ホップリンク

編み込みの長さ	2
編み込みNo.	2
交差点番号	2
双曲体積	0
リンク番号	1
スティックNo.	6
解く番号。	1
コンウェイ記法	[2]
A-B表記	22 ; 1
シスルウェイト	L2a1
最後 / 次	L0 / L4a1
他の
	交互、トーラス、繊維状

ホップリンクのかせ関係。

数学の結び目理論において、ホップリンクは、複数のコンポーネントを持つ最も単純な非自明なリンクです。 ^[1]これは、ちょうど1回リンクされた2つの円で構成され、 ^[2]ハインツ・ホップにちなんで名付けられました。^[3]

幾何学的実現

具体的なモデルは、直交する平面にある2つの単位円で構成され、それぞれがもう1つの円の中心を通過します。^[2]このモデルはリンクのロープの長さを最小限に抑え、2002年まではホップリンクがロープの長さがわかっている唯一のリンクでした。 ^[4]これら2つの円の凸包は、オロイドと呼ばれる形状を形成します。^[5]

プロパティ

2つのコンポーネントの相対的な方向に応じて、ホップリンクのリンク数は±1になります。 ^[6]

ホップリンクは、（2,2）トーラスリンク^[7]と編組ワード^{[8]の組み合わせである。}

\sigma _{1}^{2}.\,

ホップリンクの結び目の補集合は R × S 1 × S 1 、つまりトーラス上の円筒である。[ 9 ] この^空間は局所^{ユークリッド}幾何学を持つため^、ホップリンクは双曲的リンクではない。ホップリンクの結び目群（その補集合の基本群）はZ ²（ 2つの生成元上の自由アーベル群）であり、2つの生成元上の自由群をその群として持つリンクされていないループのペアと区別される。^[10]

ホップリンクは 3 色にできません。つまり、図のストランドを 3 色で色付けして、少なくとも 2 色を使用し、すべての交差点に 1 色または 3 色が存在するようにすることはできません。各リンクには 1 つのストランドのみがあり、両方のストランドに同じ色が指定されている場合は 1 つの色のみが使用されますが、異なる色が指定されている場合は交差点に 2 つの色が存在することになります。

ホップバンドル

ホップファイバは、3次元球面（4次元ユークリッド空間の3次元面）からより馴染みのある2次元球面への連続関数であり、2次元球面上の各点の逆像が円であるという性質を持つ。したがって、これらの像は3次元球面を連続した円の族に分解し、2つの異なる円はそれぞれホップリンクを形成する。これがホップがホップリンクを研究する動機であった。2つのファイバがそれぞれリンクされているため、ホップファイバは非自明なファイバである。この例から、球のホモトピー群の研究が始まった。^[11]

生物学

ホップ結合は、いくつかのタンパク質にも存在します。^[12]^{[13]これは、}タンパク質骨格の断片によって形成された2つの共有結合ループで構成され、ジスルフィド結合で閉じられています。ホップ結合のトポロジーはタンパク質内で高度に保存されており、タンパク質の安定性を高めます。^[12]

歴史

ホップリンクは、 1931年にホップファイバの研究の一環としてこれを考察した位相学者ハインツ・ホップにちなんで名付けられました。^[14]しかし、数学においては、ホップの研究以前にカール・フリードリヒ・ガウスがこれを知っていました。 ^[3]また、数学以外でも、例えば16世紀に創立された日本の仏教宗派である豊山派の紋章として長く使用されてきました。

参照

ボロミアンリング、3つの閉じたループを持つリンク
カテナン、2つの連結したループを持つ分子
ソロモンの結び目、二重に連結された2つの輪

参考文献

^ アダムス、コリン・コンラッド（2004）、結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門、アメリカ数学会、p. 151、ISBN 9780821836781。
^ ab Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998)、「結び目の歪みと厚さについて」、トポロジーと幾何学、ポリマー科学 (ミネアポリス、ミネソタ州、1996)、IMA Vol. Math. Appl.、vol. 103、ニューヨーク: Springer、pp. 67–78、doi :10.1007/978-1-4612-1712-1_7、MR 1655037特に77ページを参照してください。
^ ab Prasolov, VV; Sossinsky, AB (1997)、「結び目、リンク、組みひも、3次元多様体：低次元位相幾何学における新しい不変量の紹介」、Translations of Mathematical Monographs、vol. 154、プロビデンス、RI：アメリカ数学協会、p. 6、ISBN 0-8218-0588-6、MR 1414898。
^ カンタレッラ、ジェイソン; クズナー、ロバート B.;サリバン、ジョン M. (2002)、「結び目とリンクの最小ロープ長さについて」、Inventiones Mathematicae、150 (2): 257–286、arXiv : math/0103224、Bibcode :2002InMat.150..257C、doi :10.1007/s00222-002-0234-y、MR 1933586、S2CID 730891。
^ Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997)、「オロイドの開発」(PDF)、Journal for Geometry and Graphics、1 (2): 105–118、MR 1622664。
^ アダムス（2004）、21ページ。
^ カウフマン、ルイス H. (1987)、「結び目について」、数学研究年報、第 115 巻、プリンストン大学出版、p. 373、ISBN 9780691084350。
^ Adams (2004)、演習5.22、p.133。
^ Turaev, Vladimir G. (2010)、「結び目と3次元多様体の量子不変量」、De Gruyter 数学研究、第18巻、Walter de Gruyter、p. 194、ISBN 9783110221831。
^ ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相学、p. 24、ISBN 9787302105886。
^ シャストリ、アナント R. (2013)、Basic Algebraic Topology、CRC Press、p. 368、ISBN 9781466562431。
^ ab Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. (2017-03-28)、「タンパク質のトポロジカルノットとリンク」、米国科学アカデミー紀要、114 (13): 3415–3420、Bibcode :2017PNAS..114.3415D、doi : 10.1073/pnas.1615862114、ISSN 0027-8424、PMC 5380043、PMID 28280100
^ Dabrowski-Tumanski, Pawel; Jarmolinska, Aleksandra I.; Niemyska, Wanda; Rawdon, Eric J.; Millett, Kenneth C.; Sulkowska, Joanna I. (2017-01-04)、「LinkProt: 生物学的リンクに関する情報を収集するデータベース」、Nucleic Acids Research、45 (D1): D243–D249、doi :10.1093/nar/gkw976、ISSN 0305-1048、PMC 5210653、PMID 27794552
^ ホップ、ハインツ(1931)、「Über die Abbildungen der dreiDimensionen Sphäre auf die Kugelfläche」、Mathematische Annalen、104 (1)、ベルリン: Springer : 637–665、doi :10.1007/BF01457962、S2CID 123533891。

外部リンク

ワイスシュタイン、エリック W.、「ホップリンク」、MathWorld
「ホップリンク」、The Knot Atlas。
「LinkProt」 - 既知のタンパク質リンクのデータベース。

[1] アダムス、コリン・コンラッド（2004）、結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門、アメリカ数学会、p. 151、ISBN 9780821836781。

[ks98-2] Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998)、「結び目の歪みと厚さについて」、トポロジーと幾何学、ポリマー科学 (ミネアポリス、ミネソタ州、1996)、IMA Vol. Math. Appl.、vol. 103、ニューヨーク: Springer、pp. 67–78、doi :10.1007/978-1-4612-1712-1_7、MR 1655037特に77ページを参照してください。

[ps97-3] Prasolov, VV; Sossinsky, AB (1997)、「結び目、リンク、組みひも、3次元多様体：低次元位相幾何学における新しい不変量の紹介」、Translations of Mathematical Monographs、vol. 154、プロビデンス、RI：アメリカ数学協会、p. 6、ISBN 0-8218-0588-6、MR 1414898。

[4] カンタレッラ、ジェイソン; クズナー、ロバート B.;サリバン、ジョン M. (2002)、「結び目とリンクの最小ロープ長さについて」、Inventiones Mathematicae、150 (2): 257–286、arXiv : math/0103224、Bibcode :2002InMat.150..257C、doi :10.1007/s00222-002-0234-y、MR 1933586、S2CID 730891。

[5] Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997)、「オロイドの開発」(PDF)、Journal for Geometry and Graphics、1 (2): 105–118、MR 1622664。

[6] アダムス（2004）、21ページ。

[7] カウフマン、ルイス H. (1987)、「結び目について」、数学研究年報、第 115 巻、プリンストン大学出版、p. 373、ISBN 9780691084350。

[8] Adams (2004)、演習5.22、p.133。

[9] Turaev, Vladimir G. (2010)、「結び目と3次元多様体の量子不変量」、De Gruyter 数学研究、第18巻、Walter de Gruyter、p. 194、ISBN 9783110221831。

[10] ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相学、p. 24、ISBN 9787302105886。

[11] シャストリ、アナント R. (2013)、Basic Algebraic Topology、CRC Press、p. 368、ISBN 9781466562431。

[:0-12] Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. (2017-03-28)、「タンパク質のトポロジカルノットとリンク」、米国科学アカデミー紀要、114 (13): 3415–3420、Bibcode :2017PNAS..114.3415D、doi : 10.1073/pnas.1615862114、ISSN 0027-8424、PMC 5380043、PMID 28280100

[13] Dabrowski-Tumanski, Pawel; Jarmolinska, Aleksandra I.; Niemyska, Wanda; Rawdon, Eric J.; Millett, Kenneth C.; Sulkowska, Joanna I. (2017-01-04)、「LinkProt: 生物学的リンクに関する情報を収集するデータベース」、Nucleic Acids Research、45 (D1): D243–D249、doi :10.1093/nar/gkw976、ISSN 0305-1048、PMC 5210653、PMID 27794552

[14] ホップ、ハインツ(1931)、「Über die Abbildungen der dreiDimensionen Sphäre auf die Kugelfläche」、Mathematische Annalen、104 (1)、ベルリン: Springer : 637–665、doi :10.1007/BF01457962、S2CID 123533891。