十分になります。小さな開口部を使用すると、両方の解像度の精度は逆になります。

これらのトレードオフの組み合わせは、どのような光子波長と開口サイズが使用されても、測定された位置と測定された運動量の不確実性の積が下限以上になることを意味しており、これは（小さな数値係数を除いて）プランク定数に等しい。^[91]ハイゼンベルクは不確定性原理を正確な限界として定式化することにはこだわらず、代わりに小さな数値係数まで正しい経験的な定量的記述として使用することを好み、それが量子力学の根本的に新しい非可換性を必然的にしている。

歴史的に、不確定性原理は、物理学における観測者効果と呼ばれる関連効果と混同されてきた^{[92] [ 66] 。}観測者効果とは、あるシステムの測定は、システムに影響を与えずには行えない、つまり、システム内の何かを変えずには行えないことを指摘するものである。ハイゼンベルクは、量子レベルのこのような観測者効果（下記参照）を量子不確定性の物理的「説明」として用いた。^{[95]しかし、その後、不確定性原理はすべての}波動系の特性に内在しており、^{[69]すべての量子物体の}物質波動性により量子力学で生じることが明らかになった。^[96]したがって、不確定性原理は実際には量子系の基本特性を述べているのであり、現在の技術の観測の成功に関する発言ではない。^[97]

実際、量子力学のコペンハーゲン解釈とハイゼンベルクの不確定性原理は、当初は批判者から対になる標的とみなされていました。量子力学のコペンハーゲン解釈によれば、量子状態が記述する根本的な現実は存在せず、実験結果を計算するための規定があるだけです。システムの状態が根本的に何であるかを言う方法はなく、観察の結果がどうなるかだけを言うことができます。

アルバート・アインシュタインは、ランダム性は現実の基本的な性質に対する我々の無知を反映していると信じていましたが、ニールス・ボーアは、確率分布は基本的かつ不可分であり、我々が実行する測定によって決まると信じていました。アインシュタインとボーアは、不確定性原理について長年にわたって 議論しました。

ヴォルフガング・パウリは、不確定性原理に対するアインシュタインの根本的な反論を「客観的な観察者の理想」と呼んだ（ドイツ語からの翻訳フレーズ）。

「月が一定の位置にあるように」とアインシュタインは昨年の冬に私に言った。「私たちが月を見るかどうかにかかわらず、同じことが原子にも当てはまるはずだ。なぜなら、原子とマクロな物体の間には明確な区別ができないからだ。観察は位置のような現実の要素を作り出すことはできない。物理的現実の完全な記述には、実際に観察が行われる前に、位置を観察する可能性に対応する何かが含まれているはずだ。」私はアインシュタインを正しく引用したと思っている。同意できない人の言葉を記憶から引用するのはいつも難しい。私が超然とした観察者の理想と呼んでいるのは、まさにこの種の仮定である。

— パウリからニールス・ボーアへの手紙、1955年2月15日^[98]

不確定性原理に挑戦する アインシュタインの最初の思考実験は次の通りです。

幅dのスリットを通過する粒子を考えてみましょう。スリットにより、およそ ⁠ の運動量の不確実性が生じます。h/d⁠粒子が壁を通過するからです。しかし、壁の反動を測定することで粒子の運動量を決定することにしましょう。そうすることで、運動量保存則によって任意の精度で粒子の運動量を求めることができます。

ボーアの答えは、壁も量子力学的であり、反動を精度Δ pで測定するには、粒子が通過する前に壁の運動量をこの精度で知っておく必要があるというものでした。これにより、壁の位置と、したがってスリットの位置が次のように不確実になります。h/Δp​⁠、そして壁の運動量が反動を測定できるほど正確にわかっている場合、スリットの位置は位置測定が不可能なほど不確実です。

複数のスリットを通過する粒子の回折に関する同様の分析はリチャード・ファインマンによって行われた。^[99]

ボーアは、アインシュタインがアインシュタインの箱として知られる思考実験を提案した際に同席していた。アインシュタインは、「ハイゼンベルクの不確定性方程式は、時間の不確定性がエネルギーの不確定性と関連しており、その積はプランク定数と関連している」と主張した。^[100]彼は、光を無限に閉じ込めることができるように鏡が並べられた理想的な箱を考えてみよう、と述べた。時計仕掛けのメカニズムが、選ばれた瞬間に理想的なシャッターを開き、光子 1 個を逃がす前に、箱の重さを量ることができる。「これで、光子が箱から出た正確な時間がわかる」とアインシュタインは説明した。^[101]「では、箱の重さをもう一度量ってみましょう。質量の変化が、放出された光のエネルギーを示します。このようにして、不確定性原理に反して、放出されたエネルギーと放出された時間を任意の精度で測定できる、とアインシュタインは述べた。」^[100]

ボーアはこの議論を熟考して眠れない夜を過ごし、最終的にそれが間違っていることに気づいた。彼は、箱がバネと秤の針で計量される場合、「箱は重量の変化に応じて垂直に動かなければならないため、垂直速度が不確実になり、したがってテーブルからの高さも不確実になる。さらに、地球表面からの高度が不確実であれば、時計の速度も不確実になる」と指摘した。 ^{[102]これは、アインシュタイン自身の}重力の時間への影響に関する理論によるものである。「この一連の不確実性を通じて、ボーアはアインシュタインの光箱実験では、光子のエネルギーと脱出時間の両方を同時に正確に測定できないことを示した。」^[103]

1935年、アインシュタイン、ボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンは、空間的に離れたエンタングルメント粒子（EPRパラドックス）の解析を発表しました。^[104] EPRによれば、エンタングルメント粒子の1つの位置と2番目の粒子の運動量を測定し、それらの測定値から両方の粒子の位置と運動量を任意の精度で推測することができ、不確定性原理に違反します。このような可能性を回避するには、1つの粒子の測定により、他の粒子の確率分布が瞬時に変更されなければならず、局所性原理に違反する可能性があります。^[105]

1964年、ジョン・スチュワート・ベルは、この仮定は異なる実験の確率の間に一定の不平等を暗示するため、誤りである可能性があることを示しました。実験結果は量子力学の予測を確認し、EPRのローカルな隠れた変数の基本仮定を否定しました。

科学哲学者カール・ポパーは、論理学者および形而上学的実在論者として不確定性の問題に取り組みました。^{[106]彼は不確定性関係を、同一に準備された粒子の}集団ではなく個々の粒子に適用することに反対し、それを「統計的散乱関係」と呼びました。^{[106] [107]}この統計的解釈では、量子論を無効にすることなく、特定の測定を任意の精度で行うことができます。

1934年、ポパーは『不確定性関係批判』を自然科学誌^[108]に発表し、同年『科学的発見の論理』 （ 1959年に著者が翻訳し改訂した『科学的発見の論理^{』[106] ）で統計的解釈の議論を概説した。1982年には}『量子論と物理学の分裂』で理論をさらに発展させ、次のように書いている。

[ハイゼンベルクの]公式は、疑いの余地なく、量子論の統計的公式として導出できる。しかし、これらの公式は、測定の精度の上限を決定するものとして解釈できると主張する量子理論家によって、習慣的に誤解されてきた。[原文強調] ^[109]

ポッパーは不確定性関係を否定する実験を提案したが、後にカール・フリードリヒ・フォン・ヴァイツゼッカー、ハイゼンベルク、アインシュタインとの議論の末、当初の案を撤回した。ポッパーは論文をアインシュタインに送り、それがEPRパラドックスの定式化に影響を与えた可能性がある。^{[110] : 720}

アーサー・コンプトン^[111]やマーティン・ハイゼンベルク[ ^112]を含む一部の科学者は、不確定性原理、あるいは少なくとも量子力学の一般的な確率的性質は、自由意志の2段階モデル​​の証拠になり得ると示唆している。しかし、化学の基礎としての量子力学の基本的な役割を除けば、室温での量子システムのデコヒーレンス時間が短いため、量子力学を必要とする非自明な生物学的メカニズムはありそうにないという批判もある。 ^[113]この理論の支持者は、このデコヒーレンスは、生物細胞に見られる遮蔽とデコヒーレンスのない部分空間の両方によって克服されるとよく​​言う。[ ^113]

不確定性原理に違反することは、熱力学の第二法則にも違反することを強く示唆していると信じる理由がある。^[114]ギブスのパラドックスを参照。

不確定性原理は、量子粒子（例えば電子）を古典的な概念（位置と運動量）に関連付ける。これは、量子粒子が位置と運動量を持っていることを前提としている。エドウィン・C・ケンブルは1937年に、そのような特性は実験的に検証できず、それらが存在すると仮定すると多くの矛盾が生じると指摘した[115 ^{] [説明が必要] 。同様に、}ルドルフ・ハーグは、量子力学における位置は、電子と検出器などの相互作用の属性であり、固有の特性ではないと指摘している^{[116] [117]}。この観点から、不確定性原理は基本的な量子特性ではなく、ケンブルが言うように「先祖の言語から引き継がれた」概念である。

不確定性原理は量子力学における基本的な結果であるため、量子力学の典型的な実験では、その側面が日常的に観察される。素粒子物理学を含むすべての形態の分光学では、測定されたエネルギー線幅と量子状態の寿命を関連付けるためにこの関係を使用する。ただし、特定の実験では、主な研究プログラムの一部として、特定の形態の不確定性原理を意図的にテストする場合があります。これには、たとえば、超伝導^[118]または量子光学^{[119]システムにおける数と位相の不確定性関係のテストが含まれます。動作のために不確定性原理に依存するアプリケーションには、}重力波干渉計に必要な極低ノイズ技術が含まれます。^[120]

• 「不確定性原理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• スタンフォード哲学百科事典のエントリ