クリフォードパラレル

楕円幾何学では、2 本の直線の間の垂直距離が点から点まで一定である場合、その直線はクリフォード平行線または平行直線と呼ばれます。この概念は、ウィリアム キングドン クリフォードによって楕円空間で初めて研究され、少なくとも 3 次元の空間でのみ出現します。平行線は等距離の性質を持つため、「平行」という用語はユークリッド幾何学から借用されましたが、楕円幾何学の「直線」は測地線であり、ユークリッド幾何学の直線とは異なり、長さが有限です。

四元数の代数は、クリフォード平行性が明示的に表される楕円空間の記述幾何学を提供します。

楕円空間の1上の直線は、固定軸rを持つベルソルによって記述される。^[1]

${\displaystyle \lbrace e^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace }$

楕円空間の任意の点uに対して、この直線に対する2本のクリフォード平行線はuを通る。右クリフォード平行線は

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace ,}$

左クリフォード平行線は

${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .}$

クリフォードの元々の定義は曲がった平行線に関するものであったが、その概念は1次元以上のクリフォード平行物体に一般化されている。^[2] 4次元ユークリッド空間では、1、2、3、または4次元のクリフォード平行物体は等傾斜回転によって関連している。クリフォード平行性と等傾斜回転は、正則4次元多面体を特徴付けるSO(4) 対称性と密接に関連した側面である。

クリフォード平行な線を別の線を中心に回転すると、クリフォード面が作成されます。

クリフォード平行線は、面上のすべての点が面内にあることを通ります。クリフォード面は、すべての点が 2 本の線上にあり、それぞれが面内にあるため、 線織面です。

四元数におけるマイナス1の平方根2つrとsを考えると、それらを通るクリフォード面は^{[1] [3]で与えられる。}

${\displaystyle \lbrace e^{ar}e^{bs}:\ 0\leq a,b<\pi \rbrace .}$

クリフォード平行線は1873年にイギ​​リスの数学者ウィリアム・キングドン・クリフォードによって初めて記述された。^[4]

1900年にグイド・フビニは楕円空間におけるクリフォードの平行性に関する博士論文を執筆した。^[5]

1931年にハインツ・ホップはクリフォード緯線を使ってホップ地図を作成した。^[6]

2016年にハンス・ハブリチェックはクリフォード平行線とクラインの二次曲面の外部平面の間に一対一の対応があることを示した。^[7]

• クリフォードトーラス
• 24セル § クリフォード平行多面体
• 正4次元多面体