対称性（幾何学）

幾何学では、図形/オブジェクトをそれ自体にマッピングする操作または変換（平行移動、拡大縮小、回転、反射など）がある場合、オブジェクトは対称性を持ちます（つまり、オブジェクトは変換に対して不変性を持ちます）。 ^[1]したがって、対称性は変化に対する耐性と考えることができます。^[2]たとえば、中心の周りを回転させた円は、変換の前後のすべての点が区別できないため、元の円と同じ形とサイズになります。したがって、円は回転に対して対称である、または回転対称性があると言われます。等長変換が平面図形の線に関する反射である場合、図形は反射対称性または線対称性があると言われます。 [ ^{3 ]}また、図形/オブジェクトが複数の対称線を持つことも可能

幾何学的オブジェクトに可能な対称性の種類は、利用可能な幾何学的変換の集合と、変換後にどのオブジェクトプロパティが変更されない必要があるかによって異なります。2つの変換の合成も変換であり、すべての変換には定義によりそれを元に戻す逆変換があるため、オブジェクトが対称となる変換の集合は数学的なグループ、つまりオブジェクトの対称グループを形成します。 ^[5]

オブジェクトに適用される変換の最も一般的なグループは、 「等長変換」のユークリッド群と呼ばれ、一般に2次元または3次元と呼ばれる空間（つまり、平面幾何学または立体幾何学のユークリッド空間）での距離保存変換です。これらの等長変換は、反射、回転、平行移動、およびこれらの基本操作の組み合わせで構成されます。^[6]等長変換では、変換後のオブジェクトが変換前のオブジェクトと区別できない場合、幾何学オブジェクトは対称であると言われます。^[7]幾何学オブジェクトは通常、すべての等長変換のサブセットまたは「サブグループ」の下でのみ対称です。以下では、等長変換サブグループの種類について説明し、その後に他の種類の変換グループと、幾何学で可能なオブジェクト不変性の種類について説明します。

カルタン・ディウドネの定理によれば、n次元空間における直交変換は最大でn回の反射の合成によって表すことができます。

反射対称性、線対称性、鏡対称性、鏡像対称性、または左右対称性は、反射に関して対称性である。^[8]

1次元では、対称点があり、その対称点を中心に反射が行われます。2次元では対称軸（対称線とも呼ばれます）があり、3次元では対称面があります。^{[3] [9]}すべての点が共通平面から等距離にあり、反対側にある他の点に1対1でマッピングされるオブジェクトまたは図形は、鏡像対称と呼ばれます（詳細については、鏡像を参照してください）。

2次元図形の対称軸とは、垂線を引いたときに、その垂線上で対称軸から等距離にある任意の2点が同一となるような線である。別の考え方としては、図形を軸で半分に折ると、2つの半分は互いに鏡像として同一となるということである。たとえば、正方形には4つの対称軸がある。これは、正方形を折って辺を互いに合わせる方法が4通りあるためである。別の例としては、円がある。円には、同じ理由で中心を通る対称軸が無限に存在する。^[10]

文字 T を垂直軸に沿って反転すると、同じように見えます。これは、垂直対称性と呼ばれることもあります。したがって、この現象は、「T には垂直対称軸がある」または「T には左右対称性がある」と言うことで明確に説明できます。

鏡映対称性を持つ三角形は二等辺三角形であり、この対称性を持つ四辺形は凧形と二等辺台形である。^[11]

それぞれの直線または反射面に対して、対称群はC _sと同型であり（詳しくは3次元の点群を参照）、2次の3つのタイプ（反転）のうちの1つであり、したがって代数的に C ₂と同型である。基本領域は半平面または半空間である。^[12]

反射対称性は、 m次元空間の他の等長変換、例えば以下のような 反転にも一般化できる。

( x ₁ , ..., x _m ) ↦ (− x ₁ , ..., − x _k ,  x _{k +1} , ..., x _m )

特定の直交座標系における点対称性。これは、 ( m − k )次元のアフィン部分空間に沿って空間を反映する。^[13] k  =  mの場合、このような変換は点反射、または点を通した反転として知られている。平面( m =2)上では、点反射は半回転(180°)回転 と同じである。下記参照。反対称対称性は、原点を通る点反射対称性の別名である。^[14]

このような「反射」は、kが偶数の場合にのみ方向を保存します。^[15]これは、m  = 3（およびその他の奇数の m）の場合、点反射により、鏡像対称性のように空間の方向が変わることを意味します。これが、物理学では、点反射と鏡像対称性の両方にP対称性（P はパリティの略）という用語が使用される理由です。3 次元での点反射は左手座標系を右手座標系に変更するため、点反射による対称性は左右対称とも呼ばれます。^[16]

回転対称性は、 m次元ユークリッド空間における一部またはすべての回転に関する対称性である。回転は直接等長変換であり、これは方向を保存する等長変換である。^[17]したがって、回転対称性の対称群は、特殊ユークリッド群E ⁺ ( m )の部分群である。

すべての点の周りのすべての回転に関する対称性は、すべての並進に関する並進対称性を意味します（並進は異なる点の周りの回転の合成であるため）^{[18] 、対称群はE +} ( m )全体です。これは空間を均質にするためオブジェクトには適用されませんが、物理法則には適用される場合があります。

点の周りの回転に関する対称性については、その点を原点として取ることができる。これらの回転は特殊直交群SO( m )を形成し、行列式1を持つm  ×  m 直交行列の群によって表される。m = 3 の場合 、これは回転群SO(3)である。^[19]

少し言い方を変えれば、物体の回転群はE ⁺ ( m )内の対称群、つまり剛体運動の群である^[20] 。つまり、完全対称群と剛体運動の群の交差である。カイラル物体の場合、それは完全対称群と同じである。

物理法則は、空間内の異なる方向を区別しない場合はSO(3)不変である。ノイマンの定理により、物理系の回転対称性は角運動量 保存則と同等である。^[21]詳細については、回転不変性を参照。

並進対称性は、離散的または連続的な並進 のグループに対してオブジェクトを不変にします。^[22]右の図は、矢印に沿った並進によって生成された4つの合同なフットプリントを示しています。フットプリントの線が両方向に無限に伸びている場合、それらは離散並進対称性を持ちます。つまり、1つのフットプリントを別のフットプリントにマッピングする並進では、線全体が不変のままになります。 ${\displaystyle \scriptstyle T_{a}(p)\;=\;p\,+\,a}$

2D では、すべり反射対称性 ( 3D ではすべり面対称性、一般にはトランスフレクションとも呼ばれる) とは、線または平面での反射と、その線または平面に沿った平行移動とを組み合わせると、同じオブジェクト (足跡の場合など) が生成されることを意味します。^{[2] [23]} 2 つのすべり反射の合成により、平行移動ベクトルが 2 倍になる平行移動対称性が生成されます。すべり反射と関連する平行移動で構成される対称群はフリーズ群 p11gであり、無限巡回群Zと同型です。

3次元では、回転反射、ローター反射、または不適切な回転は、軸の周りの回転と、その軸に垂直な平面での反射を組み合わせたものです。^[24]ローター反射に関連する対称群には次のものがあります。

• 回転角度が 360° と公約数を持たない場合、対称群は離散的ではありません。
• ローター反射が 2 n倍の回転角（角度 180°/ n）を持つ場合、対称群は位数 2 nのS _{2 n}です（同じ表記法が使用される対称群と混同しないでください。抽象群はC _2nです）。特殊なケースはn  = 1 の反転で、軸と平面に依存しないためです。反転の点のみによって特徴付けられます。
• 群C _nh (角度 360°/ n )。nが奇数の場合、これは単一の対称性によって生成され、 nが偶数の場合、抽象群はC _{2 n}です。 これは基本的な対称性ではなく、組み合わせです。

詳細については、「3 次元の点群」を参照してください。

3Dジオメトリ以上では、ねじ軸（または回転移動）は回転と回転軸に沿った移動の組み合わせです。^[25]

らせん対称性は、バネ、スリンキーのおもちゃ、ドリルビット、オーガーなどの日常の物体に見られる対称性の一種です。らせん対称性の概念は、物体を一定の角速度で回転させながら、同時にその回転軸に沿って一定の線速度で移動させることによって生じる3次元空間でのトレースとして視覚化できます。どの時点でも、これら2つの動きが組み合わさって、トレースされたらせんの特性を定義するのに役立つコイル角が得られます。 ^[26]トレースする物体が高速で回転し、ゆっくり移動すると、コイル角は0°に近くなります。逆に、物体がゆっくり回転し、速く移動すると、コイル角は90°に近づきます。

らせん対称性は、軸に沿ったコイルの角度と並進対称性の相互作用に基づいて、主に 3 つのクラスに分類できます。

• 無限螺旋対称性:螺旋または螺旋状の物体の長さに沿って際立った特徴がない場合、その物体は円とほぼ同様の無限対称性を持ちますが、元の外観に戻すには、物体の長軸に沿った移動という追加の要件があります。 ^[27]螺旋状の物体とは、すべての点で螺旋の通常の巻き角度を持ちますが、物体の長さに沿ったすべての点でまったく同じ断面が存在する (通常は回転後) という条件で、無限に複雑な断面を持つこともできます。簡単な例としては、均等に巻かれたバネ、スリンキー、ドリルビット、オーガーなどがあります。より正確に言えば、物体が中心軸の周りを少し回転すると、その軸上の近くの点 (移動距離) で物体が以前とまったく同じように見える場合、その物体は無限螺旋対称性を持ちます。この無限螺旋対称性により、回転するオーガーやスクリュービットの長さに沿って動いているかのような不思議な錯覚が生じます。また、重力や摩擦などの力と組み合わせることで、材料がドリルやオーガーと一緒に回転するだけでは抵抗できないという条件で、このような装置が材料を長さに沿って移動させるという機械的に有用な機能も提供します。
• n倍らせん対称性: らせん状の物体のすべての断面が同一であるという要件が緩和されると、より小さいらせん対称性も可能になります。たとえば、らせん状の物体の断面は変化しますが、らせん状の物体の軸に沿って規則的に繰り返される場合があります。したがって、このタイプの物体は、ある固定角度 θ の回転とある固定距離の移動の後に対称性を示しますが、一般にどの回転角度でも不変ではありません。対称性が発生する回転角度が完全な円 (360°) を均等に分割する場合、結果は正多角形のらせん状等価物になります。このケースはn 倍らせん対称性と呼ばれ、 n = 360° です (二重らせん の場合など)。この概念はさらに一般化して、が360°の倍数である場合、つまり、サイクルは最終的に繰り返されますが、らせん状の物体が 1 回転以上した後にのみ繰り返される場合を含めることができます。${\displaystyle \scriptstyle m\theta }$
• 非反復らせん対称性：これは、対称性を観察するために必要な回転角θが無理数である場合です。らせんを何度回転させても、回転角が正確に繰り返されることはありません。このような対称性は、2次元の非反復点群を使用して作成されます。1回転あたり約10.5塩基対のDNAは、このタイプの非反復らせん対称性の例です。^[28]

4Dでは、2つの直交回転の合成として二重回転対称性を生成することができる。^[29]これは、回転と直交移動の合成である3Dスクリュー軸に似ている。

幾何学的対称性のより広い定義により、ユークリッド等長群よりも大きな群からの操作が可能になります。より大きな幾何学的対称群の例は次のとおりです。

• 相似変換群^[30]、すなわち、スカラーと直交行列を掛け合わせた行列Aで表されるアフィン変換。これにより相似性が加わり、自己相似性は対称性としてみなされる。 
• 行列式が1または-1である行列Aで表されるアフィン変換の群 。つまり、面積を保存する変換。^[31]

  これにより、例えば、斜め反射対称性が追加されます。

• すべての全単射アフィン変換の群。
• 複比を保存するメビウス変換の群。

  これにより、たとえば、平面上の円反射などの反転反射が追加されます。

フェリックス・クラインのエアランゲン計画では、対称性の可能な各群は、対称群のメンバーによって関連付けられるオブジェクトが同等であると見なされる幾何学を定義します。^[32]たとえば、ユークリッド群はユークリッド幾何学を定義し、メビウス変換の群は射影幾何学を定義します。

スケール対称性とは、物体のサイズを拡大または縮小した場合、新しい物体は元の物体と同じ特性を持つことを意味します。^[33]この自己相似性は、積雲、稲妻、シダ、海岸線など、多くの自然構造に、幅広いスケールで見られます。これは通常、象とネズミの脚の形状（いわゆるアロメトリックスケーリング）などの重力で束縛された構造には見られません。同様に、柔らかい蝋燭を背の高い木のサイズに拡大した場合、蝋燭は自身の重みですぐに崩壊します。

より微妙な形のスケール対称性はフラクタルによって実証される。ブノワ・マンデルブロによって考え出されたフラクタルとは、複雑な形状の構造がどんなに拡大しても同じように見えるという数学的概念であり、^[34]マンデルブロ集合によく見られる。海岸は、衛星から見たときから、水が砂粒一つ一つに打ち寄せる様子を顕微鏡で観察したときまで、あらゆるレベルで見た目の複雑さが似ていることから、自然に発生するフラクタルの一例である。木の枝分かれも別の例であり、 ジオラマでは小さな小枝で完全な木の代わりになる。

フラクタルは自然界のパターンを再現できるため、数学的に生成された関数には通常見られない美しさと親しみやすさを備えています。フラクタルはコンピューターで生成された映画の効果にも使われており、フラクタル対称性を持つ複雑な曲線を作成できるため、よりリアルな仮想世界が生まれます。

フェリックス・クラインは、あらゆる幾何学に、基礎となる対称性群を関連付けました。したがって、幾何学の階層は、これらの群の階層と、それらの不変量の階層として数学的に表現されます。たとえば、長さ、角度、面積は、ユークリッド対称群に関して保存されますが、最も一般的な射影変換では、接続構造と複比のみが保存されます。アフィン幾何学で保存される平行性の概念は、射影幾何学では意味がありません。次に、幾何学から基礎となる対称性群を抽象化することにより、それらの関係をグループレベルで再構築できます。アフィン幾何学の群は射影幾何学の群のサブグループであるため、射影幾何学で不変である概念は、アフィン幾何学で先験的に意味を持ちます。ただし、その逆は当てはまりません。必要な対称性を追加すると、理論はより強力になりますが、概念と定理は少なくなります（より深く、より一般的なものになります）。

ウィリアム・サーストンは幾何学において同様の対称性を導入しました。モデル幾何学は、単連結な 滑らかな多様体 Xと、コンパクト安定子を持つリー群 GのXへの推移的作用を組み合わせたものです。リー群は幾何学の対称性の群と考えることができます。

モデル幾何学は、コンパクト安定化因子を持つX上で滑らかかつ推移的に作用する群の中でGが最大である場合、つまり対称性の最大群である場合に最大と呼ばれます。この条件は、モデル幾何学の定義に含まれることがあります。

多様体 M上の幾何学的構造は、何らかのモデル幾何学Xに対するMからX /Γへの 微分同相写像であり、ここで Γ はXに自由に作用するGの離散部分群である。与えられた多様体が幾何学的構造を許容する場合、そのモデルが最大となる構造も許容する。

3 次元モデル幾何学 Xは、それが最大であり、 X上にモデル化された幾何学的構造を持つコンパクト多様体が少なくとも 1 つ存在する場合、幾何化予想に関連します。サーストンは、これらの条件を満たす 8 つのモデル幾何学を分類しました。これらは以下にリストされており、サーストン幾何学と呼ばれることもあります。(コンパクト商を持たないモデル幾何学も無数に存在します。)

• フラクタル
• 対称関係

• カロッタ：対称性の世界
• オランダ語: 平面上の点の周りの対称性