グランドアンチプリズム

幾何学において、大反角柱または五角形二重反角柱体は、320 個のセル（20 個の五角形反角柱と 300 個の四面体）で囲まれた一様 4 次元多面体（4 次元一様多面体）である。これは、 1965 年にコンウェイとガイによって発見された、異常な非ウィソフ一様 4 次元多面体である。^{[1] [2]}位相的には、最高の対称性の下で、五角形反角柱はD _5d対称性を持ち、四面体にはS ₄対称性とC _s対称性の 2 種類がある。

• 五角形二重逆角錐ノーマン W. ジョンソン
• ギャップ（ジョナサン・バウワーズ：グランド・アンチプリズム）^[3]

20 個の積み重ねられた五角形の反プリズムは、それぞれ 10 個の反プリズムからなる 2 つの分離したリングに存在します。各リングの反プリズムは、五角形の面を介して互いに結合されています。2 つのリングは相互に垂直であり、デュオプリズムに似た構造になっています。

300 個の四面体は 2 つのリングを互いに結合し、2 次元配置でレイアウトされます。この配置は、2 次元トーラスとデュオシリンダーの稜線と位相的に等価です。これらはさらに 3 つのセットに分けられます。100 個の面が 1 つのリングと接し、100 個の面がもう 1 つのリングと接し、100 個はデュオシリンダーの正確な中点を中心とし、両方のリングとエッジが接します。この最後のセットは平坦なトーラスを形成し、エッジと頂点のみで接する平坦な 10×10 の正方形の四面体配列に「展開」できます。下の図を参照してください。

さらに、300 個の四面体は、それぞれが互いに閉じている 30 個のセルからなる 10 個の互いに交わらないBoerdijk-Coxeter ヘリックスに分割できます。2 つの五角形反プリズム チューブと 10 個の BC ヘリックスは、ホップが五角形反プリズムの面にマッピングするグランド反プリズムの不規則な離散ホップ ファイブレーションを形成します。2 つのチューブは 2 つの五角形の面にマッピングされ、10 個の BC ヘリックスは 10 個の三角形の面にマッピングされます。

大反プリズムの構造は、3 次元反プリズムの構造に類似しています。ただし、大反プリズムは、4 次元の反プリズムの唯一の凸型均一類似体です ( 16 セルは、 2 次元反プリズムの通常の類似体と見なすことができます)。唯一の非凸型均一 4 次元反プリズム類似体は、五角形反プリズムの代わりに五角形の交差反プリズムを使用し、五角形の二重反プリズムと呼ばれます。

大反角柱の頂点図形は、蝶冠または分割された正二十面体です。これは、正二十面体から隣接する 2 つの頂点が削除されたものです。それらの頂点の代わりに、8 つの三角形が、辺の長さが φ, 1, 1, 1 (φ は黄金比) である 1 組の台形で置き換えられ、長さ φ の辺に沿って結合されて、 2 つの台形と残りの 12 個の正三角形が面となる14 面体が形成されます。

大反柱は、 600 セルを縮小することによって構築できます。つまり、3 次元の五角形反柱を底辺とするピラミッドを 20 個減算します。逆に、大反柱の五角形反柱の 2 つのリングは、各反柱の三角形の面に結合された 10 個の四面体と、各反柱のペアの間に 5 個の四面体の円を配置して三角形に分割できます。この円は、各反柱の 10 個の四面体を結合し、リングごとに 150 個の四面体を生成します。これらを 2 つのリングに結合する 300 個の四面体と組み合わせると、600 セルの 600 個の四面体が生成されます。

この減少は、600 セルから、それぞれが互いに直交する平面にある 10 頂点のリングを 2 つ削除することで実現できます。削除された頂点の各リングは、凸包上に五角形の反プリズムのスタックを作成します。この関係は、2 つの反対の頂点を削除して、20 面体の反対の「極」から 5 つの三角形を削除し、上部と下部に 10 個の赤道三角形と 2 つの五角形を残すことによって、20 面体から五角形の反プリズムを作成できる方法に似ています 。

(スナブ 24 セルは、600 セルをもう一度縮小して 24 個の二十面体ピラミッドを削除することによっても構築できます。同様に、これは、内接する 24セルの頂点に対応する 24 個の頂点を600 セルから削除した後に残った頂点の凸包を取ることで実現できます。)

あるいは、十角形ジテトラゴルトリアート（2 つの垂直な不均一な10-10 デュオプリズムの凸包で、2 つの十角形の比が黄金比）から、交代プロセスを介して構築することもできます。十角形プリズムは交互に五角形アンチプリズムになり、長方形台形プリズムは交互に四面体になり、削除された頂点には2 つの新しい正四面体（非コアミック三角両錐体を表す）が作成されます。これは、十角形ジテトラゴルトリアートからの五角形アンチプリズムと並んで、p 角形二重アンチプリズムの唯一の均一な解です。

これらは、多面体を超球に投影し、立体投影を3 次元空間に適用する 2 つの透視投影です。

• 600セル
• スナブ 24セル
• 一様4次元多面体
• デュオプリズム
• デュオシリンダー

• 万華鏡：HSM コクセター選集、F. アーサー シャーク、ピーター マクマレン、アンソニー C. トンプソン、アジア アイビック ワイス編、ワイリー インターサイエンス出版、1995 年、ISBN 978-0-471-01003-6 
  • (論文23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] 2.8 大反プリズム
• 異常凸均一ポリクロロン - モデル 47、ジョージ・オルシェフスキー。
• Klitzing、Richard。「4D 均一多面体 (ポリコラ) ギャップ」。
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、The Symmetries of Things 2008、ISBN 978-1-56881-220-5 (第26章) グランド・アンチプリズム 
• グランド アンチプリズムとクォータニオン [1] メフメット コジャ、ムダヒル アルアジミ、ナジフェ オズデス コジャ (2009)。メフメット・コカら。 2009 J. Phys. A: 数学です。理論。 42 495201

• 大反プリズムの腹の中 2006-02-07 にWayback Machineでアーカイブ(中央部分、二十面体と五角形の反プリズムとの類似性を説明)