120セル

120セル
120セル
	シュレーゲル図; （頂点と辺）
タイプ	凸正則4次元多面体
シュレーフリ記号	{5,3,3}
コクセター図
細胞	120 {5,3}
顔	720 {5}
エッジ	1200
頂点	600
頂点図形	; 四面体
ペトリー多角形	30角形
コクセターグループ	H 4 , [3,3,5]
デュアル	600セル
プロパティ	凸状、等角、等軸、等面体
均一インデックス	32

幾何学において、120胞体は、シュレーフリ記号{5,3,3}を持つ凸正4多面体（プラトン立体の4次元類似体）である。C ₁₂₀、 ドデカプレックス（「ドデカヘドロン複合体」の略）、ハイパードデカヘドロン、ポリドデカヘドロン、ヘカトニコサコロロン、ドデカコンタコロロン^[1]、ヘカトニコサヘドロイド^[2]とも呼ばれる。

120 セルの境界は、各頂点で 4 つが交わる120 個の正十二面体セルで構成されています。これらは合わせて 720 個の五角形面、1200 個の辺、600 個の頂点を形成します。これは正十二面体の4次元類似体で、正十二面体が各頂点の周りに 3 つずつ、計 12 個の五角形面を持つのと同様に、正十二面体には各辺の周りに 3 つずつ、計 120 個の正十二面体面があります。^[a]その双対多面体は600 セルです。

幾何学

120 セルには、最初の 4 次元のすべての凸正多面体のジオメトリが組み込まれています (多角形 {7} 以上を除く)。^[b] 6 番目で最大の正凸 4 次元多面体であるため、^[c] 4 つの先行する正凸多面体の内接インスタンスが (再帰的に) 含まれています。また、シーケンスの最初の5 セルの内接インスタンスが 120 個含まれています。 ^[d]これは他のいずれにも見当たりません。^[4] 120 セルは 4 次元のスイスアーミーナイフです。つまり、あらゆるものが 1 つずつ含まれています。

120 セルの研究は困難ですが、有益です。なぜなら、120 セルには最初の 4 次元で見つかったすべての凸正多面体間の関係の例が含まれているからです。逆に言えば、120 セルを理解するには、まずその前身のそれぞれと、それらが示す複雑な対称性のシーケンスを理解する必要があります。[ 5 ]^そのため、スティルウェルは4 次元多面体と3 次元を超える数学の歴史^[6]に関する論文に「120 セルの物語」というタイトルを付けました。^[7]

デカルト座標

4 次元空間の原点を中心とする 4 次元多面体の自然な直交座標は、選択された長半径 (中心から頂点まで) に応じて、異なる参照フレームで発生します。

√8半径座標

長半径√8 = 2√2≈2.828の120セルの辺の長さは4−2φ = 3 − √5≈0.764です。

この参照フレームでは、600の頂点座標は次の{順列}と[偶数順列]である: ^[8]

ここでφ（�とも呼ばれる）^[f]は黄金比であり、⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1.618.

単位半径座標

単位半径120セルの辺の長さは⁠1/φ ²√ 2⁠ ≈ 0.270。

この参照フレームでは、120セルは標準方向で頂点を上にして位置し、その座標^[9]は、以下の左の列の {順列}と[偶数順列]です。

表には、各 4 次元多面体の少なくとも 1 つのインスタンスの座標が示されていますが、120 セルには、その前身となる各 4 次元多面体の 5 の倍数の内接インスタンスが含まれており、頂点の異なるサブセットを占めています。(600 ポイントの) 120 セルは、5 つの互いに隣接しない (120 ポイントの) 600 セルの凸包です。各 (120 ポイントの) 600 セルは、5 つの互いに隣接しない (24 ポイントの) 24 セルの凸包であるため、120 セルは 25 の互いに隣接しない 24 セルの凸包です。各 24 セルは、3 つの互いに隣接しない (8 ポイントの) 16 セルの凸包であるため、120 セルは 75 の互いに隣接しない 16 セルの凸包です。ユニークなことに、（600点）120セルは、120個の互いに素な（5点）5セルの凸包です。^[k]

コード

600 点 120 セルには、120 点 600 セルの 8 つの異なる弦の長さすべてに加えて、さらに 2 つの重要な弦があります。それは、セル自身の短い辺と、セルに内接する 120 個の正 5 セルの辺です。^[d]これらの 2 つの追加弦により、120 セルは、継承する他の正 4 次元多面体のすべての回転に加えて、特徴的な等傾斜回転、^{[ac] を持ちます。}^[14]また、これらは 120 セルに特徴的な大円多角形、つまり 3 つの 120 セルの辺と 3 つの 5 セルの辺が交互に並ぶ不規則な大六角形も与えます。^[p]

120 セルの辺は、600 セル、24 セル、16 セルの辺のように、単一の中心平面で正円多角形を形成しません。5 セルおよび8セルの 4 次元方陣の辺と同様に、ジグザグのペトリー多角形を形成します。^[r] 120セルのペトリー多角形は、三十角形{30} のジグザグの斜め多角形です。^[ad]

120 セルの円周には 30 辺があるため、辺の長さから直径まで 15 種類の異なる弦の長さがあります。^[ah]すべての正凸 4 次元多面体は 120 セルに内接し、次の表の行に列挙されている 15 本の弦は、正凸 4 次元多面体とその大円多角形を構成するすべての異なる弦です。^[ak]

この表で最初に注目すべき点は、列が 6 つではなく 8 つあることです。6 つの正凸 4 次元多面体に加えて、入れ子になった 4 次元多面体のシーケンスには、2 つの不規則な 4 次元多面体、つまり 96 ポイントのスナブ 24 セルと 480 ポイントの縮小 120 セルが自然に現れます。^[c]

2 つ目に注目すべき点は、番号の付いた各行 (各コード) に三角形△、正方形 ☐ 、ファイ記号 𝜙 、または五芒星 ✩ が付けられていることです。15 本のコードは 4 種類の多角形を形成します。16セルの特徴である大正方形 ☐ 、 24 セルの特徴である大六角形と大三角形 △ 、 600 セルの特徴である大十角形と大五角形 𝜙 、および5 セルの特徴である斜め五芒星 ✩ または十芒星は、ペトリ多角形で、一組の中心平面を巡り、面多角形は形成しますが大多角形は形成しません。^[u]

注釈付きのコード表は、120 セルを構築するための完全な部品表です。120 セル内のすべての 2 次元多面体、3 次元多面体、および 4 次元多面体は、表内の 15 個の 1 次元多面体から作成されます。

表のセル内の黒い整数は、列の 4 次元多面体における行のコードの発生回数です。たとえば、#3コードの行では、600 セルの 72 個の大十角形に合計 720 個の#3コードが含まれます。

赤い整数は、120 個のセルを形成する、上 (列ラベル) の互いに素な 4 次元多面体の数です。たとえば、120 個のセルは、互いに素な 24 個のセルが 25 個結合したものです( 25 * 24 頂点 = 600 頂点)。

緑色の整数は、120 セル内で選択できる、上 (列ラベル) の異なる 4 次元多面体の数です。たとえば、120 セルには、コンポーネントを共有する225 個の異なる 24 次元セルが含まれています。

右の列の青い整数は、120 セルの各頂点における行の弦の発生回数です。たとえば、#3弦の行では、24 本の #3弦が 120 セルの 600 頂点のそれぞれに収束し、二重二十面体頂点図2{3,5} を形成します。合計で、 15 の異なる長さの300 本のメジャー弦^{[ak] が}120 セルの各頂点で交わります。

内部多面体間の関係

120 セルは、他の 5 つの正則凸 4 次元多面体すべての合成物です。^[20]正則 1、2、3、4 次元多面体間の関係はすべて、120 セルで発生します。^[b]これは、これらすべての多面体がパーツとなっている4 次元ジグソーパズルです。 ^[21]これらのパーツを組み合わせて 120 セルを構築するシーケンスは多数ありますが、最終的には 1 つの方法でしか組み合わせることができません。120 セルは、これらすべての多面体の組み合わせに対する唯一の解です。^[7]

正則 1 次元多面体は、120 セルのどの構成多面体でも、15 種類の異なる長さでのみ発生します。^[ak]アレクサンドロフの一意性定理により、互いに異なる形状を持つ凸多面体は、表面距離の異なる距離空間も持つため、正則 4 次元多面体はそれぞれ、これらの 15 種類の弦の独自のサブセットを持ちます。

15 個のコードのうち 4 個だけが 16 セル、8 セル、24 セルに出現します。4 個の超立方コード √ 1、√ 2、√ 3、√ 4は、24 セルとそのすべての構成要素を構築するのに十分です。24 セルは、これら 4 個のコードと、それらから構築できるすべての正多面体の組み合わせに対する唯一の解です。

600 セルを構築するには、15 のコードのうちさらに 4 つが必要です。4 つの黄金コードは、 √ 5の関数である無理分数の平方根です。600 セルは、これらの 8 つのコードと、それらから構築できるすべての正多面体の組み合わせに対する唯一の解です。24 セルにはない 600 セルで見つかった新しい部分の中で注目すべきは、五角形と 20 面体です。

15 本のコードすべてと、以下に列挙する 15 本のその他の異なるコード距離は、120 セルに存在します。120 セルに存在し、600 セルには存在しない新しい部分として、通常の 5 セルと√ 5/2コードが挙げられます。^[ba]通常の5 セル (単体通常の 4 次元多面体) とその他の通常の 4 次元多面体との関係は、120 セルでのみ直接現れます。^[i] 600 ポイントの 120 セルは、互いに素な 5 ポイントの 5 セル 120 個が複合したもので、互いに素な 120 ポイントの 600 セル 5 個が複合したものでもあります (2 つの異なる方法)。各 5 セルには、互いに交わらない 600 セルのそれぞれに 1 つの頂点があり、したがって互いに交わらない 24 セルのそれぞれ、互いに交わらない 8 セルのそれぞれ、および互いに交わらない 16 セルのそれぞれに 1 つの頂点があります。^[be]各 5 セルは、他の正則 4 次元多面体のそれぞれについて、互いに交わらない 5 つのインスタンスを結合するリングです (2 つの異なる方法)。^[y]

測地長方形

120 セルにある30 の異なる弦^[ak]は、180° の補数 15 組として発生します。これらは、数種類の中心平面に位置する 15 種類の大円多角形を形成します。△ 平面は、不規則な 12 角形の{12} 頂点と交差し、 ^[q] 𝜙平面は、正 10 角形の {10} 頂点と交差し、☐平面は、正方形を含む数種類の長方形の {4} 頂点と交差します。

各大円多角形は、180° の相補的な弦のペアによって特徴付けられます。弦のペアは、平行な反対の辺を持つ大円多角形を形成します。そのため、各大円多角形は長方形、または長方形の合成物であり、2 本の弦が長方形の辺になります。

15 個の相補弦ペアはそれぞれ、頂点である 0 ₀セクションから始まる、120 セルの相対する多面体セクションの明確なペアに対応しています。この対応は、各 120 セル頂点が各多面体セクションの頂点によって均一な距離 (弦の長さ) で囲まれていることです。これは、多面体の頂点が長半径の距離で中心を囲むのと同じです。^[bf] #1 弦は、120 セルの四面体頂点図形である1 _{0セクションの「半径」です。}^[av] #14 弦は、合同な相対する 29 _{0セクションの「半径」です。#7 弦は、2 つの相対する 15}₀セクションが一致する120 セルの中央セクションの「半径」です。

同心円状の船体

多面体グラフ

単位半径 120 セルの多面体グラフを表す頂点の隣接行列を考慮すると、グラフの直径は 15 で、各頂点はユークリッド距離2 (円周直径) 離れた座標否定に接続され、多面体のエッジに沿ってそれらを接続するパスは 24 種類あります。各頂点から、距離 1 に 4 個、距離 2 に 12 個、距離 3 に 24 個、距離 4 に 36 個、距離 5 に 52 個、距離 6 に 68 個、距離 7 に 76 個、距離 8 に 78 個、距離 9 に 72 個、距離 10 に 64 個、距離 11 に 56 個、距離 12 に 40 個、距離 13 に 12 個、距離 14 に 4 個、距離 15 に 1 個の頂点があります。隣接行列には、⁠1/φ ²√ 2⁠ ≈ 0.270、多重度 4 から 2、多重度 1 まで。固有値 0 の多重度は 18 で、隣接行列の階数は 582 です。

120 セルの多面体グラフの頂点は3 色に着色可能です。

このグラフは各頂点が4次であるオイラーグラフである。その辺集合は2つのハミルトン閉路に分解できる。^[24]

建設

120 セルは、6 つの凸正多面体のシーケンスの 6 番目です (サイズと複雑さの順)。^[c]これは、その前の (かつ双対の) 600 セルの 10 の異なるインスタンス (または 5 つの分離したインスタンス) に分解できます。 ^[h] 600 セルが、その前の24 セルの 25 の異なるインスタンス (または 5 つの分離したインスタンス) に分解できるのと同様に、^{[bj] 24 セルが、その前の 4 次元}立方体(8 セル)の 3 つの異なるインスタンスに分解され、8 セルが、その前の (かつ双対の) 16 セルの 2 つの分離したインスタンスに分解されるのと同様に。^[27] 120 セルには、16 セルの 675 の異なるインスタンス (75 の分離したインスタンス) が含まれます。^[j]

逆の手順で、前のインスタンスからこれらの各インスタンスを構築すると、前のインスタンスの半径は保持されますが、通常は、より短い辺の長さを持つ後続インスタンスが生成されます。600 セルの辺の長さはその半径の約 0.618 倍 (逆黄金比) ですが、120 セルの辺の長さはその半径の約 0.270 倍です。

デュアル600セル

正十二面体に内接する 5 つの四面体。反対向きの 5 つの四面体 (図示せず) も内接できます。

120 セルは 600 セルの双対なので、600 セルの 600 頂点を 600 個の四面体セルのそれぞれの体積の中心に配置することで 600 セルから構築できます。単位長半径の 600 セルから、わずかに小さい長半径の 120 セルが作成されます ( ⁠φ2/√8⁠ ≈ 0.926）と辺の長さはちょうど1/4です。したがって、単位辺長120セル（長半径φ ²√ 2 ≈ 3.702）は、長半径4の600セルのちょうど内側にこの方法で構築できます。単位半径120セル（辺長⁠1/φ ²√ 2⁠ ≈ 0.270) は、長半径 600 セルの内側にこの方法で構築できます⁠√8/φ2⁠ ≈ 1.080.

逆に、単位半径120セルは、わずかに小さい長半径600セルのすぐ外側に構築できます。φ2/√8⁠ ≈ 0.926、各正十二面体セルの中心を120個の600セル頂点の1つに配置することによって。上記の座標が与えられた120セルの長半径√8 = 2√2≈2.828 、辺の長さ⁠2/φ2⁠ = 3− √ 5^{≈ 0.764 は、長半径 φ 2}の 600 セルのすぐ外側でこの方法で構築できます。これは、同じ比率 ≈ 0.926 の√ 8よりも小さく、600 セルのエッジの長さと黄金比になっているため、 φ である必要があります。Coxeter ^{[3]によって与えられた、エッジの長さが 2 で長半径が φ}²√ 8 ≈ 7.405の 120 セルは、長半径 φ ⁴でエッジの長さが φ ³の 600 セルのすぐ外側でこの方法で構築できます。

したがって、単位半径 120 セルは、その前身である単位半径 600 セルから 3 回の往復ステップで構築できます。

内接双対のセル回転

120 セルには内接する 600 セルが含まれているため、同じ半径の双対が含まれています。120 セルには 5 つの分離した 600 セル (重なり合う 10 個の内接する 600 セルのうち、2 つの異なる方法で 5 つの分離した 600 セルを選択できる) が含まれているため、5 つの双対 (2 つの方法で) の複合体として見ることができます。各内接する 600 セルの頂点は 120 セルの頂点であり、(双対的に) 各 12 面体セルの中心は、各内接する 600 セルの 4 面体セルの中心です。

120セルの正十二面体セルには、600セルの四面体セルが内接している。^[29] 120セルが5つの600セルの複合体であるのと同様に（2通り）、正十二面体は5つの正四面体の複合体である（2通り）。2つの反対の四面体は立方体に内接することができ、5つの立方体は正十二面体に内接することができるように、5つの立方体の10の四面体は正十二面体に内接することができる。つまり、5つの反対のセットが2つあり、各セットは20の頂点すべてと、各頂点が2つの四面体（各セットから1つ、ただし立方体の反対のペアは当然含まない）をカバーしている。^[30]これは、120セルには、その多くの内部特徴の中に、10個の四面体からなる120個の化合物が含まれており、それぞれの四面体は、10個の600セルからなる化合物である120セル全体と寸法的に類似していることを示しています。^[h]

10 個の四面体はすべて、任意の 1 つの四面体を 2 回、キラル 5 クリック回転させることによって生成できます。各 12 面体セルでは、120 セルに内接する 10 個の 600 セルのそれぞれから 1 つの四面体セルが生成されます。 ^[bk]したがって、120 セル全体 (内接する 10 個の 600 セルすべてを含む) は、セルを 1 つの 600 セルから回転させることによって生成できます。

増強

120 セルに 600 セルが内接していることのもう 1 つの結果は、 600 セルのセルに何らかの4 つのピラミッドを配置することで、このピラミッドを構築できるということです。この場合、これらの四面体ピラミッドは非常に不規則になります (頂点が 4 つの「頂点」に鈍化) が、四面体が十二面体に内接している方法でその形状を識別できます。^[bl]

600 セルの各正十二面体には、120 セルの正十二面体に内接できるのは 120 個の正十二面体セルだけです。残りの 480 個の正十二面体は正十二面体セルにまたがっています。正十二面体に内接する正十二面体はそれぞれ5 個の正十二面体のクラスターの中心セルで、その周囲に面結合している他の 4 個は正十二面体の内部に部分的にのみ存在します。中心の正十二面体は、さらに 12 個の正十二面体セルに辺結合しており、これも正十二面体の内部に部分的にのみ存在します。 ^[bm]中心セルは、正十二面体の外側に完全に存在する 40 個の他の正十二面体セルに頂点結合しています。

ワイル軌道

もう1つの構築方法は、四元数と120次のワイル群軌道の20面体対称性を使用する^。[32]以下は、ワイル群W(D4)の下でのD4の四元数軌道重みとして24セルを記述する： O(0100)：T = {±1、±e1、±e2、±e3、(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000)：V1 O(0010)：V2 O(0001)：V3 $O(\Lambda )=W(H_{4})=I$ $T$ $T'$

$T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};$

が、およびの共役である四元数の場合、コクセター群は、600 セルと 120 セルの 14400 次対称群です。 $(p,q)$ ${\bar {p}}$ $p$ $[p,q]:r\rightarrow r'=prq$ $[p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q$ $W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace$

およびを内でのの交換として与えると、次を構築できます。 $p\in T$ ${\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p$ $p^{\dagger }$ $-1/\varphi \leftrightarrow \varphi$ $p$

スナブ24セル $S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T$
600セル $I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T$
120セル $J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'$
代替スナブ24セル $S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'$
デュアルスナブ24セル= 。 $T\oplus T'\oplus S'$

構成として

この配置行列は120個のセルを表しています。行と列は頂点、辺、面、セルに対応しています。対角の数字は、120個のセル全体に各要素がいくつ出現するかを示しています。非対角の数字は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを示しています。^[33]^[34]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

ここでは、 k面要素とk図形で展開された構成を示します。対角要素の数は、完全なCoxeter グループの順序 14400 をミラー除去によるサブグループの順序で割った比率です。

視覚化

120セルは120個の正十二面体セルから構成される。視覚化のためには、正十二面体が互いに向かい合う平行な面を持っていると都合がよい（これはテッセラクトや24セルのセルと共通する特徴である）。12面体を4番目の方向に曲げた直線上に向かい合わせて積み重ねると、円周が10セルの大円になる。この最初の10セル構造から始めて、2つの一般的な視覚化法が使用できる。層状の立体投影と絡み合ったリングの構造（離散ホップファイバレーション）である。^[35]

階層型立体投影

セルの位置は超球面的な記述に適しています。^[36] 任意の十二面体を選択し、「北極」というラベルを付けます。12 個の大円子午線 (4 つのセルの長さ) が 3 次元に放射され、5 番目の「南極」セルに収束します。このスケルトンは 120 個のセルのうち 50 個 (2 + 4 × 12) を占めます。

北極から始めて、9 つの緯度層で 120 セルを構築できます。これは、下の表の地球の 2 球地形を暗示しています。両極を除いて、各層のセルの重心は別の 2 球上に位置し、赤道の重心は大きな 2 球上にあります。30 個の赤道セルの重心は、二十面体の頂点を形成し、子午線 (上記のとおり) は各五角形の面の中心を通過します。次の表で「間隙」とラベル付けされているセルは、子午線大円上にはありません。

レイヤー 2、4、6、8 のセルは、極セルの面上にあります。レイヤー 3 と 7 のセルは、極セルの頂点の真上にあります。レイヤー 5 のセルは、極セルのエッジ上にあります。

絡み合う輪

120 セルは 12 個の互いに素な 10 セルの大円リングに分割でき、離散的/量子化されたホップファイブレーションを形成できます。^[37]^[38]^[39]^[40]^[35] 1 つの 10 セルリングから始めて、10 セルで元のリングの周りを 1 周する別のリングをその横に置くことができます。このような 5 つの 10 セルリングを、元の 10 セルリングの隣に配置できます。外側のリングは内側のリングの周りを (そして互いの周りを) 「螺旋状」に回っていますが、実際には螺旋状のねじれはありません。それらはすべて同等です。螺旋状になっているのは、3 次元球面の曲率によるものです。内側のリングと 5 つの外側のリングは、6 つのリング、60 セルのソリッドトーラスを形成します。前のトーラスに隣接する 10 セルのリングを追加し続けることもできますが、残りの 60 セルから、最初のトーラスと連動する、上記のトーラスとは分離した 2 番目のトーラスを構築する方が有益です。120 セルは、3 球面と同様に、これら 2 つの (クリフォード) トーラスの和です。最初のトーラスの中心リングが上で定義した子午線大円である場合、2 番目のトーラスの中心リングは子午線円を中心とする赤道大円です。^{[41]また、中心リングの周りの 50 セルの螺旋状のシェルは、左手にも右手にもなり得ることに注意してください。シェル内のセルを異なる方法で分割する、つまり別の分離した (}クリフォード平行) 大円のセットを選択するだけの問題です。

その他の大圏構造

もう一つの興味深い大円経路があり、これは交互に反対側のセルの頂点を通過してからエッジに沿います。この経路は、6 つのエッジと 6 つのセル直径の弦が交互に並び、中央平面に不規則な 12 角形を形成します。^[q] これらの大円経路は両方とも、600 セルに二重の大円経路を持ちます。上記の 10 セルの対面経路は、600 セルのエッジに沿ってのみ横断する 10 頂点経路にマップされ、10 角形を形成します。 [ ^v]交互セル/エッジ経路は、600 セルで 12 個の四面体が交互に対面し、次に頂点同士が対面する経路 (6 つの三角両錐) にマップされます。この後者の経路は、スナブ 24 セル(または600 セルの20 面体ピラミッド)で対面する6 つの 20 面体のリングに対応し、六角形を形成します。

もう一つの大円多角形パスが存在しますが、これは 120 セルに固有のパスであり、600 セルには二重の対応するパスはありません。このパスは、3 つの 120 セルエッジと 3 つの内接する 5 セルエッジ (#8 弦) で構成され、上図に示すように、短辺と長辺が交互に並ぶ不規則な大六角形を形成します。^[p]各 5 セルエッジは、3 つの正十二面体セルの体積 (10 個の面結合正十二面体セルのリング内) を通り、3 番目の正十二面体の反対側の五角形の面まで伸びます。この不規則な大六角形は、上記の不規則な大十二角形と同じ中心平面 (同じ大円上) にありますが、{12} 個の正十二角形頂点のうち {6} 個のみと交差します。各不規則な大十二角形には、交互の位置に 2 つの不規則な大六角形が内接しています。^[q]

透視投影

この記事のすべての図と同様に、これらのレンダリングには 120 セルのエッジのみが表示されます。他のすべてのコードは表示されません。120 セルの複雑な内部部分、つまり、その内側に刻まれた 600 セル、24 セル、8 セル、16 セル、および 5 セルはすべて、すべての図で完全に見えません。視聴者はそれらを想像する必要があります。

これらの投影は、透視投影を使用して、4 次元の特定の視点からモデルを 3D シャドウとして投影します。したがって、大きく見える面とセルは、単に 4D の視点に近いだけです。

3D 正十二面体から 2D への透視投影 (左下) と 4D 120 セルから 3D への投影 (右下) の比較は、次元の類推による 2 つの関連する透視投影法を示しています。シュレーゲル図では、特定のセルの上にある視点を選択して平面化された次元の奥行きを表示し、そのセルをモデルのエンベロープにして、その内部にある他のセルを小さく表示します。ステレオ投影でも同じアプローチを使用しますが、曲線のエッジで表示され、球面多面体を3 次元球のタイリングとして表します。これらの方法は両方とも、セルが実際には互いに入れ子になっておらず (面と面が接している)、すべて同じサイズであるため、オブジェクトを歪めます。他の透視投影法、たとえば上記の回転アニメーションは、この特定の種類の歪みではなく、他の種類の歪み (すべての投影で必ず発生する) を示します。

直交投影

120セルの直交投影は、特定の視線方向に対して2つの正規直交基底ベクトルを定義することで2Dで行うことができます。30角形投影は1963年にBLチルトンによって作成されました。 ^[43]

H3十角形投影は、ファン・オス多角形の平面を示します。

3 次元直交投影は、3 つの正規直交基底ベクトルを使用して作成することもでき、3D モデルとして表示してから、特定の視点を 3D で投影して 2D 画像にすることができます。

参照

[5,3,3]対称性を持つ一様4次元多面体族
57 セル– 57 個の半十二面体から構成される抽象的な正4 次元多面体。
600セル- 120セルの双対4多面体

注記

^ abc 120セルでは、3つの正十二面体と3つの五角形がすべての辺で交わります。4つの正十二面体、6つの五角形、4つの辺がすべての頂点で交わります。二面角（正十二面体超平面間）は144°です。^[3]
^ ab 120 セルには、正多角形 {7} 以上を除くすべての正凸 1 次元多面体、2 次元多面体、3 次元多面体、4 次元多面体が含まれます。正多角形 {7} 以上のほとんどは発生しません。{10} は発生する注目すべき例外です。120セルには、{11}、^[am] {15} ^[ac] 、{30} など、さまざまな正凸多角形{7} 以上が発生します。^[v]
^ abc 凸正多面体は、同じ半径の 4 次元コンテンツ (超体積) の尺度として、サイズで順序付けることができます。シーケンス内の各大きな多面体は、前の多面体よりも丸みを帯びており、同じ半径内に 4 コンテンツがより多く含まれています。4 単体 (5 セル) が最小のケースで、120 セルが最大です。複雑さ (構成マトリックスの比較または単に頂点の数で測定) も同じ順序に従います。これにより、正多面体の別の数値命名スキームが提供され、120 セルは 600 点の 4 多面体になります。これは、5 点の 4 多面体から始まる昇順のシーケンスで 6 番目で最後です。
^ abcdefghi
三角錐 {30/12}=6{5/2}では、
120 個の互いに交わらない正 5 角錐 (辺の長さは√ 2.5)のうち 6 個が 120 角錐に内接しており、これが 6 つの五角形 ( 5 角錐のクリフォード多角形) として表されます。30 個の頂点は 120 角錐のペトリ多角形^[v]を構成し、 30 個のジグザグ辺 (図示せず) と 3 つの内接大 10 角形 (辺は図示せず) がクリフォード平行に投影面にあります。^[x]
単位半径の 120 セルには、辺の長さが√ 2.5^{である 120 個の互いに素な正則 5 セルが内接しています[12]}。5 セルと 120 セル以外の正則 4 多面体には√ 2.5弦 (#8 弦) は含まれません。^[e] 120 セルには 10 個の異なる内接 600 セルが含まれており、これらは 2 つの異なる方法で 5 つの互いに素な 600 セルとして解釈できます。各√ 2.5弦は互いに素な 600 セル内の 2 つの頂点を接続し、したがって互いに素な 24 セル、8 セル、16 セル内の頂点を接続します。^[i] 5 セルの辺と 120 セルの辺はどちらも互いに素な 600 セル内の頂点を接続します。互いに素な600セル内の対応する同種の多面体はクリフォード平行で√2.5離れている。各5セルには、互いに素な5つの600セルのそれぞれから1つの頂点が含まれている。^[y]。
^ abcd 正凸 4 次元多面体の複数のインスタンスは、最小の正凸 5 次元多面体を除き、それより大きい後続の 4 次元多面体に内接することができます。正凸 5 次元多面体は、最大の正凸 120 次元多面体にのみ内接します。^[i] 4 次元多面体が互いに入れ子になっている仕組みを理解するには、内接する 4 次元多面体の複数のインスタンスが互いに素な場合と、単に異なる複数のインスタンスである場合を注意深く区別する必要があります。たとえば、600 点の 120 セルは、完全に互いに素な 75 個の 8 点の 16 セルの複合体の凸包です。これらのセルは頂点を共有せず、75 * 8 = 600 です。しかし、120 セル内から 675 個の個別の 16 セルを取り出すことも可能で、そのほとんどのペアはいくつかの頂点を共有しています。これは、2 つの同心の等半径 16 セルが互いに対して回転して、2 つの頂点 (軸) または 4 つの頂点 (大きな正方形の平面) を共有する一方で、残りの頂点は一致しない可能性があるためです。^[j] 4 次元空間では、任意の 2 つの合同な正 4 次元多面体は同心であっても、互いに対して回転して、頂点の共通サブセットのみを共有する場合があります。 4 単体 (5 点正 5 セル) の場合のみ、頂点の共通サブセットは、5 つの頂点すべてでない限り、常に空でなければなりません。2 つの同心 4 単体を互いに回転させて、頂点の一部 (すべてではない) が一致するようにすることは不可能です。完全に一致するか、完全に分離するかのいずれかです。この特性を持つのは 4 単体のみです。16 セル、および拡張により、より大きな正 4 多面体は、ペアが頂点の一部 (すべてではない) を共有するように、それ自体に対して回転することがあります。直感的に、4 単体のみが、回転後に不変である可能性のある反対の頂点 (2 頂点の中心軸) を持たないという事実から、これがどのように従うかがわかります。 120 セルには 120 個の完全に互いに素な正 5 セルが含まれており、これらは唯一の異なる内接正 5 セルですが、正 4 多面体の他のすべてのネストには、互いに素な内接 4 多面体と、より多数の異なる内接 4 多面体が含まれます。
^ (Coxeter 1973) は、ギリシャ文字の 𝝓 (ファイ) を使用して、正多面体の3 つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 の 1 つを表します。𝝓 は、Coxeter が 𝝉 (タウ) を使用する黄金比定数 ≈ 1.618 を表すためによく使用されるため、ここでは Coxeter の慣例を逆にして、特性角を表すために 𝝉 を使用します。
^これら3つの4次元多面体の座標を四元数クロス乗算して 冗長性を抑えながら600個の座標すべてを得るには、24セルの頂点を1つだけ含めれば十分である: ( √1 /2 , √1 /2,0,0)。^[9]
^ abcd 120セルの600頂点は、2つの異なる方法で、5つの互いに交わらない内接する120頂点600セルに分割できます。^[31]この4D分割の形状は、正十二面体の20頂点を5つの互いに交わらない内接四面体に分割する3D分割と次元的に類似しており、各正十二面体セルには5つの互いに交わらない内接四面体セルの2つの反対のセットが含まれているため、これも2つの異なる方法で行うことができます。120セルは、正十二面体と類似した方法で分割できます。なぜなら、その正十二面体セルのそれぞれには、10個の内接する600セルのそれぞれから1つの四面体セルが含まれているからです。
^ abc 正5セル（4単体）と正16セル（4正複合体）の間には幾何学的な関係があるが、それは3単体と5正複合体を通して間接的にしか現れない。 -単体は頂点と（-1）単体ファセットで囲まれ、長径（辺）の長さは半径である。 -正複合体は頂点と（-1）単体ファセットで囲まれ、長径（直交軸）の長さは半径である。-立方体は頂点と（ -1）立方ファセットで囲まれ、長径の長さは半径である。^[bb] 3-立方体の長径は3-正複合体の軸よりも短い。4-オルソプレックスの座標はの順列であり、その 16 面のうちの 1 つ (3-単体) の 4 空間座標はの順列です。^[bc] 4-立方体の長径は、4-オルソプレックスの軸と同じ長さです。5-オルソプレックスの座標はの順列であり、その 32 面のうちの 1 つ (4-単体) の 5 空間座標はの順列です。^[bd] 5-立方体の長径は、5-オルソプレックスの軸よりも長いです。 $n$ $n+1$ $n+1$ $n$ $n+1$ ${\sqrt {n+1}}/{\sqrt {n}}$ $n$ $2n$ $2^{n}$ $n$ $n$ $2$ $n$ $2^{n}$ $2n$ $n$ $2^{n-1}$ ${\sqrt {n}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {4}}$ $(0,0,0,\pm 1)$ $(0,0,0,1)$ ${\sqrt {4}}$ ${\sqrt {4}}$ $(0,0,0,0,\pm 1)$ $(0,0,0,0,1)$ ${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {4}}$
^ abcdefghij 120 セルには、4 次元ユークリッド空間の 3 次元球面の表面に対称的に分布する 600 個の頂点があります。頂点は対心ペアになっており、対心ペアの頂点を通る線が 120 セルの 300 本の光線[または軸] を定義します。相互に直交する 4 本の光線 (または方向) の任意のセットを基底と呼びます。300 本の光線は 675 個の基底を形成し、各光線は 9 個の基底に存在し、これらの基底内の 27 個の異なる同伴光線と直交し、他の光線とは直交しません。光線と基底は幾何学的構成を構成し、構成の言語では 300 ₉ 675 ₄と書かれ、各光線が 9 個の基底に属し、各基底に 4 本の光線が含まれることを示します。^[28]各基底は、4つの直交軸と6つの直交大正方形を含む個別の16セルに対応します。120セルの600頂点すべてを含む75の完全に互いに分離した16セルは、675の個別の16セルから選択できます。^[e]
^ abcdef 120 セルは、 5 つの互いに素な 600 セル^[h]または25 の互いに素な 24 セル、75 の互いに素な 16 セル、または120 の互いに素な 5 セルの複合体として構成できます。120 の 5 セルの場合を除いて^{[e] 、これらは 120 セルに内接する}すべての異なる正則 4 次元多面体の数ではなく、複合すると 120 セルの凸包を形成する、完全に互いに素な内接 4 次元多面体の数だけです。120 セルには、 10の異なる 600 セル、225 の異なる 24 セル、および675 の異なる 16 セルが含まれます。^[j]
^ ab 同じ円周の 3 球等傾斜線はすべて、直接合同な円です。通常の大円は円周の等傾斜線です。単位半径多面体の単純な回転は 2𝝅 等傾斜線上で行われます。二重回転は、円周以外の等傾斜線を持つ場合があります。正則 4 多面体の特性回転は、その辺を含む中心平面が回転の不変面である等傾斜回転です。16 セルと 24 セルは、4𝝅 円周の等傾斜線上で辺回転します。600 セルは、5𝝅 円周の等傾斜線上で辺回転します。 $2\pi r$ $2\pi r$
^ abcdefgh等傾斜線は、4次元全体にわたって閉じた、湾曲した、らせん状の大円です。通常の大円とは異なり、単一の中心平面上にはありませんが、他の大円と同様に、4次元多面体の境界面の湾曲した3次元空間内で見ると、直線、つまり測地線になります。通常の大円と等傾斜線大円はどちらも、大円の平行な束が互いに連結され、螺旋状になっているという意味で螺旋状ですが、実際にはどちらもねじれていません（固有のねじれはありません）。それらの曲率はそれ自体のものではなく、3次元球面の自然曲率の特性であり、その曲がった空間内では有限の（閉じた）直線セグメントです。^[l]混乱を避けるために、私たちは常に等傾斜線そのものを指し、大円という用語は平面内の通常の大円に対して使用します。
^ abcde 等傾斜^[o]回転は、2 つの完全に直交する不変中心回転面で同時に行われる等回転角の二重回転です。すべての離散等傾斜回転には、回転角と等傾斜角という 2 つの特徴的な円弧角 (弦の長さ) があります。^[t]頂点から隣接する頂点への増分回転ステップごとに、各不変回転面は回転角だけ回転し、また、等しい回転角だけ横に傾きます (コインを投げるときのように)。^[an]したがって、各頂点は大円上で 1 回転角増分だけ回転し、同時に大円全体が完全に直交する大円とともに等しい回転角増分だけ回転します。^[aq]これら 2 つの同時かつ等しい大円回転増分の積は、各頂点の等傾斜角増分 (等傾斜弦の長さ) による全体的な変位です。したがって、回転角度は、移動する大円の参照フレームにおける頂点の変位、および静止参照フレームにおける移動する大円の横方向の変位 (回転によって大円多角形と隣接するクリフォード平行大円多角形との間の距離) を測定します。等傾斜弦の長さは、静止参照フレームにおける頂点の総変位であり、隣接する 2 つの大円多角形間の斜弦 (回転における対応する頂点間の距離) です。
^ abcdef 4次元空間の2つの平面間の距離を指定するには、2つの角度が必要です。^[11] 2つの角度が等しい場合、2つの平面は等傾斜（クリフォード平行とも呼ばれる）と呼ばれ、1つの点で交差します。二重回転では、点は不変中心回転面内である角度で回転し、不変中心回転面全体も（直交不変中心回転面内で）ある角度で横に傾きます。したがって、各頂点は、異なる中心平面上の2点間で等傾斜^[m]と呼ばれるらせん状の滑らかな曲線を横切り、2つの直交中心平面のそれぞれで通常の大円を横切ります（平面が元の平面に対して傾くため）。2つの直交角度が等しい場合、各大円に沿って移動する距離は同じであり、二重回転は等傾斜（クリフォード変位とも呼ばれる）と呼ばれます。等傾斜中心平面を互いに向けた回転を等傾斜回転という。^[n]
^ abcdefghi 120セルの特徴的な等斜回転の不変中心平面^[ac]には、2つの異なる長さの辺が交互に並ぶ不規則な大六角形{6}が含まれます。長さ𝜁 = √ 0.𝜀（#1弦）の3つの120セル辺と、長さ√2.5（#8弦）の3つの内接する正5セル辺です。これらは、それぞれ、任意の正4次元多面体の最短辺と最長辺です。^[ae]各不規則な大六角形は、別の不規則な大六角形と完全に直交しています。^[af] 120セルには、400の異なる不規則な大六角形（200の完全に直交するペア）が含まれており、4つの異なる方法で100の互いに素な不規則な大六角形（120セルの離散ファイバ化）に分割できます。各繊維は、50 組の完全に直交する不変の中心平面において、独自の左 (および右) 等傾斜回転を持ちます。2 つの不規則な大六角形は、2 つの大五角形が大十角形平面を占めるのと同様に、交互の位置で同じ中心平面を占めます。2 つの不規則な大六角形は、不規則な大十二角形を形成します。これは、別々に図示されている 120 セルの複合大円多角形です。^[q]
^ abcdefghijk
120 セルには 200 の中心平面があり、それぞれが 12 の頂点と交差して、長さの異なる辺が交互に並ぶ不規則な 12 角形を形成します。12 角形に内接するのは、2 つの正六角形 (黒)、^[ax] 2 つの不規則六角形 (赤)、^[p]および 4 つの正三角形 (緑色で 1 つのみ表示) です。
120セルには、6つの辺（𝜁でマークされた#1弦）を持つ不規則な12角形{12}の大円多角形と、6つの12面体セル直径（#4弦）が交互に配置されています。^{[at]不規則な大12角形には、交互の位置に内接する2つの不規則}な大六角形（赤）が含まれています。^[p]12角形には、3番目のサイズ（√1、#5弦）の辺を持つ2つの正大六角形も内接しています。 ^[ax] 12 の正六角形の辺 (#5 弦)、12 角形の 6 つのセル直径の辺 (#4 弦)、および 12 角形の 6 つの 120 セルの辺 (#1 弦) はすべて同じ大円の弦ですが、12 角形の 6 つの #4 辺をつなぐ他の 24 のジグザグの辺 (#1 弦、図示せず) はこの大円平面内にはありません。120 セルの不規則な大 12 角形の平面、不規則な大六角形の平面、正大六角形の平面、および正三角形の平面は、同じ 12 角形の平面のセットです。120 セルには、このような {12} の中心平面が 200 個 (完全に直交する 100 組) あり、それぞれが六角形を含む 200 の中心平面は、10 個の内接する 600 セルのそれぞれに存在します。^[あぁ]
^ abcd 5 セル、8 セル、120 セルはすべて、頂点図形が四面体です。頂点図形が四面体である 4 次元多面体では、辺に沿った経路は単一の中心平面にある通常の大円上にありません。つまり、連続する各辺は、前の辺とは異なる中心平面にあります。120 セルでは、辺に沿った 30 辺の円周経路はジグザグの斜めペトリー多角形をたどりますが、これは大円ではありません。ただし、15 頂点を通る真の測地線大円である 15 弦の円周経路が存在します。ただし、これは円周 2𝝅𝑟 の通常の「平坦な」大円ではなく、2 つの完全に直交する中心平面で同時に円を描いて曲がる螺旋状の等傾斜線^[m]であり、2 次元平面に限定されるのではなく 4 次元を周回します。^[ab]等傾斜線の歪弦集合はクリフォード多角形と呼ばれます。^[ag]
^ abcd 120 セルの等傾斜回転では、回転弧角は 12° (円の 1/30) であり、#1 エッジ弦の 15.5° 弧ではありません。どの中心平面が不変回転平面であるかに関係なく、120 セルの等傾斜回転を 12° 回転させると、すべての中心平面の大多角形が、12° 離れたクリフォード平行中心平面にある合同な大多角形に移動します。隣接するクリフォード平行大多角形 (すべての種類) は完全に分離しており、それらの最も近い頂点は2 つの120 セルエッジ (弧の長さが 15.5° の #1 弦) によって接続されています。12° の回転角度は、120 セルのどの頂点間の弦の弧でもありません。これは、隣接するクリフォード平行中心平面間の 2 つの等しい角度としてのみ発生し、^{[o] 、120 セルのさまざまな等傾斜回転}すべて(特性回転だけでなく)における隣接する回転平面間の分離です。
^ abc 離散等傾斜回転のすべてのクラス^[n]は、回転角と等傾斜角、および不変回転面であるクリフォード平行中心平面のセットによって特徴付けられます。4 次元多面体の特性等傾斜回転は、不変回転面のセットが 4 次元多面体のエッジを含む離散等傾斜回転のクラスです。クリフォード平行中心平面の各セット (エッジ平面の各ホップファイバ) には、明確な左 (および右) 回転があります。 4 次元多面体のエッジが正大円を形成する場合、特性回転の回転角度は、単にエッジの円弧角です (エッジ弦は単に回転弦です)。しかし、正四面体頂点図形 [ ^r]を持つ正 4 次元多面体では、エッジは正大円を形成せず、別の弦と組み合わせて不規則な大円を形成します。たとえば、120 セルの #1 弦の辺は、#4 弦の辺も持つ不規則な大十二角形の辺です。^[q]このような 4 次元多面体では、回転角度は辺の弧角ではありません。実際、必ずしも頂点弦の弧ではありません。^[s]
^ ab 16セルの√ 2辺と 4𝝅 特性回転^{[l] は}、大正方形 ☐ の中心平面にあります。このタイプの回転は、対称性群の表現です。24セルの√ 1辺、√ 3弦、4𝝅 特性回転は、大三角形 (大六角形) △ の中心平面にあります。このタイプの回転は、対称性群の表現です。600セルの辺と 5𝝅 特性回転は、大五角形 (大十角形) 𝜙 の中心平面にあります。これらの弦は√ 5の関数であり、このタイプの回転は対称性群の表現です。正5 セルの多角形と特性回転は、単一の中心平面には存在しません。これらは、歪んだ五芒星✩ またはより大きな歪んだ多角形を記述し、中心多角形ではなく面多角形のみを形成します。このタイプの回転は、対称群の表現です。 $B_{4}$ $F_{4}$ $H_{4}$ $A_{4}$
^ アブデフ
三角錐 {30/9}=3{10/3}では、120 セルのペトリー多角形 (30 角形の円周上にあり、120 セルの辺は示されていない) が、互いに螺旋状にまとまった 3 つのクリフォード平行 600 セル大十角形 (3 つの互いに交わらない {10/3} 十角形として表示) の複合体として表示されます。600 セルの辺 (#3 弦) は、(大円上で) 3 つの 600 セル辺、(ペトリー多角形で) 9 つの 120 セル辺離れた頂点を接続します。600 セルの辺の 3 つの互いに交わらない {10/3} 大十角形は、内接する 600 セルの単一のBoerdijk–Coxeter らせん 30 四面体リングを描きます。
120 セルと 600 セルはどちらも 30 角形のペトリー多角形を持っています。^[ai]これらは 2 つの異なる斜めの 30 角形ヘリックスであり、それぞれ 30 個の 120 セルエッジ (#1 コード) と 30 個の 600 セルエッジ (#3 コード) で構成されていますが、同じ 0 角形大円軸の周りを螺旋状に回る完全に直交するペアで発生します。120 セルのペトリーヘリックスは、600 セルのペトリーヘリックスよりも軸に近く巻きます。これは、120 セルの 30 エッジが 600 セルの 30 エッジよりも短いためです (また、ジグザグの角度もそれほど鋭くありません)。軸を共有する異なる半径のこれらのペトリーヘリックスの 2 対^[ai]には、共通の頂点がなく、完全に分離しています。^[al] 120細胞のペトリらせん（600細胞のペトリらせんに対して）は、1周する間に0角形軸の周りを9回（11回に対して）ねじれ、歪んだ{30/9}=3{10/3}ポリグラム（歪んだ{30/11}ポリグラムに対して）を形成します。^[am]
^ 600セルの§ 十角形と五十四角形については、三十四角形 {30/6}=6{5}の図を参照してください。
^ abc 120セル^[d]の各螺旋ペトリー多角形の3つのクリフォード平行大十角形には、6つの五角形^[w]が内接しており、その中に6つの五芒星（通常の5セル）が内接しているように見えますが、五芒星は歪んでいます（投影面と平行ではありません）。各5セルは、実際には5つの完全に互いに交わらない600セルの5つの異なる十角形-五角形中心平面に頂点を持っています。
^ ab 120 個の通常の 5 セルは完全に分離しています。各 5 セルには、その #8 エッジの 2 つの異なるペトリー五角形が含まれており、各五角形回路は5 つの分離した 600 セルを 5 セルの明確な等傾斜回転特性で結合しています。ただし、2 つの分離した 5 セルの頂点は 5 セルエッジでリンクされていないため、#8 コードのそれぞれの明確な回路は単一の 5 セルに限定され、120 セルには 5 セルエッジ (#8 コード) の他の回路は存在しません。
^ 黒または白の五芒星の各等傾斜線は、異なる右等傾斜回転における右等傾斜線としても、異なる左等傾斜回転における左等傾斜線としても機能しますが、等傾斜線には固有のキラリティーはありません。^[m]同じ離散的な左-右回転（同じファイブレーション）の右等傾斜線と左等傾斜線の両方である等傾斜線はありません。
^ abc 120 セルの特徴的な等傾斜回転は、その辺 (#1 弦) がある不変平面で、それらの辺をクリフォード平行中心平面の類似の辺に向けます。等傾斜回転^[n]は二重回転 (2 つの完全に直交する不変中心平面で同時に) であるため、頂点から隣接する頂点への増分回転ステップごとに、頂点は中心平面間を通常の大円ではなく螺旋状の大円等傾斜上で移動します^[m] 。この特定の回転では、等傾斜弦は 44.5° の弧長の #4 弦です。^[ar]
^ abc 120セルの特性等傾斜^[m]は、15本の #4 弦からなる斜めの 15 角形です。各 15 角形の連続する #4 弦は、互いに 12° で等傾斜している異なる △ 中心平面にあります。これは、大円の 1/30 に相当します (ただし、120 セルのエッジの円弧である #1 弦ではありません)。^[s]これは、2 つの平面が 2 つの等しい 12° の角度で分離されていることを意味します。^{[o]これらは、対応する頂点が斜めの #4 弦で結合された、隣接する}クリフォード平行大多角形 (不規則な大六角形)で占められています。各 15 角形の連続する頂点は、完全に互いに素な 5 セルの頂点です。各五芒星は、3 つの異なる 5 セルに属する 15 の頂点を訪れる#4 弦パス^{[r]です。{30/8}=2{15/4} 投影}^[ac]に示される 2 つの五芒星は、{30/12}=6{5/2} 投影で 6 つの互いに分離した五芒星として表示される 6 つの 5 セルを訪れます。^[d]
^ abcdefghij
三角形 {30/8}=2{15/4}には、
2 つの互いに交わらない120角形の等傾斜線が見えます。1 つは黒、もう 1 つは白の等傾斜線 (ここではオレンジと淡い黄色で表示) で、120 セルの特徴的な等傾斜回転です。 ^[z] 120 角形の辺は #4 弦^[aa]で、この投影の 30 頂点の円周 (ジグザグペトリー多角形) 上で 8 頂点ずつ離れた頂点を結合しています。^[ab]
120 セルの特徴的な等傾斜回転^{[t]は、その 1200 辺}^[r]と、その内接する正 5 セルの反対側の 1200 辺の不変平面で発生します。^[p] 4 つの異なる特徴的な右 (および左) 等傾斜回転があり、各左右のペアは個別のホップファイブレーションに対応します。^[13]各回転では、600 頂点すべてが 15 頂点の螺旋状等傾斜上を循環し、15 本の #4 弦で {15/4} 五十四芒星を形成する測地円^[m]に従います。^[ab]
^ ABCDE
120 セルのペトリー多角形は、歪んだ正三十角形{30} です。^[ah] 30 個の #1 弦の辺はすべて同じ {30} 大円多角形上にあるわけではありませんが、5 つのクリフォード平行 {12} 大円多角形に 6 個ずつ (円周上に等間隔で) 配置されています。^[q]
120 セルには、1200 辺からなる 80 個の異なる30 角形ペトリー多角形が含まれ、20 個の互いに素な 30 角形ペトリー多角形に分割できます。^[ai]ペトリー 30 角形は、1 周の間に 0 角形大円軸の周りを 9 回ねじれ、ペトリー多角形上で 9 頂点離れた頂点のペアを結ぶ 600 セル辺 (#3 弦) の複合三角錐 {30/9}=3{10/3}として考えることができます。 ^[v] {30/9} グラム (#3 弦辺を持つ) は、ペトリー 30 角形 (#1 弦辺を持つ) と同じ 30 頂点の交互シーケンスです。
^ 各√2.5弦はペトリー30角形の8つのジグザグ辺で張られており、^[ad]そのどれもが不規則な大六角形の大円内にはありません。あるいは、√2.5弦は9つのジグザグ辺で張られており、そのうちの1つ（その中点の上）は同じ大円内にあります。^[p]
^ ab 完全に直交する大多角形は、垂直で連結されている（張られた鎖の隣接する連結部のように）ものの、平行でもあり、4 次元多面体内で互いに正反対に位置し、連結された 2 つの円の共通の中心である 1 点を除いて交差しない平面上にあります。
^ ab 等傾斜線 ^[m]の弦経路は、4 次元多面体の頂点がその特徴的なクリフォード変位で横断する回転円の歪んだ多角形の形状であるため、4 次元多面体のクリフォード多角形と呼ばれることがあります。^[o]
^ ab 120セルの30辺の円周は、大円多角形ではなく、歪んだペトリー多角形に従います。任意の4次元多面体のペトリー多角形は、4次元多面体の表面の湾曲した3次元空間を通るジグザグの螺旋です。^[aj] 120セルの15の番号付き弦は、その30頂点の螺旋リングの2つの頂点間の距離として発生します。^[ak] 4次元空間を通る15の異なるピタゴラス距離は、リング内の任意の2つの最も近い頂点を結ぶ120セルの辺の長さ（#1弦）から、リング内の任意の2つの反対側（最も遠い）頂点を結ぶ120セルの軸の長さ（直径）（#15弦）までの範囲です。
^ abc 正三角形の30 角形は600 セルのペトリー多角形であり、その双対は 120 セルです。120 セルのペトリー多角形は、30 セルのBoerdijk–Coxeter らせんリング(600 セルのペトリー多角形) の双対として 600 セルに存在します。^[am] 30 個の四面体セルの中心を接続すると、双対の 120 セルのペトリー多角形が生成されます。これは Rolfdieter Frank (2001 年頃) によって指摘されました。これにより、彼は 120 セルの頂点セットが 20 個の交差しないペトリー多角形に分割されることを発見しました。この20個の互いに素なクリフォード平行斜め多角形の集合は、120セルの離散ホップファイバ化である（20個の30セルの二重リングが 600セルの離散ファイバ化であるのと同じように）。^[v]
^ 三角形の面を持つ 3 次元多面体 (多面体) (たとえば、二十面体) のペトリー多角形は、リング状に曲げられた辺結合面の線状ストリップとして見ることができます。辺結合三角形 (二十面体の場合は 10) の円形ストリップ内では、ペトリー多角形は、多面体の表面の 2 次元空間をジグザグに (円ではなく) 進む斜めの辺の多角形として取り出すことができます。つまり、左右に交互に曲がり、三角形を通過するがどの頂点とも交差しない大円軸の周りをスラロームします。四面体セル (たとえば、600 セル) を持つ 4 次元多面体 (多角体) のペトリー多角形は、リング状に曲げられた面結合セルの線状らせん、つまりBoerdijk–Coxeter らせんリングとして見ることができます。面結合した四面体の円形らせん (600 セルの場合は 30) 内では、斜めペトリー多角形は、ポリクロロンの表面の 3 次元空間をジグザグに (円を描いているのではなく) 進むエッジのらせんとして選択できます。つまり、交互に左と右に曲がり、四面体を通過するがどの頂点とも交差しない大円軸の周りをらせん状に進み、そのエッジが円を描いているのです。
^ abcdefgh 120 セル自体には、#1 - #15 の番号が付けられた 15 のコードより多くのコードが含まれますが、追加のコードは 120 セルの内部にのみ存在し、6 つの通常の凸 4 次元多面体またはその特徴的な大円リングのいずれかのエッジとしては存在しません。15 の主要なコードにこのように番号が付けられているのは、# nコードがペトリ多角形でn辺の長さだけ離れた 2 つの頂点を接続するためです。120 セルの頂点間には 30 の異なる 4 空間コード距離 (180° 補数の 15 組) があり、その中には 180° 直径の #15 (およびその補数が 0° コード) が含まれます。この記事では、番号が付けられていない 15 個のマイナーコードを、その弧の角度で命名します。たとえば、長さ√ 0.5で#3 コードと #4 コードの間にある 41.4° などです。
^ ab 「接触点において、[正多面体の要素と、何らかの方法でそれが内接するその双対の要素]は、[相互の]球面に対する接超平面の完全に直交する部分空間に存在するため、それらの唯一の共通点は接触点自体です...。実際、[さまざまな]半径_0𝑹、_1𝑹、_{2𝑹 、...は、頂点が元の多面体の要素}_𝐈𝐈0、𝐈𝐈1 _、 𝐈𝐈2 _、 ...の中心である多面体を決定します。」^[16]
^ ABCD
600 セルの内接するペトリー多角形は、この投影図で見ることができます。この投影図では、30 グラムの #11 弦である三角錐 {30/11} が描かれています。600 セルのペトリーは、自身の軸の周りを 11 回巻き付く螺旋状のリングです。リングシリンダーの軸に沿ったこの投影図では、シリンダーの円形断面の周りに 12° 間隔で 30 の頂点が示され、#11 弦が円周上の 11 番目の頂点ごとに接続されています。ペトリー多角形のエッジである 600 セルのエッジ (#3 弦) はこの図には示されていませんが、円周に沿って 3 番目の頂点ごとに接続して描くことができます。
600セルのペトリー多角形は、0角形大円軸の周りを1周する間に11回ねじれる螺旋状のリングです。0角形平面に完全に直交する平面に投影すると、600セルのペトリー多角形は、投影の円周上で11頂点ずつ離れた頂点のペアを結ぶ30本の#11弦の三等辺三角形{30/11}であることがわかります。 ^[17] {30/11}グラム（#11弦の辺を持つ）は、ペトリー30角形（#3弦の辺を持つ）と同じ30頂点の交互のシーケンスです。
^ 等傾斜回転では、各不変平面は移動先の平面とクリフォード平行であり、いかなる時点でも交差しません (中心点を除く)。単純回転では、不変平面は移動先の平面と一直線に交差し、その線の周りを回転して移動します。
^ 不変平面全体が回転する（横に傾く）平面は、完全に直交する不変平面の両方に（不完全）直交し、また両方にクリフォード平行でもある。^[af]
^ 2つの完全に直交する平面を90度等傾斜回転すると、平面は互いに接近します。このような4次元剛体多面体の回転では、6つの直交平面すべてが90度^{回転し、完全に直交する（クリフォード平行）平面に対して横に90度傾きます。 [18]} 2つの完全に直交する大多角形の対応する頂点は√4（180°）離れています。大多角形（クリフォード平行多面体）は√4（ 180°）離れています。しかし、2つの完全に直交する平面は、それらを隔てる2つの直交角で90°離れています。^[o]等傾斜回転をさらに 90° 続けると、各頂点は 360° 回転し、各大多角形は元の平面に戻りますが、方向が異なります(軸が入れ替わります)。つまり、4 次元多面体の表面で「上下逆さま」になります (つまり、「裏返し」になります)。2 回目の 360° 等傾斜回転 (90° x 90° の等傾斜ステップを 4 回、720° 回転) を続けると、すべてが元の位置と方向に戻ります。
^これを 間違って視覚化するのは最も簡単です。なぜなら、完全に直交する大円はクリフォード平行であり、交差しないからです (中心点を除く)。不変平面とそれが移動する平面も同様です。不変平面は、その完全に直交する平面ではなく、それとクリフォード平行である直交中心平面内で横に傾きます。不変平面は、その完全に直交する平面とともに回転しますが、その平面内で回転することはありません。不変平面は、その完全に直交する平面および移動先の平面に対してクリフォード平行であり、これらと交差しません。不変平面が回転する平面は、これらすべての平面と直交し、これらすべてと交差します。^[ao] 120 セルの特性回転では、^[ac]各不変回転平面は、その完全に直交する平面に対してクリフォード平行ですが、隣接していません。まず、他の (最も近い) 平行平面に到達します。しかし、連続するクリフォード平行面を通る等傾斜回転を 90° 継続すると、頂点は 180° 移動し、傾斜回転面は (元の) 完全に直交する面に到達します。^[ap]
^ ab 120セルの特性回転の等傾斜弦^[ac]は、44.5° の弧角 (不規則な大十二角形の大きい方の辺) の #4 弦です。これは、2 つの等しい 12° 回転角^[s]による等傾斜回転では、各頂点がペトリ多角形上で 4 辺の長さ離れた別の頂点に移動し、回転する円形の測地線パス (等傾斜) ^{[m] が}近い頂点と交差しないためです。
^ ab 分数平方根弦の長さは小数で表され、
𝚽 ≈ 0.618 は逆黄金比です⁠1/φ⁠
𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽² = ⁠1/φ2⁠ ≈ 0.382
𝜀 = 𝚫² /2 = ⁠1/2φ4⁠ ≈ 0.073 で
あり、120セルの辺の長さは:
𝛇 = √ 𝜀 = ⁠1/√2φ2⁠ ≈ 0.270
例:
𝛇 = √ 0.𝜀 = √ 0.073~ ≈ 0.270
^ abcd 単位半径120セルの12面体セルでは、辺の長さ（120セルの#1弦）は⁠1/φ ²√ 2⁠ ≈ 0.270。8つのオレンジ色の頂点は、セルの中心にある原点を基準とした直交座標（±φ ³√ 8、±φ ³√ 8、±φ ³√ 8 ）にあります。これらは、辺の長さが ⁠の立方体（破線）を形成します。1/φ√2⁠ ≈ 0.437 (五角形の対角線と120セルの#2弦)。辺の長さが⁠の立方体の面の対角線 (図示せず)1/φ⁠ ≈ 0.618 は、立方体に内接する四面体セルの辺（600 セルの辺と120 セルの#3 弦）です。十二面体の直径は⁠√3/φ√2⁠ ≈ 0.757 (立方体の対角線と、120 セルの#4 弦)。
^ ab 面五角形の対角線（#2弦）は、面五角形の辺（120セルの辺、#1弦）に対して黄金比φ ≈ 1.618 である。 ^[at]
^ abc #2 弦は、2 辺の長さだけ離れた頂点を結びます。120 セルの四面体頂点図形の頂点、つまり 1 ₀で示される頂点から始まる 120 セルの 2 番目のセクションです。#2 弦はこの四面体の辺であり、#1 弦はその長半径です。#2 弦は、120 セルの五角形面の対角弦でもあります。^[au]
^ abc 120 セルには 10 個の 600 セルが含まれており、これらは 2 つの異なる方法で 5 つの完全に互いに分離した 600 セルに分割できます。^[h] 10 個の 600 セルはすべて、200 個の不規則な大十二角形中心平面の同じセットを占めます。^[q] 120 セルにはちょうど 400 個の正六角形があり (各十二角形中心平面に 2 つずつ)、10 個の 600 セルのそれぞれに、それらの 200 個のサブセット (各十二角形中心平面から 1 つずつ) が含まれます。各 600 セルには、任意の十二角形中心平面に内接する 2 つの正六角形のうちの 1 つだけが含まれます。これは、任意の十二面体セルに内接する 2 つの正四面体のうちの 1 つだけが含まれるのと同じです。各 600 セルは、他の 4 つの 600 セルとは互いに分離しており、他の 5 つの 600 セルと六角形を共有しています。^[bo] 600 セルの互いに隣接しない各ペアは、すべての 12 角形の中心平面にある互いに隣接しない大六角形の反対側のペアを占めます。600 セルの互いに隣接しない各ペアは、24 セルを構成する 16 の六角形で交差します。120 セルには、互いに隣接しない 24 セル (25) の 9 倍の異なる 24 セル (225) が含まれます。^[j]各 24 セルは 9 つの 600 セルに存在し、1 つの 600 セルには存在せず、2 つの 600 セルで共有されます。
^ ABCD
三十角形 {30/5}=5{6}、120 セルの斜めペトリー 30 角形は、5 つの大きな六角形の組み合わせです。
各大六角形の辺は、5 つの 120 セル辺のジグザグの軸です。120 セルのペトリー多角形は、どの頂点とも交差しない0 角形の大円軸の周りを螺旋状に回る、30 の 120 セル辺の螺旋状のジグザグです。 ^[v]各ペトリー多角形には、5 つの異なる中心平面に 5 つの大六角形が内接しています。^[aw]
^ ab 5セルのペトリー多角形は五芒星{5/2}です。120セルのペトリー多角形は三十角形{30}で、その平面への多くの投影の1つは三十角形{30/12}=6{5/2}です。^[ad]各120セルペトリー6{5/2}グラムは、120セルに内接する120個の互いに交わらない正5セルのうち6個に属する6個の5セルペトリー{5/2}グラムと完全に直交しています。^[d]
^ 単位半径の任意の正凸n多面体のすべての異なる弦の長さの二乗の合計は、頂点の数の二乗である。^[19]
^ 十二面体は120セル内で目に見える特徴として現れますが、600セル内では内部多面体として現れます。^[22]
^ -単体のファセットは-正複体のファセットよりも大きい。の場合、5 セルと 16 セルと 8 セルの辺の長さは、からまでとの比になります。 $n$ $n$ $n=4$ ${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {4}}$ ${\sqrt {2}}$
^ 4-オルソプレックスの各 3 面、つまりを並べ替える四面体と、を並べ替えるその完全に直交する 3面は、4-オルソプレックスの 8 つの頂点すべてから構成されます。ユニークなことに、4-オルソプレックスは 4-半立方体、つまり 4-立方体の頂点の半分でもあります。4-単体、4-オルソプレックス、4-立方体の間のこの関係は、に特有のものです。4-オルソプレックスの完全に直交する 3-単体面は、同じ 4-立方体内の完全に直交する 3-立方体の交互の頂点を占める 3-半立方体のペアです。同じ 3-超平面に直交投影すると、2 つの 3 面は同じ 3-立方体に内接する 2 つの四面体になります。 (より一般的には、完全に直交する多面体は互いの鏡映しです。) $(0,0,0,1)$ $(0,0,0,-1)$ $n=4$
^ 5-オルソプレックスの各 4 面、4 単体 (5 セル) の置換、およびその完全に直交する 4 面の置換は、5-オルソプレックスの 10 個の頂点すべてを構成する。 $(0,0,0,0,1)$ $(0,0,0,0,-1)$
^ 120個の5セルの頂点ペア（5セルの大二角形の中心平面）は、675個の16セル（6つの直交中心平面の675個の直交基底セット）のいずれにも出現しない。^[j]
^ 120 セルの表面の湾曲した 3 次元空間では、600 の頂点のそれぞれが 15 対の多面体セクションに囲まれており、各セクションは 30 の異なる弦の 1 つから放射状に離れています。頂点は実際には多面体の中心ではありません。これは、セクションの超平面から 4 次元目にずれているためです。そのため、頂点の頂点とそれを囲む基本多面体は多面体ピラミッドを形成します。特性弦は、ピラミッドの横方向のエッジと同様に、頂点の周囲に放射状に伸びています。
^ 等傾斜回転は、コインが弾かれるように回転面が横に傾くため、クリフォード平行面を互いに向き合わせます。^[n] #4 弦^{[aa]ブリッジは、}正大六角形 ( 24 セルの特性回転)の等傾斜回転で重要です。この等傾斜回転では、不変回転面は、120 セルの特性回転 (不規則な大六角形) と同じ 200 個の十二角形中心面のサブセットです。^[ac] 120 セルの 24 セルの特性回転の各 12° 弧^{[ar]では、すべての}正大六角形の頂点が、#4 弦離れたクリフォード平行正大六角形の別の頂点に移動されます。隣接するクリフォード平行正大六角形には、#4 弦で接続された 6 組の対応する頂点があります。 6 本の #4 弦は、互いにクリフォード平行である 6 つの互いに交わらない 12 角形の中心平面にある 6 つの異なる大きな長方形の辺です。
^ この図は、3 つの異なる △ 中央平面にある 3 つの関連する不規則大十二角形のうちの 1 つを示しています。そのうちの 2 つ (図示せず) は、クリフォード平行 (互いに交わらない) 十二角形平面にあり、頂点を共有していません。青い中央の四角形 (#4 と #11 の辺) は、3 番目の十二角形平面にあり、2 つの互いに交わらない十二角形平面のいずれにもクリフォード平行ではなく、両方と交差しています。この四角形は、それぞれの十二角形平面と 2 つの頂点 (四角形の√ 4^{軸) を共有しています。各十二角形平面には、交互の位置に 2 つの不規則大六角形が含まれています (図示せず)。 [q]}したがって、示されている四角形の各 #4 弦は、示されていない 2 つの十二角形平面にある 2 つのクリフォード平行不規則大六角形を橋渡ししています。^[bg]
^ 正5 セルには、2 つの頂点と交差する二角形の中心平面のみがあります。120 個の正 5 セルが内接する 120 セルには、これらの二角形が長い辺である大きな長方形が含まれます。この二角形は、長さ√ 2.5の内接 5 セルの辺です。3つの互いに交わらない長方形が 1 つの {12} 中心平面に存在し、6 つの #8 √ 2.5弦は 6 つの互いに交わらない 5 セルに属します。12 ₀セクションと 18 _{0セクションは、辺の長さ}√ 2.5の正四面体で、正 5 セルのセルです。正 5 セルの 10 個の三角形の面はこれらのセクションにあります。面の 3 つの√ 2.5辺はそれぞれ異なる {12} 中心平面にあります。
^ ab 120セルでは、各24セルは2つの異なる600セルに属します。^[25] 120セルには225の異なる24セルが含まれており、25の互いに素な24セルに分割できるため、25の24セルの複合体の凸包になります。^[26]
^ 各正十二面体内の 10 個の四面体は重なり合っていますが、各 600 セル内の 600 個の四面体は重なり合っていないため、10 個のそれぞれは異なる 600 セルに属している必要があります。
^ ab 120 セルの頂点図形はそれぞれ、実際には低四面体ピラミッドであり、正四面体の底面を持つ不規則な5 セルです。
^ 600 セルの例で見たように、これらの 12 個の四面体は (ペアで) 20 個の四面体セルからなる 6 つの20 面体クラスターに属し、各クラスターは 5 個の四面体セルからなるクラスターを囲んでいます。
^ 24セルには16個の六角形が含まれます。600セルには25個の24セルがあり、各24セルは8個の24セルと分離しており、他の16個の24セルのそれぞれと6つの頂点で交差して六角形を形成します。^[42] 600セルには25・16/2 = 200個のこのような六角形が含まれます。
^ 各正六角形は、同じ 600 セル内の 2 つの 24 セルによって共有されます。 ^[bn]また、各 24 セルは 2 つの 600 セルによって共有されます。 ^[bj]各正六角形は 4 つの 600 セルによって共有されます。
^ 600 ポイントの 120 セルから 600 セルの 1 つを削除して 480 ポイントの 4 次元多面体に縮小することは、120 ポイントの 600 セルから5 つの互いに交わらない内接 24 セルの 1 つを削除して 96 ポイントのスナブ 24 セルを作成することで縮小するのと類似しています。同様に、8 セルの 4 次元多面体は、16 ポイントの縮小 24 セルから 8 ポイントの 16 セルを 1 つ削除したものと見ることができます。

引用

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^ マティラ・ギカ『芸術と人生の幾何学』（1977年）、68ページ
^ ab Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii);「120セル」。
^ Dechant 2021、p. 18、注釈5.7で、その理由が説明されている。^[e]
^ Dechant 2021, Abstract; "[E]very 3D root system allows the construction of a corresponding 4D root system via an ‘induction theorem’. In this paper, we look at the icosahedral case of H3 → H4 in detail and perform the calculations explicitly. Clifford algebra is used to perform group theoretic calculations based on the versor theorem and the Cartan-Dieudonné theorem ... shed[ding] light on geometric aspects of the H4 root system (the 600-cell) as well as other related polytopes and their symmetries ... including the construction of the Coxeter plane, which is used for visualising the complementary pairs of invariant polytopes.... This approach therefore constitutes a more systematic and general way of performing calculations concerning groups, in particular reflection groups and root systems, in a Clifford algebraic framework."
^ Mathematics and Its History, John Stillwell, 1989, 3rd edition 2010, ISBN 0-387-95336-1
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^ Mamone, Pileio & Levitt 2010, p. 1433, §4.1; A Cartesian 4-coordinate point (w,x,y,z) is a vector in 4D space from (0,0,0,0). Four-dimensional real space is a vector space: any two vectors can be added or multiplied by a scalar to give another vector. Quaternions extend the vectorial structure of 4D real space by allowing the multiplication of two 4D vectors $\left(w,x,y,z\right)_{1}$ and $\left(w,x,y,z\right)_{2}$ according to
${\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}$
^ Kim & Rote 2016, p. 7, §6 Angles between two Planes in 4-Space; "In four (and higher) dimensions, we need two angles to fix the relative position between two planes. (More generally, k angles are defined between k-dimensional subspaces.)".
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^ Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes, Table 2, Symmetry operations; in symmetry group 𝛢₄ the operation [15]𝑹_q3,q3 is the 15 distinct rotational displacements which comprise the class of pentagram isoclinic rotations of an individual 5-cell; in symmetry group 𝛨₄ the operation [1200]𝑹_q3,q13 is the 1200 distinct rotational displacements which comprise the class of pentadecagram isoclinic rotations of the 120-cell, the 120-cell's characteristic rotation.
^ Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes, Table 2, Symmetry group 𝛨₄; the 120-cell has 7200 distinct rotational displacements (and 7200 reflections), which can be grouped as 25 distinct isoclinic rotations.
^ Coxeter 1973, pp. 300–301, Table V:(v) Simplified sections of {5,3,3} (edge 2φ⁻²√2 [radius 4]) beginning with a vertex; Coxeter's table lists 16 non-point sections labelled 1₀ − 16₀, polyhedra whose successively increasing "radii" on the 3-sphere (in column 2la) are the following chords in our notation:^[ak] #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56.0~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, ..., #15. The remaining distinct chords occur as the longer "radii" of the second set of 16 opposing polyhedral sections (in column a for (30−i)₀) which lists #15, #14, #13, #12, 138.6~°, #11, 130.1~°, 124~°, #10, 113.9~°, 110.2~°, #9, #8, 98.9~°, 95.5~°, #7, 84.5~°, ..., or at least they occur among the 180° complements of all those Coxeter-listed chords. The complete ordered set of 30 distinct chords is 0°, #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, #8, #9, 110.2°, 113.9°, #10, 124°, 130.1°, #11, 138.6°, #12, #13, #14, #15. The chords also occur among the edge-lengths of the polyhedral sections (in column 2lb, which lists only: #2, .., #3, .., 69.8~°, .., .., #3, .., .., #5, #8, .., .., .., #7, ... because the multiple edge-lengths of irregular polyhedral sections are not given).
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Der 120-Zeller (120-cell) Marco Möller's Regular polytopes in R⁴ (German)
120-cell explorer – A free interactive program that allows you to learn about a number of the 120-cell symmetries. The 120-cell is projected to 3 dimensions and then rendered using OpenGL.
Construction of the Hyper-Dodecahedron
YouTube animation of the construction of the 120-cell Gian Marco Todesco.

[dihedral-4] 120セルでは、3つの正十二面体と3つの五角形がすべての辺で交わります。4つの正十二面体、6つの五角形、4つの辺がすべての頂点で交わります。二面角（正十二面体超平面間）は144°です。^[3]

[elements-5] 120 セルには、正多角形 {7} 以上を除くすべての正凸 1 次元多面体、2 次元多面体、3 次元多面体、4 次元多面体が含まれます。正多角形 {7} 以上のほとんどは発生しません。{10} は発生する注目すべき例外です。120セルには、{11}、^[am] {15} ^[ac] 、{30} など、さまざまな正凸多角形{7} 以上が発生します。^[v]

[polytopes_ordered_by_size_and_complexity-6] 凸正多面体は、同じ半径の 4 次元コンテンツ (超体積) の尺度として、サイズで順序付けることができます。シーケンス内の各大きな多面体は、前の多面体よりも丸みを帯びており、同じ半径内に 4 コンテンツがより多く含まれています。4 単体 (5 セル) が最小のケースで、120 セルが最大です。複雑さ (構成マトリックスの比較または単に頂点の数で測定) も同じ順序に従います。これにより、正多面体の別の数値命名スキームが提供され、120 セルは 600 点の 4 多面体になります。これは、5 点の 4 多面体から始まる昇順のシーケンスで 6 番目で最後です。

[inscribed_5-cells-7] 
三角錐 {30/12}=6{5/2}では、
120 個の互いに交わらない正 5 角錐 (辺の長さは√ 2.5)のうち 6 個が 120 角錐に内接しており、これが 6 つの五角形 ( 5 角錐のクリフォード多角形) として表されます。30 個の頂点は 120 角錐のペトリ多角形^[v]を構成し、 30 個のジグザグ辺 (図示せず) と 3 つの内接大 10 角形 (辺は図示せず) がクリフォード平行に投影面にあります。^[x]
単位半径の 120 セルには、辺の長さが√ 2.5^{である 120 個の互いに素な正則 5 セルが内接しています[12]}。5 セルと 120 セル以外の正則 4 多面体には√ 2.5弦 (#8 弦) は含まれません。^[e] 120 セルには 10 個の異なる内接 600 セルが含まれており、これらは 2 つの異なる方法で 5 つの互いに素な 600 セルとして解釈できます。各√ 2.5弦は互いに素な 600 セル内の 2 つの頂点を接続し、したがって互いに素な 24 セル、8 セル、16 セル内の頂点を接続します。^[i] 5 セルの辺と 120 セルの辺はどちらも互いに素な 600 セル内の頂点を接続します。互いに素な600セル内の対応する同種の多面体はクリフォード平行で√2.5離れている。各5セルには、互いに素な5つの600セルのそれぞれから1つの頂点が含まれている。^[y]。

[rotated_4-simplexes_are_completely_disjoint-8] 正凸 4 次元多面体の複数のインスタンスは、最小の正凸 5 次元多面体を除き、それより大きい後続の 4 次元多面体に内接することができます。正凸 5 次元多面体は、最大の正凸 120 次元多面体にのみ内接します。^[i] 4 次元多面体が互いに入れ子になっている仕組みを理解するには、内接する 4 次元多面体の複数のインスタンスが互いに素な場合と、単に異なる複数のインスタンスである場合を注意深く区別する必要があります。たとえば、600 点の 120 セルは、完全に互いに素な 75 個の 8 点の 16 セルの複合体の凸包です。これらのセルは頂点を共有せず、75 * 8 = 600 です。しかし、120 セル内から 675 個の個別の 16 セルを取り出すことも可能で、そのほとんどのペアはいくつかの頂点を共有しています。これは、2 つの同心の等半径 16 セルが互いに対して回転して、2 つの頂点 (軸) または 4 つの頂点 (大きな正方形の平面) を共有する一方で、残りの頂点は一致しない可能性があるためです。^[j] 4 次元空間では、任意の 2 つの合同な正 4 次元多面体は同心であっても、互いに対して回転して、頂点の共通サブセットのみを共有する場合があります。 4 単体 (5 点正 5 セル) の場合のみ、頂点の共通サブセットは、5 つの頂点すべてでない限り、常に空でなければなりません。2 つの同心 4 単体を互いに回転させて、頂点の一部 (すべてではない) が一致するようにすることは不可能です。完全に一致するか、完全に分離するかのいずれかです。この特性を持つのは 4 単体のみです。16 セル、および拡張により、より大きな正 4 多面体は、ペアが頂点の一部 (すべてではない) を共有するように、それ自体に対して回転することがあります。直感的に、4 単体のみが、回転後に不変である可能性のある反対の頂点 (2 頂点の中心軸) を持たないという事実から、これがどのように従うかがわかります。 120 セルには 120 個の完全に互いに素な正 5 セルが含まれており、これらは唯一の異なる内接正 5 セルですが、正 4 多面体の他のすべてのネストには、互いに素な内接 4 多面体と、より多数の異なる内接 4 多面体が含まれます。

[reversed_greek_symbols-14] (Coxeter 1973) は、ギリシャ文字の 𝝓 (ファイ) を使用して、正多面体の3 つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 の 1 つを表します。𝝓 は、Coxeter が 𝝉 (タウ) を使用する黄金比定数 ≈ 1.618 を表すためによく使用されるため、ここでは Coxeter の慣例を逆にして、特性角を表すために 𝝉 を使用します。

[17] ^これら3つの4次元多面体の座標を四元数クロス乗算して 冗長性を抑えながら600個の座標すべてを得るには、24セルの頂点を1つだけ含めれば十分である: ( √1 /2 , √1 /2,0,0)。^[9]

[2_ways_to_get_5_disjoint_600-cells-18] 120セルの600頂点は、2つの異なる方法で、5つの互いに交わらない内接する120頂点600セルに分割できます。^[31]この4D分割の形状は、正十二面体の20頂点を5つの互いに交わらない内接四面体に分割する3D分割と次元的に類似しており、各正十二面体セルには5つの互いに交わらない内接四面体セルの2つの反対のセットが含まれているため、これも2つの異なる方法で行うことができます。120セルは、正十二面体と類似した方法で分割できます。なぜなら、その正十二面体セルのそれぞれには、10個の内接する600セルのそれぞれから1つの四面体セルが含まれているからです。

[simplex-orthoplex-cube_relation-19] 正5セル（4単体）と正16セル（4正複合体）の間には幾何学的な関係があるが、それは3単体と5正複合体を通して間接的にしか現れない。 -単体は頂点と（-1）単体ファセットで囲まれ、長径（辺）の長さは半径である。 -正複合体は頂点と（-1）単体ファセットで囲まれ、長径（直交軸）の長さは半径である。-立方体は頂点と（ -1）立方ファセットで囲まれ、長径の長さは半径である。^[bb] 3-立方体の長径は3-正複合体の軸よりも短い。4-オルソプレックスの座標はの順列であり、その 16 面のうちの 1 つ (3-単体) の 4 空間座標はの順列です。^[bc] 4-立方体の長径は、4-オルソプレックスの軸と同じ長さです。5-オルソプレックスの座標はの順列であり、その 32 面のうちの 1 つ (4-単体) の 5 空間座標はの順列です。^[bd] 5-立方体の長径は、5-オルソプレックスの軸よりも長いです。 $n$ $n+1$ $n+1$ $n$ $n+1$ ${\sqrt {n+1}}/{\sqrt {n}}$ $n$ $2n$ $2^{n}$ $n$ $n$ $2$ $n$ $2^{n}$ $2n$ $n$ $2^{n-1}$ ${\sqrt {n}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {4}}$ $(0,0,0,\pm 1)$ $(0,0,0,1)$ ${\sqrt {4}}$ ${\sqrt {4}}$ $(0,0,0,0,\pm 1)$ $(0,0,0,0,1)$ ${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {4}}$

[rays_and_bases-20] 120 セルには、4 次元ユークリッド空間の 3 次元球面の表面に対称的に分布する 600 個の頂点があります。頂点は対心ペアになっており、対心ペアの頂点を通る線が 120 セルの 300 本の光線[または軸] を定義します。相互に直交する 4 本の光線 (または方向) の任意のセットを基底と呼びます。300 本の光線は 675 個の基底を形成し、各光線は 9 個の基底に存在し、これらの基底内の 27 個の異なる同伴光線と直交し、他の光線とは直交しません。光線と基底は幾何学的構成を構成し、構成の言語では 300 ₉ 675 ₄と書かれ、各光線が 9 個の基底に属し、各基底に 4 本の光線が含まれることを示します。^[28]各基底は、4つの直交軸と6つの直交大正方形を含む個別の16セルに対応します。120セルの600頂点すべてを含む75の完全に互いに分離した16セルは、675の個別の16セルから選択できます。^[e]

[inscribed_counts-21] 120 セルは、 5 つの互いに素な 600 セル^[h]または25 の互いに素な 24 セル、75 の互いに素な 16 セル、または120 の互いに素な 5 セルの複合体として構成できます。120 の 5 セルの場合を除いて^{[e] 、これらは 120 セルに内接する}すべての異なる正則 4 次元多面体の数ではなく、複合すると 120 セルの凸包を形成する、完全に互いに素な内接 4 次元多面体の数だけです。120 セルには、 10の異なる 600 セル、225 の異なる 24 セル、および675 の異なる 16 セルが含まれます。^[j]

[isocline_circumference-23] 同じ円周の 3 球等傾斜線はすべて、直接合同な円です。通常の大円は円周の等傾斜線です。単位半径多面体の単純な回転は 2𝝅 等傾斜線上で行われます。二重回転は、円周以外の等傾斜線を持つ場合があります。正則 4 多面体の特性回転は、その辺を含む中心平面が回転の不変面である等傾斜回転です。16 セルと 24 セルは、4𝝅 円周の等傾斜線上で辺回転します。600 セルは、5𝝅 円周の等傾斜線上で辺回転します。 $2\pi r$ $2\pi r$

[isocline-24] 等傾斜線は、4次元全体にわたって閉じた、湾曲した、らせん状の大円です。通常の大円とは異なり、単一の中心平面上にはありませんが、他の大円と同様に、4次元多面体の境界面の湾曲した3次元空間内で見ると、直線、つまり測地線になります。通常の大円と等傾斜線大円はどちらも、大円の平行な束が互いに連結され、螺旋状になっているという意味で螺旋状ですが、実際にはどちらもねじれていません（固有のねじれはありません）。それらの曲率はそれ自体のものではなく、3次元球面の自然曲率の特性であり、その曲がった空間内では有限の（閉じた）直線セグメントです。^[l]混乱を避けるために、私たちは常に等傾斜線そのものを指し、大円という用語は平面内の通常の大円に対して使用します。

[isoclinic_rotation-25] 等傾斜^[o]回転は、2 つの完全に直交する不変中心回転面で同時に行われる等回転角の二重回転です。すべての離散等傾斜回転には、回転角と等傾斜角という 2 つの特徴的な円弧角 (弦の長さ) があります。^[t]頂点から隣接する頂点への増分回転ステップごとに、各不変回転面は回転角だけ回転し、また、等しい回転角だけ横に傾きます (コインを投げるときのように)。^[an]したがって、各頂点は大円上で 1 回転角増分だけ回転し、同時に大円全体が完全に直交する大円とともに等しい回転角増分だけ回転します。^[aq]これら 2 つの同時かつ等しい大円回転増分の積は、各頂点の等傾斜角増分 (等傾斜弦の長さ) による全体的な変位です。したがって、回転角度は、移動する大円の参照フレームにおける頂点の変位、および静止参照フレームにおける移動する大円の横方向の変位 (回転によって大円多角形と隣接するクリフォード平行大円多角形との間の距離) を測定します。等傾斜弦の長さは、静止参照フレームにおける頂点の総変位であり、隣接する 2 つの大円多角形間の斜弦 (回転における対応する頂点間の距離) です。

[isoclinic-26] 4次元空間の2つの平面間の距離を指定するには、2つの角度が必要です。^[11] 2つの角度が等しい場合、2つの平面は等傾斜（クリフォード平行とも呼ばれる）と呼ばれ、1つの点で交差します。二重回転では、点は不変中心回転面内である角度で回転し、不変中心回転面全体も（直交不変中心回転面内で）ある角度で横に傾きます。したがって、各頂点は、異なる中心平面上の2点間で等傾斜^[m]と呼ばれるらせん状の滑らかな曲線を横切り、2つの直交中心平面のそれぞれで通常の大円を横切ります（平面が元の平面に対して傾くため）。2つの直交角度が等しい場合、各大円に沿って移動する距離は同じであり、二重回転は等傾斜（クリフォード変位とも呼ばれる）と呼ばれます。等傾斜中心平面を互いに向けた回転を等傾斜回転という。^[n]

[irregular_great_hexagon-27] 120セルの特徴的な等斜回転の不変中心平面^[ac]には、2つの異なる長さの辺が交互に並ぶ不規則な大六角形{6}が含まれます。長さ𝜁 = √ 0.𝜀（#1弦）の3つの120セル辺と、長さ√2.5（#8弦）の3つの内接する正5セル辺です。これらは、それぞれ、任意の正4次元多面体の最短辺と最長辺です。^[ae]各不規則な大六角形は、別の不規則な大六角形と完全に直交しています。^[af] 120セルには、400の異なる不規則な大六角形（200の完全に直交するペア）が含まれており、4つの異なる方法で100の互いに素な不規則な大六角形（120セルの離散ファイバ化）に分割できます。各繊維は、50 組の完全に直交する不変の中心平面において、独自の左 (および右) 等傾斜回転を持ちます。2 つの不規則な大六角形は、2 つの大五角形が大十角形平面を占めるのと同様に、交互の位置で同じ中心平面を占めます。2 つの不規則な大六角形は、不規則な大十二角形を形成します。これは、別々に図示されている 120 セルの複合大円多角形です。^[q]

[irregular_great_dodecagon-28] 
120 セルには 200 の中心平面があり、それぞれが 12 の頂点と交差して、長さの異なる辺が交互に並ぶ不規則な 12 角形を形成します。12 角形に内接するのは、2 つの正六角形 (黒)、^[ax] 2 つの不規則六角形 (赤)、^[p]および 4 つの正三角形 (緑色で 1 つのみ表示) です。
120セルには、6つの辺（𝜁でマークされた#1弦）を持つ不規則な12角形{12}の大円多角形と、6つの12面体セル直径（#4弦）が交互に配置されています。^{[at]不規則な大12角形には、交互の位置に内接する2つの不規則}な大六角形（赤）が含まれています。^[p]12角形には、3番目のサイズ（√1、#5弦）の辺を持つ2つの正大六角形も内接しています。 ^[ax] 12 の正六角形の辺 (#5 弦)、12 角形の 6 つのセル直径の辺 (#4 弦)、および 12 角形の 6 つの 120 セルの辺 (#1 弦) はすべて同じ大円の弦ですが、12 角形の 6 つの #4 辺をつなぐ他の 24 のジグザグの辺 (#1 弦、図示せず) はこの大円平面内にはありません。120 セルの不規則な大 12 角形の平面、不規則な大六角形の平面、正大六角形の平面、および正三角形の平面は、同じ 12 角形の平面のセットです。120 セルには、このような {12} の中心平面が 200 個 (完全に直交する 100 組) あり、それぞれが六角形を含む 200 の中心平面は、10 個の内接する 600 セルのそれぞれに存在します。^[あぁ]

[non-planar_geodesic_circle-29] 5 セル、8 セル、120 セルはすべて、頂点図形が四面体です。頂点図形が四面体である 4 次元多面体では、辺に沿った経路は単一の中心平面にある通常の大円上にありません。つまり、連続する各辺は、前の辺とは異なる中心平面にあります。120 セルでは、辺に沿った 30 辺の円周経路はジグザグの斜めペトリー多角形をたどりますが、これは大円ではありません。ただし、15 頂点を通る真の測地線大円である 15 弦の円周経路が存在します。ただし、これは円周 2𝝅𝑟 の通常の「平坦な」大円ではなく、2 つの完全に直交する中心平面で同時に円を描いて曲がる螺旋状の等傾斜線^[m]であり、2 次元平面に限定されるのではなく 4 次元を周回します。^[ab]等傾斜線の歪弦集合はクリフォード多角形と呼ばれます。^[ag]

[12°_rotation_angle-30] 120 セルの等傾斜回転では、回転弧角は 12° (円の 1/30) であり、#1 エッジ弦の 15.5° 弧ではありません。どの中心平面が不変回転平面であるかに関係なく、120 セルの等傾斜回転を 12° 回転させると、すべての中心平面の大多角形が、12° 離れたクリフォード平行中心平面にある合同な大多角形に移動します。隣接するクリフォード平行大多角形 (すべての種類) は完全に分離しており、それらの最も近い頂点は2 つの120 セルエッジ (弧の長さが 15.5° の #1 弦) によって接続されています。12° の回転角度は、120 セルのどの頂点間の弦の弧でもありません。これは、隣接するクリフォード平行中心平面間の 2 つの等しい角度としてのみ発生し、^{[o] 、120 セルのさまざまな等傾斜回転}すべて(特性回転だけでなく)における隣接する回転平面間の分離です。

[characteristic_rotation-31] 離散等傾斜回転のすべてのクラス^[n]は、回転角と等傾斜角、および不変回転面であるクリフォード平行中心平面のセットによって特徴付けられます。4 次元多面体の特性等傾斜回転は、不変回転面のセットが 4 次元多面体のエッジを含む離散等傾斜回転のクラスです。クリフォード平行中心平面の各セット (エッジ平面の各ホップファイバ) には、明確な左 (および右) 回転があります。 4 次元多面体のエッジが正大円を形成する場合、特性回転の回転角度は、単にエッジの円弧角です (エッジ弦は単に回転弦です)。しかし、正四面体頂点図形 [ ^r]を持つ正 4 次元多面体では、エッジは正大円を形成せず、別の弦と組み合わせて不規則な大円を形成します。たとえば、120 セルの #1 弦の辺は、#4 弦の辺も持つ不規則な大十二角形の辺です。^[q]このような 4 次元多面体では、回転角度は辺の弧角ではありません。実際、必ずしも頂点弦の弧ではありません。^[s]

[edge_rotation_planes-32] 16セルの√ 2辺と 4𝝅 特性回転^{[l] は}、大正方形 ☐ の中心平面にあります。このタイプの回転は、対称性群の表現です。24セルの√ 1辺、√ 3弦、4𝝅 特性回転は、大三角形 (大六角形) △ の中心平面にあります。このタイプの回転は、対称性群の表現です。600セルの辺と 5𝝅 特性回転は、大五角形 (大十角形) 𝜙 の中心平面にあります。これらの弦は√ 5の関数であり、このタイプの回転は対称性群の表現です。正5 セルの多角形と特性回転は、単一の中心平面には存在しません。これらは、歪んだ五芒星✩ またはより大きな歪んだ多角形を記述し、中心多角形ではなく面多角形のみを形成します。このタイプの回転は、対称群の表現です。 $B_{4}$ $F_{4}$ $H_{4}$ $A_{4}$

[two_coaxial_Petrie_30-gons-33] アブデフ
三角錐 {30/9}=3{10/3}では、120 セルのペトリー多角形 (30 角形の円周上にあり、120 セルの辺は示されていない) が、互いに螺旋状にまとまった 3 つのクリフォード平行 600 セル大十角形 (3 つの互いに交わらない {10/3} 十角形として表示) の複合体として表示されます。600 セルの辺 (#3 弦) は、(大円上で) 3 つの 600 セル辺、(ペトリー多角形で) 9 つの 120 セル辺離れた頂点を接続します。600 セルの辺の 3 つの互いに交わらない {10/3} 大十角形は、内接する 600 セルの単一のBoerdijk–Coxeter らせん 30 四面体リングを描きます。
120 セルと 600 セルはどちらも 30 角形のペトリー多角形を持っています。^[ai]これらは 2 つの異なる斜めの 30 角形ヘリックスであり、それぞれ 30 個の 120 セルエッジ (#1 コード) と 30 個の 600 セルエッジ (#3 コード) で構成されていますが、同じ 0 角形大円軸の周りを螺旋状に回る完全に直交するペアで発生します。120 セルのペトリーヘリックスは、600 セルのペトリーヘリックスよりも軸に近く巻きます。これは、120 セルの 30 エッジが 600 セルの 30 エッジよりも短いためです (また、ジグザグの角度もそれほど鋭くありません)。軸を共有する異なる半径のこれらのペトリーヘリックスの 2 対^[ai]には、共通の頂点がなく、完全に分離しています。^[al] 120細胞のペトリらせん（600細胞のペトリらせんに対して）は、1周する間に0角形軸の周りを9回（11回に対して）ねじれ、歪んだ{30/9}=3{10/3}ポリグラム（歪んだ{30/11}ポリグラムに対して）を形成します。^[am]

[34] 600セルの§ 十角形と五十四角形については、三十四角形 {30/6}=6{5}の図を参照してください。

[great_pentagon-35] 120セル^[d]の各螺旋ペトリー多角形の3つのクリフォード平行大十角形には、6つの五角形^[w]が内接しており、その中に6つの五芒星（通常の5セル）が内接しているように見えますが、五芒星は歪んでいます（投影面と平行ではありません）。各5セルは、実際には5つの完全に互いに交わらない600セルの5つの異なる十角形-五角形中心平面に頂点を持っています。

[distinct_circuits_of_the_5-cell-37] 120 個の通常の 5 セルは完全に分離しています。各 5 セルには、その #8 エッジの 2 つの異なるペトリー五角形が含まれており、各五角形回路は5 つの分離した 600 セルを 5 セルの明確な等傾斜回転特性で結合しています。ただし、2 つの分離した 5 セルの頂点は 5 セルエッジでリンクされていないため、#8 コードのそれぞれの明確な回路は単一の 5 セルに限定され、120 セルには 5 セルエッジ (#8 コード) の他の回路は存在しません。

[38] 黒または白の五芒星の各等傾斜線は、異なる右等傾斜回転における右等傾斜線としても、異なる左等傾斜回転における左等傾斜線としても機能しますが、等傾斜線には固有のキラリティーはありません。^[m]同じ離散的な左-右回転（同じファイブレーション）の右等傾斜線と左等傾斜線の両方である等傾斜線はありません。

[#4_isocline_chord-39] 120 セルの特徴的な等傾斜回転は、その辺 (#1 弦) がある不変平面で、それらの辺をクリフォード平行中心平面の類似の辺に向けます。等傾斜回転^[n]は二重回転 (2 つの完全に直交する不変中心平面で同時に) であるため、頂点から隣接する頂点への増分回転ステップごとに、頂点は中心平面間を通常の大円ではなく螺旋状の大円等傾斜上で移動します^[m] 。この特定の回転では、等傾斜弦は 44.5° の弧長の #4 弦です。^[ar]

[pentadecagram_isoclines-40] 120セルの特性等傾斜^[m]は、15本の #4 弦からなる斜めの 15 角形です。各 15 角形の連続する #4 弦は、互いに 12° で等傾斜している異なる △ 中心平面にあります。これは、大円の 1/30 に相当します (ただし、120 セルのエッジの円弧である #1 弦ではありません)。^[s]これは、2 つの平面が 2 つの等しい 12° の角度で分離されていることを意味します。^{[o]これらは、対応する頂点が斜めの #4 弦で結合された、隣接する}クリフォード平行大多角形 (不規則な大六角形)で占められています。各 15 角形の連続する頂点は、完全に互いに素な 5 セルの頂点です。各五芒星は、3 つの異なる 5 セルに属する 15 の頂点を訪れる#4 弦パス^{[r]です。{30/8}=2{15/4} 投影}^[ac]に示される 2 つの五芒星は、{30/12}=6{5/2} 投影で 6 つの互いに分離した五芒星として表示される 6 つの 5 セルを訪れます。^[d]

[120-cell_characteristic_rotation-41] 
三角形 {30/8}=2{15/4}には、
2 つの互いに交わらない120角形の等傾斜線が見えます。1 つは黒、もう 1 つは白の等傾斜線 (ここではオレンジと淡い黄色で表示) で、120 セルの特徴的な等傾斜回転です。 ^[z] 120 角形の辺は #4 弦^[aa]で、この投影の 30 頂点の円周 (ジグザグペトリー多角形) 上で 8 頂点ずつ離れた頂点を結合しています。^[ab]
120 セルの特徴的な等傾斜回転^{[t]は、その 1200 辺}^[r]と、その内接する正 5 セルの反対側の 1200 辺の不変平面で発生します。^[p] 4 つの異なる特徴的な右 (および左) 等傾斜回転があり、各左右のペアは個別のホップファイブレーションに対応します。^[13]各回転では、600 頂点すべてが 15 頂点の螺旋状等傾斜上を循環し、15 本の #4 弦で {15/4} 五十四芒星を形成する測地円^[m]に従います。^[ab]

[120-cell_Petrie_{30}-gon-42] ABCDE
120 セルのペトリー多角形は、歪んだ正三十角形{30} です。^[ah] 30 個の #1 弦の辺はすべて同じ {30} 大円多角形上にあるわけではありませんが、5 つのクリフォード平行 {12} 大円多角形に 6 個ずつ (円周上に等間隔で) 配置されています。^[q]
120 セルには、1200 辺からなる 80 個の異なる30 角形ペトリー多角形が含まれ、20 個の互いに素な 30 角形ペトリー多角形に分割できます。^[ai]ペトリー 30 角形は、1 周の間に 0 角形大円軸の周りを 9 回ねじれ、ペトリー多角形上で 9 頂点離れた頂点のペアを結ぶ 600 セル辺 (#3 弦) の複合三角錐 {30/9}=3{10/3}として考えることができます。 ^[v] {30/9} グラム (#3 弦辺を持つ) は、ペトリー 30 角形 (#1 弦辺を持つ) と同じ 30 頂点の交互シーケンスです。

[spanned_by_8_or_9_edges-43] 各√2.5弦はペトリー30角形の8つのジグザグ辺で張られており、^[ad]そのどれもが不規則な大六角形の大円内にはありません。あるいは、√2.5弦は9つのジグザグ辺で張られており、そのうちの1つ（その中点の上）は同じ大円内にあります。^[p]

[perpendicular_and_parallel-44] 完全に直交する大多角形は、垂直で連結されている（張られた鎖の隣接する連結部のように）ものの、平行でもあり、4 次元多面体内で互いに正反対に位置し、連結された 2 つの円の共通の中心である 1 点を除いて交差しない平面上にあります。

[Clifford_polygon-47] 等傾斜線 ^[m]の弦経路は、4 次元多面体の頂点がその特徴的なクリフォード変位で横断する回転円の歪んだ多角形の形状であるため、4 次元多面体のクリフォード多角形と呼ばれることがあります。^[o]

[15_distinct_chord_lengths-48] 120セルの30辺の円周は、大円多角形ではなく、歪んだペトリー多角形に従います。任意の4次元多面体のペトリー多角形は、4次元多面体の表面の湾曲した3次元空間を通るジグザグの螺旋です。^[aj] 120セルの15の番号付き弦は、その30頂点の螺旋リングの2つの頂点間の距離として発生します。^[ak] 4次元空間を通る15の異なるピタゴラス距離は、リング内の任意の2つの最も近い頂点を結ぶ120セルの辺の長さ（#1弦）から、リング内の任意の2つの反対側（最も遠い）頂点を結ぶ120セルの軸の長さ（直径）（#15弦）までの範囲です。

[Petrie_polygons_of_the_120-cell-49] 正三角形の30 角形は600 セルのペトリー多角形であり、その双対は 120 セルです。120 セルのペトリー多角形は、30 セルのBoerdijk–Coxeter らせんリング(600 セルのペトリー多角形) の双対として 600 セルに存在します。^[am] 30 個の四面体セルの中心を接続すると、双対の 120 セルのペトリー多角形が生成されます。これは Rolfdieter Frank (2001 年頃) によって指摘されました。これにより、彼は 120 セルの頂点セットが 20 個の交差しないペトリー多角形に分割されることを発見しました。この20個の互いに素なクリフォード平行斜め多角形の集合は、120セルの離散ホップファイバ化である（20個の30セルの二重リングが 600セルの離散ファイバ化であるのと同じように）。^[v]

[50] 三角形の面を持つ 3 次元多面体 (多面体) (たとえば、二十面体) のペトリー多角形は、リング状に曲げられた辺結合面の線状ストリップとして見ることができます。辺結合三角形 (二十面体の場合は 10) の円形ストリップ内では、ペトリー多角形は、多面体の表面の 2 次元空間をジグザグに (円ではなく) 進む斜めの辺の多角形として取り出すことができます。つまり、左右に交互に曲がり、三角形を通過するがどの頂点とも交差しない大円軸の周りをスラロームします。四面体セル (たとえば、600 セル) を持つ 4 次元多面体 (多角体) のペトリー多角形は、リング状に曲げられた面結合セルの線状らせん、つまりBoerdijk–Coxeter らせんリングとして見ることができます。面結合した四面体の円形らせん (600 セルの場合は 30) 内では、斜めペトリー多角形は、ポリクロロンの表面の 3 次元空間をジグザグに (円を描いているのではなく) 進むエッジのらせんとして選択できます。つまり、交互に左と右に曲がり、四面体を通過するがどの頂点とも交差しない大円軸の周りをらせん状に進み、そのエッジが円を描いているのです。

[additional_120-cell_chords-51] 120 セル自体には、#1 - #15 の番号が付けられた 15 のコードより多くのコードが含まれますが、追加のコードは 120 セルの内部にのみ存在し、6 つの通常の凸 4 次元多面体またはその特徴的な大円リングのいずれかのエッジとしては存在しません。15 の主要なコードにこのように番号が付けられているのは、# nコードがペトリ多角形でn辺の長さだけ離れた 2 つの頂点を接続するためです。120 セルの頂点間には 30 の異なる 4 空間コード距離 (180° 補数の 15 組) があり、その中には 180° 直径の #15 (およびその補数が 0° コード) が含まれます。この記事では、番号が付けられていない 15 個のマイナーコードを、その弧の角度で命名します。たとえば、長さ√ 0.5で#3 コードと #4 コードの間にある 41.4° などです。

[Coxeter_on_orthogonal_dual_pairs-54] 「接触点において、[正多面体の要素と、何らかの方法でそれが内接するその双対の要素]は、[相互の]球面に対する接超平面の完全に直交する部分空間に存在するため、それらの唯一の共通点は接触点自体です...。実際、[さまざまな]半径_0𝑹、_1𝑹、_{2𝑹 、...は、頂点が元の多面体の要素}_𝐈𝐈0、𝐈𝐈1 _、 𝐈𝐈2 _、 ...の中心である多面体を決定します。」^[16]

[{30/11}-gram-56] ABCD
600 セルの内接するペトリー多角形は、この投影図で見ることができます。この投影図では、30 グラムの #11 弦である三角錐 {30/11} が描かれています。600 セルのペトリーは、自身の軸の周りを 11 回巻き付く螺旋状のリングです。リングシリンダーの軸に沿ったこの投影図では、シリンダーの円形断面の周りに 12° 間隔で 30 の頂点が示され、#11 弦が円周上の 11 番目の頂点ごとに接続されています。ペトリー多角形のエッジである 600 セルのエッジ (#3 弦) はこの図には示されていませんが、円周に沿って 3 番目の頂点ごとに接続して描くことができます。
600セルのペトリー多角形は、0角形大円軸の周りを1周する間に11回ねじれる螺旋状のリングです。0角形平面に完全に直交する平面に投影すると、600セルのペトリー多角形は、投影の円周上で11頂点ずつ離れた頂点のペアを結ぶ30本の#11弦の三等辺三角形{30/11}であることがわかります。 ^[17] {30/11}グラム（#11弦の辺を持つ）は、ペトリー30角形（#3弦の辺を持つ）と同じ30頂点の交互のシーケンスです。

[plane_movement_in_rotations-57] 等傾斜回転では、各不変平面は移動先の平面とクリフォード平行であり、いかなる時点でも交差しません (中心点を除く)。単純回転では、不変平面は移動先の平面と一直線に交差し、その線の周りを回転して移動します。

[58] 不変平面全体が回転する（横に傾く）平面は、完全に直交する不変平面の両方に（不完全）直交し、また両方にクリフォード平行でもある。^[af]

[exchange_of_completely_orthogonal_planes-60] 2つの完全に直交する平面を90度等傾斜回転すると、平面は互いに接近します。このような4次元剛体多面体の回転では、6つの直交平面すべてが90度^{回転し、完全に直交する（クリフォード平行）平面に対して横に90度傾きます。 [18]} 2つの完全に直交する大多角形の対応する頂点は√4（180°）離れています。大多角形（クリフォード平行多面体）は√4（ 180°）離れています。しかし、2つの完全に直交する平面は、それらを隔てる2つの直交角で90°離れています。^[o]等傾斜回転をさらに 90° 続けると、各頂点は 360° 回転し、各大多角形は元の平面に戻りますが、方向が異なります(軸が入れ替わります)。つまり、4 次元多面体の表面で「上下逆さま」になります (つまり、「裏返し」になります)。2 回目の 360° 等傾斜回転 (90° x 90° の等傾斜ステップを 4 回、720° 回転) を続けると、すべてが元の位置と方向に戻ります。

[rotating_with_the_completely_orthogonal_rotation_plane-61] ^これを 間違って視覚化するのは最も簡単です。なぜなら、完全に直交する大円はクリフォード平行であり、交差しないからです (中心点を除く)。不変平面とそれが移動する平面も同様です。不変平面は、その完全に直交する平面ではなく、それとクリフォード平行である直交中心平面内で横に傾きます。不変平面は、その完全に直交する平面とともに回転しますが、その平面内で回転することはありません。不変平面は、その完全に直交する平面および移動先の平面に対してクリフォード平行であり、これらと交差しません。不変平面が回転する平面は、これらすべての平面と直交し、これらすべてと交差します。^[ao] 120 セルの特性回転では、^[ac]各不変回転平面は、その完全に直交する平面に対してクリフォード平行ですが、隣接していません。まず、他の (最も近い) 平行平面に到達します。しかし、連続するクリフォード平行面を通る等傾斜回転を 90° 継続すると、頂点は 180° 移動し、傾斜回転面は (元の) 完全に直交する面に到達します。^[ap]

[120-cell_rotation_angle-62] 120セルの特性回転の等傾斜弦^[ac]は、44.5° の弧角 (不規則な大十二角形の大きい方の辺) の #4 弦です。これは、2 つの等しい 12° 回転角^[s]による等傾斜回転では、各頂点がペトリ多角形上で 4 辺の長さ離れた別の頂点に移動し、回転する円形の測地線パス (等傾斜) ^{[m] が}近い頂点と交差しないためです。

[fractional_square_roots-63] 分数平方根弦の長さは小数で表され、
𝚽 ≈ 0.618 は逆黄金比です⁠1/φ⁠
𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽² = ⁠1/φ2⁠ ≈ 0.382
𝜀 = 𝚫² /2 = ⁠1/2φ4⁠ ≈ 0.073 で
あり、120セルの辺の長さは:
𝛇 = √ 𝜀 = ⁠1/√2φ2⁠ ≈ 0.270
例:
𝛇 = √ 0.𝜀 = √ 0.073~ ≈ 0.270

[dodecahedral_cell_metrics-64] 単位半径120セルの12面体セルでは、辺の長さ（120セルの#1弦）は⁠1/φ ²√ 2⁠ ≈ 0.270。8つのオレンジ色の頂点は、セルの中心にある原点を基準とした直交座標（±φ ³√ 8、±φ ³√ 8、±φ ³√ 8 ）にあります。これらは、辺の長さが ⁠の立方体（破線）を形成します。1/φ√2⁠ ≈ 0.437 (五角形の対角線と120セルの#2弦)。辺の長さが⁠の立方体の面の対角線 (図示せず)1/φ⁠ ≈ 0.618 は、立方体に内接する四面体セルの辺（600 セルの辺と120 セルの#3 弦）です。十二面体の直径は⁠√3/φ√2⁠ ≈ 0.757 (立方体の対角線と、120 セルの#4 弦)。

[face_pentagon_chord-65] 面五角形の対角線（#2弦）は、面五角形の辺（120セルの辺、#1弦）に対して黄金比φ ≈ 1.618 である。 ^[at]

[#2_chord-66] #2 弦は、2 辺の長さだけ離れた頂点を結びます。120 セルの四面体頂点図形の頂点、つまり 1 ₀で示される頂点から始まる 120 セルの 2 番目のセクションです。#2 弦はこの四面体の辺であり、#1 弦はその長半径です。#2 弦は、120 セルの五角形面の対角弦でもあります。^[au]

[same_200_planes-67] 120 セルには 10 個の 600 セルが含まれており、これらは 2 つの異なる方法で 5 つの完全に互いに分離した 600 セルに分割できます。^[h] 10 個の 600 セルはすべて、200 個の不規則な大十二角形中心平面の同じセットを占めます。^[q] 120 セルにはちょうど 400 個の正六角形があり (各十二角形中心平面に 2 つずつ)、10 個の 600 セルのそれぞれに、それらの 200 個のサブセット (各十二角形中心平面から 1 つずつ) が含まれます。各 600 セルには、任意の十二角形中心平面に内接する 2 つの正六角形のうちの 1 つだけが含まれます。これは、任意の十二面体セルに内接する 2 つの正四面体のうちの 1 つだけが含まれるのと同じです。各 600 セルは、他の 4 つの 600 セルとは互いに分離しており、他の 5 つの 600 セルと六角形を共有しています。^[bo] 600 セルの互いに隣接しない各ペアは、すべての 12 角形の中心平面にある互いに隣接しない大六角形の反対側のペアを占めます。600 セルの互いに隣接しない各ペアは、24 セルを構成する 16 の六角形で交差します。120 セルには、互いに隣接しない 24 セル (25) の 9 倍の異なる 24 セル (225) が含まれます。^[j]各 24 セルは 9 つの 600 セルに存在し、1 つの 600 セルには存在せず、2 つの 600 セルで共有されます。

[great_hexagon-68] ABCD
三十角形 {30/5}=5{6}、120 セルの斜めペトリー 30 角形は、5 つの大きな六角形の組み合わせです。
各大六角形の辺は、5 つの 120 セル辺のジグザグの軸です。120 セルのペトリー多角形は、どの頂点とも交差しない0 角形の大円軸の周りを螺旋状に回る、30 の 120 セル辺の螺旋状のジグザグです。 ^[v]各ペトリー多角形には、5 つの異なる中心平面に 5 つの大六角形が内接しています。^[aw]

[orthogonal_Petrie_polygons-69] 5セルのペトリー多角形は五芒星{5/2}です。120セルのペトリー多角形は三十角形{30}で、その平面への多くの投影の1つは三十角形{30/12}=6{5/2}です。^[ad]各120セルペトリー6{5/2}グラムは、120セルに内接する120個の互いに交わらない正5セルのうち6個に属する6個の5セルペトリー{5/2}グラムと完全に直交しています。^[d]

[71] 単位半径の任意の正凸n多面体のすべての異なる弦の長さの二乗の合計は、頂点の数の二乗である。^[19]

[75] 十二面体は120セル内で目に見える特徴として現れますが、600セル内では内部多面体として現れます。^[22]

[root_5/root_4/root_2-76] -単体のファセットは-正複体のファセットよりも大きい。の場合、5 セルと 16 セルと 8 セルの辺の長さは、からまでとの比になります。 $n$ $n$ $n=4$ ${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {4}}$ ${\sqrt {2}}$

[4-simplex-orthoplex-cube_relation-77] 4-オルソプレックスの各 3 面、つまりを並べ替える四面体と、を並べ替えるその完全に直交する 3面は、4-オルソプレックスの 8 つの頂点すべてから構成されます。ユニークなことに、4-オルソプレックスは 4-半立方体、つまり 4-立方体の頂点の半分でもあります。4-単体、4-オルソプレックス、4-立方体の間のこの関係は、に特有のものです。4-オルソプレックスの完全に直交する 3-単体面は、同じ 4-立方体内の完全に直交する 3-立方体の交互の頂点を占める 3-半立方体のペアです。同じ 3-超平面に直交投影すると、2 つの 3 面は同じ 3-立方体に内接する 2 つの四面体になります。 (より一般的には、完全に直交する多面体は互いの鏡映しです。) $(0,0,0,1)$ $(0,0,0,-1)$ $n=4$

[78] 5-オルソプレックスの各 4 面、4 単体 (5 セル) の置換、およびその完全に直交する 4 面の置換は、5-オルソプレックスの 10 個の頂点すべてを構成する。 $(0,0,0,0,1)$ $(0,0,0,0,-1)$

[79] 120個の5セルの頂点ペア（5セルの大二角形の中心平面）は、675個の16セル（6つの直交中心平面の675個の直交基底セット）のいずれにも出現しない。^[j]

[80] 120 セルの表面の湾曲した 3 次元空間では、600 の頂点のそれぞれが 15 対の多面体セクションに囲まれており、各セクションは 30 の異なる弦の 1 つから放射状に離れています。頂点は実際には多面体の中心ではありません。これは、セクションの超平面から 4 次元目にずれているためです。そのため、頂点の頂点とそれを囲む基本多面体は多面体ピラミッドを形成します。特性弦は、ピラミッドの横方向のエッジと同様に、頂点の周囲に放射状に伸びています。

[#4_isocline_chord_bridge-82] 等傾斜回転は、コインが弾かれるように回転面が横に傾くため、クリフォード平行面を互いに向き合わせます。^[n] #4 弦^{[aa]ブリッジは、}正大六角形 ( 24 セルの特性回転)の等傾斜回転で重要です。この等傾斜回転では、不変回転面は、120 セルの特性回転 (不規則な大六角形) と同じ 200 個の十二角形中心面のサブセットです。^[ac] 120 セルの 24 セルの特性回転の各 12° 弧^{[ar]では、すべての}正大六角形の頂点が、#4 弦離れたクリフォード平行正大六角形の別の頂点に移動されます。隣接するクリフォード平行正大六角形には、#4 弦で接続された 6 組の対応する頂点があります。 6 本の #4 弦は、互いにクリフォード平行である 6 つの互いに交わらない 12 角形の中心平面にある 6 つの異なる大きな長方形の辺です。

[dodecagon_rotation-83] この図は、3 つの異なる △ 中央平面にある 3 つの関連する不規則大十二角形のうちの 1 つを示しています。そのうちの 2 つ (図示せず) は、クリフォード平行 (互いに交わらない) 十二角形平面にあり、頂点を共有していません。青い中央の四角形 (#4 と #11 の辺) は、3 番目の十二角形平面にあり、2 つの互いに交わらない十二角形平面のいずれにもクリフォード平行ではなく、両方と交差しています。この四角形は、それぞれの十二角形平面と 2 つの頂点 (四角形の√ 4^{軸) を共有しています。各十二角形平面には、交互の位置に 2 つの不規則大六角形が含まれています (図示せず)。 [q]}したがって、示されている四角形の各 #4 弦は、示されていない 2 つの十二角形平面にある 2 つのクリフォード平行不規則大六角形を橋渡ししています。^[bg]

[5-cell_rotation-84] 正5 セルには、2 つの頂点と交差する二角形の中心平面のみがあります。120 個の正 5 セルが内接する 120 セルには、これらの二角形が長い辺である大きな長方形が含まれます。この二角形は、長さ√ 2.5の内接 5 セルの辺です。3つの互いに交わらない長方形が 1 つの {12} 中心平面に存在し、6 つの #8 √ 2.5弦は 6 つの互いに交わらない 5 セルに属します。12 ₀セクションと 18 _{0セクションは、辺の長さ}√ 2.5の正四面体で、正 5 セルのセルです。正 5 セルの 10 個の三角形の面はこれらのセクションにあります。面の 3 つの√ 2.5辺はそれぞれ異なる {12} 中心平面にあります。

[two_600-cells_share_a_24-cell-88] 120セルでは、各24セルは2つの異なる600セルに属します。^[25] 120セルには225の異なる24セルが含まれており、25の互いに素な24セルに分割できるため、25の24セルの複合体の凸包になります。^[26]

[94] 各正十二面体内の 10 個の四面体は重なり合っていますが、各 600 セル内の 600 個の四面体は重なり合っていないため、10 個のそれぞれは異なる 600 セルに属している必要があります。

[truncated_apex-95] 120 セルの頂点図形はそれぞれ、実際には低四面体ピラミッドであり、正四面体の底面を持つ不規則な5 セルです。

[96] 600 セルの例で見たように、これらの 12 個の四面体は (ペアで) 20 個の四面体セルからなる 6 つの20 面体クラスターに属し、各クラスターは 5 個の四面体セルからなるクラスターを囲んでいます。

[disjoint_from_8_and_intersects_16-108] 24セルには16個の六角形が含まれます。600セルには25個の24セルがあり、各24セルは8個の24セルと分離しており、他の16個の24セルのそれぞれと6つの頂点で交差して六角形を形成します。^[42] 600セルには25・16/2 = 200個のこのような六角形が含まれます。

[hexagons_24-cells_and_600-cells-109] 各正六角形は、同じ 600 セル内の 2 つの 24 セルによって共有されます。 ^[bn]また、各 24 セルは 2 つの 600 セルによって共有されます。 ^[bj]各正六角形は 4 つの 600 セルによって共有されます。

[113] 600 ポイントの 120 セルから 600 セルの 1 つを削除して 480 ポイントの 4 次元多面体に縮小することは、120 ポイントの 600 セルから5 つの互いに交わらない内接 24 セルの 1 つを削除して 96 ポイントのスナブ 24 セルを作成することで縮小するのと類似しています。同様に、8 セルの 4 次元多面体は、16 ポイントの縮小 24 セルから 8 ポイントの 16 セルを 1 つ削除したものと見ることができます。

[1] NW ジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章：有限対称群、11.5球面コクセター群、p.249

[2] マティラ・ギカ『芸術と人生の幾何学』（1977年）、68ページ

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"120-cell"-3] Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii);「120セル」。

[FOOTNOTEDechant202118''Remark_5.7''-9] Dechant 2021、p. 18、注釈5.7で、その理由が説明されている。^[e]

[FOOTNOTEDechant2021Abstract-10] Dechant 2021, Abstract; "[E]very 3D root system allows the construction of a corresponding 4D root system via an ‘induction theorem’. In this paper, we look at the icosahedral case of H3 → H4 in detail and perform the calculations explicitly. Clifford algebra is used to perform group theoretic calculations based on the versor theorem and the Cartan-Dieudonné theorem ... shed[ding] light on geometric aspects of the H4 root system (the 600-cell) as well as other related polytopes and their symmetries ... including the construction of the Coxeter plane, which is used for visualising the complementary pairs of invariant polytopes.... This approach therefore constitutes a more systematic and general way of performing calculations concerning groups, in particular reflection groups and root systems, in a Clifford algebraic framework."

[11] Mathematics and Its History, John Stillwell, 1989, 3rd edition 2010, ISBN 0-387-95336-1

[FOOTNOTEStillwell2001-12] Stillwell 2001.

[FOOTNOTECoxeter1973156–157§8.7_Cartesian_coordinates-13] Coxeter 1973, pp. 156–157, §8.7 Cartesian coordinates.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101442Table_3-15] Mamone, Pileio & Levitt 2010, p. 1442, Table 3.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101433§4.1-16] Mamone, Pileio & Levitt 2010, p. 1433, §4.1; A Cartesian 4-coordinate point (w,x,y,z) is a vector in 4D space from (0,0,0,0). Four-dimensional real space is a vector space: any two vectors can be added or multiplied by a scalar to give another vector. Quaternions extend the vectorial structure of 4D real space by allowing the multiplication of two 4D vectors $\left(w,x,y,z\right)_{1}$ and $\left(w,x,y,z\right)_{2}$ according to
${\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}$

[FOOTNOTEKimRote20167§6_Angles_between_two_Planes_in_4-Space-22] Kim & Rote 2016, p. 7, §6 Angles between two Planes in 4-Space; "In four (and higher) dimensions, we need two angles to fix the relative position between two planes. (More generally, k angles are defined between k-dimensional subspaces.)".

[FOOTNOTECoxeter1973304Table_VI_(iv):_𝐈𝐈_=_{5,3,3}-36] Coxeter 1973, p. 304, Table VI (iv): 𝐈𝐈 = {5,3,3}.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes,_Table_2,_Symmetry_operations-45] Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes, Table 2, Symmetry operations; in symmetry group 𝛢₄ the operation [15]𝑹_q3,q3 is the 15 distinct rotational displacements which comprise the class of pentagram isoclinic rotations of an individual 5-cell; in symmetry group 𝛨₄ the operation [1200]𝑹_q3,q13 is the 1200 distinct rotational displacements which comprise the class of pentadecagram isoclinic rotations of the 120-cell, the 120-cell's characteristic rotation.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes,_Table_2,_Symmetry_group_𝛨<sub>4</sub>-46] Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes, Table 2, Symmetry group 𝛨₄; the 120-cell has 7200 distinct rotational displacements (and 7200 reflections), which can be grouped as 25 distinct isoclinic rotations.

[FOOTNOTECoxeter1973300–301Table_V:(v)_Simplified_sections_of_{5,3,3}_(edge_2φ<sup>−2</sup>√2_[radius_4])_beginning_with_a_vertex-52] Coxeter 1973, pp. 300–301, Table V:(v) Simplified sections of {5,3,3} (edge 2φ⁻²√2 [radius 4]) beginning with a vertex; Coxeter's table lists 16 non-point sections labelled 1₀ − 16₀, polyhedra whose successively increasing "radii" on the 3-sphere (in column 2la) are the following chords in our notation:^[ak] #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56.0~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, ..., #15. The remaining distinct chords occur as the longer "radii" of the second set of 16 opposing polyhedral sections (in column a for (30−i)₀) which lists #15, #14, #13, #12, 138.6~°, #11, 130.1~°, 124~°, #10, 113.9~°, 110.2~°, #9, #8, 98.9~°, 95.5~°, #7, 84.5~°, ..., or at least they occur among the 180° complements of all those Coxeter-listed chords. The complete ordered set of 30 distinct chords is 0°, #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, #8, #9, 110.2°, 113.9°, #10, 124°, 130.1°, #11, 138.6°, #12, #13, #14, #15. The chords also occur among the edge-lengths of the polyhedral sections (in column 2lb, which lists only: #2, .., #3, .., 69.8~°, .., .., #3, .., .., #5, #8, .., .., .., #7, ... because the multiple edge-lengths of irregular polyhedral sections are not given).

[FOOTNOTECoxeter1973147§8.1_The_simple_truncations_of_the_general_regular_polytope-53] Coxeter 1973, p. 147, §8.1 The simple truncations of the general regular polytope.

[FOOTNOTESadoc2001577–578§2.5_The_30/11_symmetry:_an_example_of_other_kind_of_symmetries-55] Sadoc 2001, pp. 577–578, §2.5 The 30/11 symmetry: an example of other kind of symmetries.

[FOOTNOTEKimRote20168–10Relations_to_Clifford_Parallelism-59] Kim & Rote 2016, pp. 8–10, Relations to Clifford Parallelism.

[FOOTNOTECopher20196§3.2_Theorem_3.4-70] Copher 2019, p. 6, §3.2 Theorem 3.4.

[FOOTNOTECoxeter1973269Compounds-72] Coxeter 1973, p. 269, Compounds; "It is remarkable that the vertices of {5, 3, 3} include the vertices of all the other fifteen regular polytopes in four dimensions."

[FOOTNOTESchleimerSegerman2013-73] Schleimer & Segerman 2013.

[FOOTNOTECoxeter1973298Table_V:_(iii)_Sections_of_{3,3,5}_beginning_with_a_vertex-74] Coxeter 1973, p. 298, Table V: (iii) Sections of {3,3,5} beginning with a vertex.

[FOOTNOTECoxeter1973300–301Table_V:(v)_Simplified_sections_of_{5,3,3}_(edge_2φ<sup>−2</sup>√2_[radius_4])_beginning_with_a_vertex;_Coxeter's_table_lists_16_non-point_sections_labelled_1<sub>0</sub>_−_16<sub>0</sub>-81] Coxeter 1973, pp. 300–301, Table V:(v) Simplified sections of {5,3,3} (edge 2φ⁻²√2 [radius 4]) beginning with a vertex; Coxeter's table lists 16 non-point sections labelled 1₀ − 16₀, but 14₀ and 16₀ are congruent opposing sections and 15₀ opposes itself; there are 29 non-point sections, denoted 1₀ − 29₀, in 15 opposing pairs.

[85] Carlo H. Séquin (July 2005). Symmetrical Hamiltonian manifolds on regular 3D and 4D polytopes. Mathartfun.com. pp. 463–472. ISBN 9780966520163. Retrieved March 13, 2023.

[FOOTNOTEvan_Ittersum2020435§4.3.5_The_two_600-cells_circumscribing_a_24-cell-86] van Ittersum 2020, p. 435, §4.3.5 The two 600-cells circumscribing a 24-cell.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson20205§2_The_Labeling_of_H4-87] Denney et al. 2020, p. 5, §2 The Labeling of H4.

[FOOTNOTECoxeter1973305Table_VII:_Regular_Compounds_in_Four_Dimensions-89] Coxeter 1973, p. 305, Table VII: Regular Compounds in Four Dimensions.

[FOOTNOTEWaegellAravind20143–4§2_Geometry_of_the_120-cell:_rays_and_bases-90] Waegell & Aravind 2014, pp. 3–4, §2 Geometry of the 120-cell: rays and bases.

[FOOTNOTESullivan19914–5The_Dodecahedron-91] Sullivan 1991, pp. 4–5, The Dodecahedron.

[FOOTNOTECoxeterdu_ValFlatherPetrie19384-92] Coxeter et al. 1938, p. 4; "Just as a tetrahedron can be inscribed in a cube, so a cube can be inscribed in a dodecahedron. By reciprocation, this leads to an octahedron circumscribed about an icosahedron. In fact, each of the twelve vertices of the icosahedron divides an edge of the octahedron according to the "golden section". Given the icosahedron, the circumscribed octahedron can be chosen in five ways, giving a compound of five octahedra, which comes under our definition of stellated icosahedron. (The reciprocal compound, of five cubes whose vertices belong to a dodecahedron, is a stellated triacontahedron.) Another stellated icosahedron can at once be deduced, by stellating each octahedron into a stella octangula, thus forming a compound of ten tetrahedra. Further, we can choose one tetrahedron from each stella octangula, so as to derive a compound of five tetrahedra, which still has all the rotation symmetry of the icosahedron (i.e. the icosahedral group), although it has lost the reflections. By reflecting this figure in any plane of symmetry of the icosahedron, we obtain the complementary set of five tetrahedra. These two sets of five tetrahedra are enantiomorphous, i.e. not directly congruent, but related like a pair of shoes. [Such] a figure which possesses no plane of symmetry (so that it is enantiomorphous to its mirror-image) is said to be chiral."

[FOOTNOTEWaegellAravind20145–6-93] Waegell & Aravind 2014, pp. 5–6.

[FOOTNOTEKocaAl-AjmiOzdes_Koca2011986–9886._Dual_of_the_snub_24-cell-97] Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, pp. 986–988, 6. Dual of the snub 24-cell.

[FOOTNOTECoxeter1973§1.8_Configurations-98] Coxeter 1973, §1.8 Configurations.

[FOOTNOTECoxeter1991117-99] Coxeter 1991, p. 117.

[FOOTNOTESullivan199115Other_Properties_of_the_120-cell-100] Sullivan 1991, p. 15, Other Properties of the 120-cell.

[FOOTNOTESchleimerSegerman201316§6.1._Layers_of_dodecahedra-101] Schleimer & Segerman 2013, p. 16, §6.1. Layers of dodecahedra.

[FOOTNOTECoxeter197019–23§9._The_120-cell_and_the_600-cell-102] Coxeter 1970, pp. 19–23, §9. The 120-cell and the 600-cell.

[FOOTNOTESchleimerSegerman201316–18§6.2._Rings_of_dodecahedra-103] Schleimer & Segerman 2013, pp. 16–18, §6.2. Rings of dodecahedra.

[FOOTNOTEBanchoff2013-104] Banchoff 2013.

[FOOTNOTEZamboj20216–12§2_Mathematical_background-105] Zamboj 2021, pp. 6–12, §2 Mathematical background.

[FOOTNOTEZamboj202123–29§5_Hopf_tori_corresponding_to_circles_on_B<sup>2</sup>-106] Zamboj 2021, pp. 23–29, §5 Hopf tori corresponding to circles on B².

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020438-107] Denney et al. 2020, p. 438.

[FOOTNOTEChilton1964-110] Chilton 1964.

[FOOTNOTEDechant202118–206._The_Coxeter_Plane-111] Dechant 2021, pp. 18–20, 6. The Coxeter Plane.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020-112] Denney et al. 2020.

120セル

幾何学

デカルト座標

√8半径座標

単位半径座標

コード

内部多面体間の関係

測地長方形

同心円状の船体

多面体グラフ

建設

デュアル600セル

内接双対のセル回転

増強

ワイル軌道

構成として

視覚化

階層型立体投影

絡み合う輪

その他の大圏構造

透視投影

直交投影

関連する多面体とハニカム

H₄多面体

{p,3,3} 多面体

{5,3,p} 多面体

四面体縮小120セル

デイビス 120セル

参照

注記

引用

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建設

デュアル600セル

内接双対のセル回転

増強

ワイル軌道

構成として

視覚化

階層型立体投影

絡み合う輪

その他の大圏構造

透視投影

直交投影

関連する多面体とハニカム

H4多面体

{p,3,3} 多面体

{5,3,p} 多面体

四面体縮小120セル

デイビス 120セル

参照

注記

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