五角形

正五角形
正五角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	15
シュレーフリ記号	{15}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 15）、次数 2×15
内角（度）	156°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、五角形（ペンタデカゴン、ペンタデカゴン、15ゴン）は、15辺を持つ多角形です。

正五角形はシュレーフリ記号{15}で表される。

正五角形の内角は156 °で、辺の長さはaで、面積は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{15}}&={\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\\&\simeq 17.6424\,a^{2}.\end{aligned}}}$

15 = 3 × 5は異なるフェルマー素数の積なので、コンパスと定規を使って正五角形を作図できます。与えられた外接円を持つ次の正五角形の構築は、ユークリッドの『原論』第4巻の命題XVIの図解に似ています。^[1]

この図のユークリッドの構造と比較してください：15角形

与えられた外接円の構成において、 は正三角形の辺であり、は正五角形の辺です。^[2] この点が半径を黄金比で分割します。${\displaystyle {\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\;|E_{1}E_{6}|}$${\displaystyle |E_{2}E_{5}|}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\overline {AM}}}$${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

最初のアニメーション (緑の線) と比較すると、次の 2 つの画像では、2 つの円弧 (角度 36° と 24°) が反時計回りに 90° 回転して表示されています。線分は使用されず、代わりに2 番目の円弧 (角度 36°) の 半径として線分が使用されます。${\displaystyle {\overline {CG}}}$${\displaystyle {\overline {MG}}}$${\displaystyle {\overline {AH}}}$

与えられた辺の長さに対するコンパスと定規による作図。作図は与えられた辺における五角形の作図とほぼ等しく、また、プレゼンテーションは 1 辺の延長によって成功し、黄金比に従って分割される線分を生成します。 ${\displaystyle {\overline {FE_{2}}}{\text{,}}}$

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

円周半径 辺の長さ角度${\displaystyle {\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;}$${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}=a\;;\;\;}$${\displaystyle DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\sqrt {5}}}}}}\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2.40486\cdot a\end{aligned}}}$

正五角形には、15 本の反射線で表される 30 次数のDih ₁₅ 二面体対称性があります。Dih _{15には、 Dih 5}、 Dih ₃、 Dih ₁の 3 つの二面体サブグループがあります。さらに 4 つの周期対称性があります。Z ₁₅、 Z ₅、 Z ₃、 Z ₁で、 Z _{n は}π/ nラジアン回転対称性を表します。

15角形には、8つの異なる対称性があります。ジョン・コンウェイはこれらの対称性をアルファベットでラベル付けし、対称性の順序はアルファベットに従います。^[3]彼は完全な鏡映対称性をr30 、Dih ₁₅としています。彼は頂点を通る鏡映線をd（対角線）、辺を通る鏡映線をp（垂直）、奇数辺の15角形を頂点と辺の両方を通る鏡映線をi、周期対称性をgとしています。a1は対称性がないことを示しています。

これらの低い対称性により、不規則な 15 角形を定義する際に自由度が与えられます。g15サブグループのみ自由度はありませんが、有向辺として見ることができます。

正五角形の同じ 15 個の頂点から構成され、それぞれ 2 番目、4 番目、または 7 番目の頂点をスキップして接続された3 つの正星型多角形{15/2}、{15/4}、{15/7} があります。

また、{15/3}、{15/5}、{15/6}という3つの規則的な星型図形もあります。最初の図形は3つの五角形の組み合わせ、2番目は5つの正三角形の組み合わせ、3番目は3つの五芒星の組み合わせです。

複合図形{15/3}は、大まかに言えば、 5つの四面体からなる3次元の複合体の2次元版と見ることができます。

正五角形と正五芒星をさらに深く切断すると、等間隔の頂点と2辺の長さを持つ等角形（頂点推移的）の中間星型多角形が形成される。 ^[4]

正五角形は、いくつかの高次元多面体のペトリー多角形であり、斜め直交投影で投影されます。

正三角形、十角形、および十五角形は、平面の頂点を完全に埋めることができます。ただし、三角形の辺の数が奇数であるため、図形を三角形の周囲に交互に配置することはできず、頂点は半正則なタイリングを生成することはできません。

• 与えられた辺の長さでの15角形の作成、円周半径 R {\displaystyle R} の計算（ドイツ語）
• 与えられた辺の長さでの15角形の作成、例: 円周半径 C G ¯ = R {\displaystyle {\overline {CG}}=R}

• Weisstein、Eric W.「Pentadecagon」。MathWorld。