スナブ 24セル

幾何学において、スナブ24 セルまたはスナブ ディスイコシテトラコロンは、 120 個の正四面体セルと 24個の正二十面体セルで構成される凸均一4 次元多面体です。5 つの四面体と 3 つの二十面体が各頂点で接しています。合計で 480 個の三角形の面、432 個の辺、96 個の頂点があります。600 セルからこれを構築するには、二十面体ピラミッドの選択したサブセットを減らして二十面体ベースのみを残し、それによって 480 個の四面体を削除して 24 個の二十面体に置き換えます。

位相的には、最も高い対称性 [3 ^{+ ,4,3] のもとで、}切頂 24 セルの交代として、24 個のピリトヘドラ (T _h対称性を持つ 20 面体)、24 個の正四面体、および 96 個の三角錐が含まれます。

これは、プラトン立体である2つ以上のセルで構成される3つの半正4次元多面体のうちの1つであり、ソロルド・ゴセットが1900年の論文で発見しました。^{[2]彼は、これが}四面体と二十面体のセルで構成されているため、これをテトラコサヘドリックと呼びました。(他の2つは、修正された5セルと修正された600セルです。)

• スナブ イコシトラコロン
• スナブ・デミテッセラクト
• 半スナブ多八面体（ジョン・コンウェイ）^[3]
• サディ（ジョナサン・バウワーズ）はディスコシトラコロンを無視した
• テトラコサヘドリック（ソロルド・ゴセット）^[2]

4次元空間の原点を中心とし、長さ2の辺を持つ24セルの頂点は 、

(0, ±1, ±φ, ±φ ² )

ここでφ = ⁠1 + √5/2⁠ ≈ 1.618 は黄金比です。

スナブ24セルの単位半径座標は、辺の長さがφ −1 ≈ ^0.618で、

（± ⁠φ/2⁠、± ⁠1/2⁠、± ⁠φ ⁻¹/2⁠、0)

これらの 96 個の頂点は、24 セルの 96 辺をそれぞれ黄金比で一貫した方法で分割することで見つけることができます。これは、正二十面体または「スナブ八面体」の 12 頂点が、八面体の 12 辺を黄金比で分割することで生成されるのと次元的に類似しています。これは、まず 24 セルの辺に沿ってベクトルを配置し、各 2 次元面がサイクルで区切られるようにしてから、同様に各辺をそのベクトルの方向に沿って黄金比に分割することで実行できます。^[4]これは、以下で説明する 24 セルのスナブ トランケーション構成に相当します。

スナブ 24 セルの 96 頂点と、24 セルの 24 頂点を合わせて、600 セルの 120 頂点を形成します。

スナブ 24 セルは、特殊な形式の切り捨てによって 24 セルから派生したものです。

切り詰めは、頂点に接する辺を切断することによって頂点を削除します。切り詰めの形式は、辺のどこで切断が行われるかによって異なります。24 セルの一般的な切り詰めには、平行 24 セル(各辺をその中点で切断し、24 個の立方体と 24 個の立方八面体で囲まれた多面体を生成する) と、切り詰められた 24 セル(各辺を頂点からその長さの 1/3 で切断し、24 個の立方体と 24 個の切り詰められた八面体で囲まれた多面体を生成する) があります。これらの切り詰めでは、24 セルの頂点図形が立方体であり、切断が頂点から等距離であるため、削除された頂点の代わりに立方体が生成されます。

24セルのスナブ切断^[4]では、各辺が2つの黄金分割に切断されます（大きい方の断面は小さい方の断面に対して約1.618の黄金比になり、元の辺は大きい方の断面に対して黄金比になります）。首尾一貫した結果を得るには、各頂点に接する交互の辺に対して交互の方向に切断する必要があります。24セルの頂点に接する辺は、その立方体の頂点図形の8つの半径です。立方体の交互の半径を選択する唯一の方法は、（立方体に内接する）四面体の4つの半径を頂点からの長さの小さい方の部分で切断し、反対の4つの半径（立方体に内接できるもう1つの四面体の半径）を頂点からの長さの大きい方の部分で切断することです。もちろん、これを行うには2つの方法があります。どちらも、削除された頂点の代わりに、立方体ではなく、5 つの正四面体のクラスターを生成します。

この構築は3次元でも類似性があり、同じ方法で八面体から二十面体（「スナブ八面体」）を構築します。 ^[5]このようにして、切り詰め中に24セルの八面体からスナブ24セルの二十面体が生成します。

切り詰められた 24 セルは、交替操作によって切り詰められた 24 セルに関連付けられます。頂点の半分が削除され、切り詰められた 24 個の八面体セルは 24 個の二十面体セルになり、24 個の立方体は24 個の四面体セルになり、削除された 96 個の頂点の空白によって 96 個の新しい四面体セルが作成されます。

スナブ 24 セルは、600 セルの特定の縮小によっても構築できます。つまり、内接する24 セルの頂点に対応する 24 個の頂点を 600 セルから削除し、残りの頂点の凸包を取得します。これは、600 セルから 24 個の20 面体ピラミッドを削除することと同じです。

逆に、600 セルは、スナブ 24 セルに 24 個の二十面体ピラミッドを追加することで構築できます。

もう一つの構築方法は、四元数と120次のワイル群軌道の二十面体対称性を使用する。 ^[6] 以下は、ワイル群W(D4)の下でのD4の四元数軌道の重みとして24セルと24セルを記述する。${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T'}$

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000) : V1

O(0010) : V2

O(0001) : V3

が、およびの共役である四元数の場合、コクセター群は、600 セルと120 セルの14400 次 対称群です。${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle {\bar {p}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

と を内での交換として与えると、スナブ24セルを次のように構築できる。${\displaystyle p\in T}$${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$${\displaystyle p^{\dagger}}$${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$

二十面体セルは面同士が向き合ってフィットし、その間の空隙は5つの四面体セルのクラスターで満たされます。^[7]

各二十面体セルは、内接する八面体に対応する位置にある 8 つの三角形の面で、他の 8 つの二十面体セルと結合します。残りの三角形の面は、二十面体セル上で 1 つの辺を共有するペアで発生する四面体セルと結合します。

四面体セルは、それぞれ 96 個の黄色セルと 24 個の赤色セルの 2 つのグループに分けられます (ネットの図で色分けされているとおり)。各黄色の四面体セルは、その三角形の面を介して 3 つの青色の 20 面体セルと 1 つの赤色の四面体セルに結合され、各赤色の四面体セルは 4 つの黄色の四面体に結合されます。したがって、四面体セルは 5 つのクラスターで発生します (4 つの黄色のセルが中央の赤色のセルの周りに面結合し、各赤色/黄色のペアは異なる超平面にあります)。5 つの中央の赤色の四面体は、6 つの辺のそれぞれを異なる 20 面体セルと共有し、2 つの黄色の四面体セルは 20 面体セル上でその辺を共有しています。

スナブ24セルには、交​​互に配置されるコクセター群のウィトフ構成に基づく3つの頂点推移色付けがあります。F _4は24個の交換可能なイコサヘドラを定義し、B ₄グループは8:16カウントのイコサヘドラの2つのグループを定義し、最後にD ₄グループは8:8:8カウントのイコサヘドラの3つのグループを持ちます。^[8]

デュアルスナブ24セルには、144個の同一の不規則なセルがあります。各セルには、3つの凧形と6つの二等辺三角形の2種類の面があります。多面体には合計432の面（144の凧形と288の二等辺三角形）と480の辺があります。 ^[9]

スナブ24 セルは、600 セルの 24 頂点 (実際には24 セルに内接する頂点)を縮小することで得られます。さらにこのような二重縮小があり、24 セルに内接する 2 番目の頂点の頂点も縮小されます。したがって、これは二重 24 縮小 600 セルとして知られています。

スナブ24 セルは、真のスナブ(全切断 24 セルの交代)ではないため、セミ スナブ 24 セルとも呼ばれます。完全なスナブ 24 セルも構築できますが、交代頂点に不規則な四面体で構成され、均一ではありません。

スナブ 24 セルは、4 次元ハニカムであるスナブ 24 セル ハニカムの最大の面です。

スナブ 24 セルは、均一な 4 次元多面体の F _{4対称性ファミリーの一部です。}

• スナブ 24セルハニカム
• デュアルスナブ24セル

• 3. イコシトラコロン（24 細胞）に基づく凸型均一多胞体 - モデル 31、George Olshevsky。
• プリント#11: Snub icositetrachoron net、ジョージ・オルシェフスキー。
• スナブ イコシトラコロン - データと画像