トリアコンタゴン

正三角形
正三角錐
タイプ	正多角形
エッジと頂点	30
シュレーフリ記号	{30}、t{15}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 30）、次数 2×30
内角（度）	168°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、三十角形または 30 角形は 30 辺の多角形です。任意の三十角形の内角の合計は5040度です。

正三十角形は、正五十角形の辺二等分によって作図可能な多角形であり、切頂五十角形t{15}として作図することもできます。切頂三十角形t{30}は六十角形{60}です。

正三十角形の 1 つの内角は168 度です。つまり、1 つの外角は 12 度になります。三十角形は、内角が小さい多角形の内角の合計である最大の正多角形です。168 度は、正三角形(60 度) と正五角形(108 度)の内角の合計です。

正三角形の面積は（t =辺の長さ）^[1]

${\displaystyle A={\frac {15}{2}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {15}{4}}t^{2}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

正三十角形の内接円の 半径は

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{4}}t\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

正三角錐の 外接半径は

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{2}}t\left(2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\right)}$

30 = 2 × 3 × 5なので、コンパスと定規を使って正三角錐を作図することができます。^[2]

正三十角形は、30 本の反射線で表される、60 次数のDih ₃₀ 二面体対称性を持ちます。Dih _{30には、7 つの二}面体サブグループがあります: Dih ₁₅、(Dih ₁₀、Dih ₅ )、(Dih ₆、Dih ₃ )、および (Dih ₂、Dih ₁ )。また、サブグループとして、(Z ₃₀、Z ₁₅ )、(Z ₁₀、Z ₅ )、(Z ₆、Z ₃ )、および (Z ₂、Z ₁ ) の8 つ以上の周期対称性を持ちます。Z _{nは π/} nラジアン回転対称性 を表します。

ジョン・コンウェイはこれらの低対称性を文字でラベル付けし、対称性の順序は文字に従います。^[3]彼は頂点を通る鏡像線でd （対角） 、辺を通る鏡像線でp （垂直）、頂点と辺の両方を通る鏡像線でi、回転対称性でgとしています。a1は対称性なしのラベルです。

これらの低い対称性により、不規則な三角錐を定義する際に自由度が与えられます。g30サブグループのみ自由度はありませんが、有向辺として見ることができます。

コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい2m角形）はm（m -1）/2個の平行四辺形に分割できると述べています。^[4] 特に、これは辺の数が同じ正多角形に当てはまり、その場合平行四辺形はすべて菱形になります。正三十角形（m =15）の場合は、105（15個の菱形が7セット）に分割できます。この分解は、 15角形（立方体）のペトリ多角形投影に基づいています。

三角錐は、30 辺の星型多角形です(ただし、この単語は非常にまれです)。シュレーフリ記号{30/7}、{30/11}、{30/13} で表される 3 つの正規形と、同じ頂点構成を持つ複合星型図形が 11 個あります。

また、正五角形{15} と五十四角形 {15/7}のより深い切断として構築された等角三角錐、および逆五十四角形 {15/11} と {15/13}もあります。その他の切断は二重被覆を形成します: t{15/14}={30/14}=2{15/7}、t{15/8}={30/8}=2{15/4}、t{15/4}={30/4}=2{15/4}、および t{15/2}={30/2}=2{15}。^[5]

正三角錐は、 E ₈コクセター平面への直交投影で示される、 E ₈対称性を持つ 3 つの 8 次元多面体のペトリー多角形です。また、H ₄コクセター平面に表示される 2 つの 4 次元多面体のペトリー多角形でもあります。

正三角錐{30/7}は、大星型120細胞および大星型600細胞のペトリー多角形でもあります。

• 多角形と多面体の命名
• 三角四角形