半正多面体

幾何学では、ソロルド・ゴセットの定義によれば、半正多面体は通常、頂点が推移的で、すべての面が正多面体である多面体であるとされています。ELエルテは1912 年に、より広い定義を含む 「超空間の半正多面体」というより長いリストを編集しました。

3 次元以下の空間では、すべての一様多角形は必ず正多角形でなければならないため、半正多面体と一様多面体という用語は同じ意味を持ちます。ただし、すべての一様多面体が正多面体であるとは限らないため、3 次元を超える半正多面体の数は、同じ次元数の一様多面体の数よりもはるかに少なくなります。

3 つの凸半正則4 次元多面体は、修正 5 セル、スナブ 24 セル、修正 600 セルです。高次元の半正則多面体はk ₂₁多面体のみです。ここで、修正 5 セルはk = 0の特殊なケースです。これらはすべて Gosset によってリストされましたが、このリストの完全性の証明は、4 次元については Makarov (1988) の研究、高次元については Blind & Blind (1991) の研究まで公開されませんでした。

ゴセットの 4 次元多面体 (括弧内はゴセットの名前)

整流5セル（正八面体）、

整流600セル（八面体）、

スナブ 24 セル(四面体)、、または

高次元における半正則E多面体

5-デミキューブ（5-ic 半正則）、5-多面体、↔

2 ₂₁多面体（6次元半正則）、6次元多面体、または

3 ₂₁多面体（7次元半正則）、7次元多面体、

4 ₂₁多面体（8次元半正則）、8次元多面体、

半正多面体は半正ハニカムに拡張できます。半正ユークリッドハニカムは、四面体八面体ハニカム(3D)、回転交互立方ハニカム(3D)、および5 ₂₁ハニカム(8D) です。

ゴセットハニカム:

1. 四面体八面体ハニカムまたは交互立方ハニカム（単純四八面体チェック）、↔（準正多面体ともいう）
2. 回転交互立方ハニカム（複雑四八面体チェック）、

セミレギュラーEハニカム:

• 5 ₂₁ハニカム（9-icチェック）（8Dユークリッドハニカム）、

ゴセット（1900）はさらに、ユークリッドハニカムを高次元ユークリッドハニカムの面として認め、次の追加の図を与えた。

1. ゴセットによって ( n – 1) 次元半チェック (チェス盤の 1 列または 1 列に類似)と名付けられた超立方ハニカム プリズム
2. 交互六角形スラブハニカム（四八面体半チェック）、

規則的なセルのみで構成された双曲均一ハニカムも存在します (Coxeter & Whitrow 1950)。これには次のものが含まれます。

• 双曲均一ハニカム、3Dハニカム:
  1. 交互5次立方ハニカム、↔（準正多面体ともいう）
  2. 四面体八面体ハニカム、
  3. 四面体-二十面体ハニカム、
• 均一なタイリングをセルとして含む、超コンパクトな均一ハニカム、3D ハニカム:
  1. 修正された6次四面体ハニカム、
  2. 直角正方形タイルハニカム、
  3. 修正された4次正方形タイルハニカム、↔
  4. 交互6次立方ハニカム、↔（準正規形でもある）
  5. 交互に並べた六角形のハニカム、↔
  6. 交互順序4六角形タイルハニカム、↔
  7. 交互順序5六角形タイルハニカム、↔
  8. 交互順序6六角形タイルハニカム、↔
  9. 交互に正方形のタイルを敷き詰めたハニカム、↔（準正規形でもある）
  10. 立方体タイル張りハニカム、
  11. 4 次正方形タイルハニカム、=
  12. 四面体三角形のタイル張りハニカム、
• 9D 双曲型パラコンパクトハニカム:
  1. 6 ₂₁ハニカム（10-icチェック）、

• 半正多面体

• ブラインド、G.ブラインド、R. (1991)。 「半正多面体」。数学ヘルヴェティチの解説。66 (1): 150–154。土井：10.1007/BF02566640。MR  1090169。S2CID  119695696 。
• コクセター、HSM (1973)。正多面体（第3版）。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-61480-8。
• Coxeter, HSM ; Whitrow, GJ (1950). 「世界構造と非ユークリッドハニカム」Proceedings of the Royal Society . 201 (1066): 417–437. Bibcode :1950RSPSA.201..417C. doi :10.1098/rspa.1950.0070. MR  0041576. S2CID  120322123.
• エルテ、エルテ（1912年）。超空間の半規則的な多面体。フローニンゲン: フローニンゲン大学。ISBN 1-4181-7968-X。
• ゴセット、ソロルド(1900)。 「n次元空間における正則および半正則図形について」。メッセンジャー オブ マスマティクス。29 : 43–48。
• Makarov, PV (1988)。「4次元半正則多面体の導出について」。Voprosy Diskret。Geom. Mat. Issled. Akad. Nauk. Mold。103 : 139–150 , 177。MR  0958024。