数学 において、4次元ユークリッド空間 における固定点周り の回転群は SO(4)と 表記される。この名称は、4×4の実数行列の特別な直交群 であることに由来する。
本稿では、回転と は回転変位 を意味する。一意性を確保するため、回転角は、特に明記されている場合、または文脈上明らかにそうであると示唆されている場合を除き、区間[ 0, π ]
「固定平面」とは、回転後も平面内のすべてのベクトルが変化しない平面のことである。「不変平面」とは、回転によって影響を受ける可能性はあるものの、回転後も平面内に留まる平面のことである。
4次元回転の幾何学 4次元回転には、単純回転と二重回転の2種類がある。
単純な回転 回転中心O を中心とした単純な回転Rでは、 O を通る平面A (軸平面)全体が固定されます。Aに完全に直交する平面 B はすべて、ある点Pで A と交わります。このような点P は、 B における Rによって 誘導される 2 次元回転の中心です。これらの 2 次元回転はすべて同じ回転角α を持ちます。
A内の点 O からの半直線 は変位しない。Aに直交する点O からの半直線はα だけ 変位する。その他のすべての半直線はα より小さい角度だけ変位する。
二重回転 立体投影 におけるテッセラクト 、二重回転 4Dクリフォードトーラスを 立体投影して3Dにするとトーラス のように見え、二重回転はそのトーラス上の螺旋状の経路として見ることができる。2つの回転角の比が有理数である回転の場合、経路は最終的に再び接続するが、無理数の場合は接続しない。等傾角回転はトーラス上にヴィラソー円 を形成し、単純回転は中心軸に平行または垂直な円を形成する。 4次元空間の各回転R (原点を固定) に対して、少なくとも 1 組の直交する 2 次元平面A とB が存在し、それぞれが不変であり、その直和A ⊕ B R を作用させると、その平面の通常の回転が生じる。ほとんどすべてのR (3 次元部分集合を除く 6 次元回転の集合すべて) に対して、平面Aの回転角 α と平面Bの回転角 β (両方ともゼロでないと仮定) は異なる。−π < α β < π を満たす不等な回転角α とβ は、ほぼ[ a ] R によって一意に決定される。4 次元空間に方向が付けられていると仮定すると、2 次元平面A とB の方向は、この方向と整合するように 2 つの方法で選択できる。回転角が等しくない場合 ( α ≠ β R は「二重回転」と呼ばれることがある。
二重回転の場合、A とB は唯一の不変平面のペアであり、A 、B 内の原点からの半直線はそれぞれ α とβ だけずれ、 A またはB に含まれない原点からの半直線は厳密にα とβ の間の角度だけずれます。
等斜角回転 二重回転の回転角が等しい場合、不変 平面は 2 つだけでなく無限に存在し、O からのすべての半直線 は同じ角度だけ移動します。このような回転は、等傾斜 回転または等角回転 、あるいはクリフォード変位と呼ばれます。注意: O を通るすべての平面が等傾斜回転の下で不変であるわけではありません。半直線とそれに対応する移動した半直線によって張られる平面のみが不変です。
4 次元空間に対して固定された向きが選択されていると仮定すると、等傾 4D 回転は 2 つのカテゴリに分類できます。これを確認するには、等傾回転Rを考え、 O で互いに垂直な半直線の向きが一致する順序付きセットOU 、OX 、OY 、OZ OUXYZ と表記)を取ります。OUとOX は 不変 平面を張り、したがってOY とOZ も不変平面を張ります。次に、回転角αのみが指定されていると仮定します。すると一般に、 OUX とOYZ の 回転方向に応じて、回転角αを持つ平面 OUX とOYZ の等傾回転が 4 つ存在します。
OU からOX 、およびOYから OZ への回転方向を正とする慣例を設ける。すると、4つの回転R 1 = (+ α , + α )R 2 = (− α , − α )R 3 = (+ α , − α )R 4 = (− α , + α )R 1 R 2 逆で あり、R 3 R 4 も同様である。 α が0 から π の間にある限り、これら 4 つの回転は互いに異なる。
同符号の等傾斜回転は左等傾斜回転 、異符号の等傾斜回転は右等傾斜回転 と表記されます。左等傾斜回転と右等傾斜回転は、それぞれ単位四元数の左乗算と右乗算によって表されます。詳細は下記の「四元数との関係」の項を参照してください。
4つの回転は、α = 0α = πα = 0α = π は単位行列の負の値で与えられる中心反転 に対応します。SO(4) のこれら 2 つの要素だけが、同時に左等傾斜と右等傾斜の両方になります。
上記のように定義された左等傾斜と右等傾斜は、選択された特定の等傾斜回転に依存するように思われます。しかし、独自の軸OU′ 、OX′ 、OY′ 、OZ′を持つ別の等傾斜回転 R′ を 選択した場合、回転と鏡映ではなく回転によってOUXYZ を OU′X′Y′Z′ に変換できるように、 U′ 、X′ 、Y′ 、Z′ の順序を常に選択できます (つまり、順序付けられた基底 OU′ 、OX′ 、OY′ 、OZ′も OU 、OX 、OY 、OZ と同じ固定された方向の選択と一致するように)。したがって、方向 (つまり、一般的に右手系と表記される軸のシステムOUXYZ )を一度選択すれば、特定の等傾斜回転の左または右の性質を決定できます。
SO(4)は非可換 コンパクト 6次元 リー群で ある。
回転中心O を通る各平面は、SO(2)と同型 な可換部 分群 の軸平面である。これらの部分群はすべてSO(4)において互いに共役である。
Oを通る完全に 直交する 平面の各ペアは、 SO (2) × SO(2) と同型な SO(4) の可換部分群の不変 平面のペアである。
これらの群はSO(4)の極大トーラス であり、SO(4)において互いに共役である。クリフォードトーラス も参照のこと。
すべての左等傾斜回転は、SO(4) の非可換部分群S 3 L 四元数の 乗法群 S 3 S 3 Rを形成し 、これは S 3 SO ( ) の 極大
各左等傾斜回転は各右等傾斜回転と可換である。これは、 正規部分群 S 3 L S 3 R 直積 S 3 L × S 3 R が存在することを意味する。対応する因子群は 両方とも、直積のもう一方の因子と同型であり、すなわちS 3 S 3 L S 3 R I と中心反転− I は S 3 L S 3 R
各4D回転Aは 、 2つの方法で左等傾斜回転 AL AR 。AL は 中心 AL と の 両方 再び A に
これは、S 3 L × S 3 R 普遍被覆群 （唯一の二重被覆 ）であり、S 3 L S 3 R I と中心反転− I は 位数 2 の群C 2 を形成し、これは SO(4) とS 3 L S 3 R 中心 です。群の中心はその群の正規部分群です。SO(4) の C 2 の因子群は SO(3) × SO(3) と同型です。S 3 Lの C 2 による因子 群とS 3 R のC 2 による因子群はそれぞれ SO(3) と同型です。同様に、SO(4) のS 3 Lによる因子群と SO(4) の S 3 R による因子群はそれぞれ SO(3) と同型です。
SO(4) のトポロジーは、リー群SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) のトポロジーと同じであり、すなわち空間はP 3 × S 3 \displaystyle \mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}} P 3 {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}} 実射影空間 であり、S 3 \displaystyle \mathbb {S} ^{3}} は3 次元球面 です。ただし、リー群として SO(4) はリー群の直積ではないため、SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) とは同型ではないことに注意が必要です。
奇数次元の回転群は中心反転を含まず、単純群 である。
偶数次元の回転群は中心反転− I を含み、群C 2 = { I − I }を 中心 とする。n ≥ 6 の偶数の場合、SO(n)は、中心による SO (n)/C 2の 因子群 が単純群であるため、ほぼ単純である。
SO(4) は異なります。SO (4) のどの要素による共役 も、左等傾斜回転と右等傾斜回転を互いに変換しません。鏡映は 共役によって左等傾斜回転を右等傾斜回転に変換し、その逆も同様です。これは、固定点Oを持つ すべて の等長変換の群 O(4) の下で、異なる部分群S 3 L S 3 R N
4次元回転の代数 SO(4)は、 実数 上の内積を持つ4次元ベクトル空間からそれ自身への 向きを 保存する等長 線形 写像の群として一般的に認識されます。
このような空間における正規直交 基底 に関して、 SO(4)は行列式 が+1である実数4次直交行列 の群として表される。
等傾斜分解 行列によって与えられる 4D 回転は、次のように左等傾斜回転と右等傾斜回転に分解されます[ 4 ]
させて
A = （ 1 00 1 01 1 02 1 03 1 10 1 11 1 12 1 13 1 20 1 21 1 22 1 23 1 30 1 31 1 32 1 33 ） {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}} を任意の正規直交基底 に関する行列とする。
これから、いわゆる関連行列を計算します。
M = 1 4 （ 1 00 + 1 11 + 1 22 + 1 33 + 1 10 − 1 01 − 1 32 + 1 23 + 1 20 + 1 31 − 1 02 − 1 13 + 1 30 − 1 21 + 1 12 − 1 03 1 10 − 1 01 + 1 32 − 1 23 − 1 00 − 1 11 + 1 22 + 1 33 + 1 30 − 1 21 − 1 12 + 1 03 − 1 20 − 1 31 − 1 02 − 1 13 1 20 − 1 31 − 1 02 + 1 13 − 1 30 − 1 21 − 1 12 − 1 03 − 1 00 + 1 11 − 1 22 + 1 33 + 1 10 + 1 01 − 1 32 − 1 23 1 30 + 1 21 − 1 12 − 1 03 + 1 20 − 1 31 + 1 02 − 1 13 − 1 10 − 1 01 − 1 32 − 1 23 − 1 00 + 1 11 + 1 22 − 1 33 ） {\displaystyle M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{ 13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}} Mは ランク 1であり、 16 次元ベクトルとして単位ユークリッドノルム を持つのは、 A が実際に 4 次元回転行列 である場合に限る。この場合、実数a 、b 、c 、d p 、q 、r 、s
M = （ 1 p 1 q 1 r 1 s b p b q b r b s c p c q c r c s d p d q d r d s ） {\displaystyle M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}} そして
（ 1 p ） 2 + ⋯ + （ d s ） 2 = （ 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 ） （ p 2 + q 2 + r 2 + s 2 ） = 1. {\displaystyle (ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.} a 、b 、c 、d p 、q 、r 、s a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = 1
回転行列は次のようになります。
A = （ 1 p − b q − c r − d s − 1 q − b p + c s − d r − 1 r − b s − c p + d q − 1 s + b r − c q − d p b p + 1 q − d r + c s − b q + 1 p + d s + c r − b r + 1 s − d p − c q − b s − 1 r − d q + c p c p + d q + 1 r − b s − c q + d p − 1 s − b r − c r + d s + 1 p + b q − c s − d r + 1 q − b p d p − c q + b r + 1 s − d q − c p − b s + 1 r − d r − c s + b p − 1 q − d s + c r + b q + 1 p ） = （ 1 − b − c − d b 1 − d c c d 1 − b d − c b 1 ） （ p − q − r − s q p s − r r − s p q s r − q p ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\e nd{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}} この公式は Van Elfrinkhof (1897) によるものです。
この分解における第1の因子は左等傾斜回転を表し、第2の因子は右等傾斜回転を表す。これらの因子は、負の4次単位行列 、すなわち中心反転まで決定される。
四元数との関係 デカルト座標 ( u , x , y , z ) を持つ 4 次元空間の点は、四元数 P = u + xi + yj + zk
左等傾斜回転は、単位四元数Q L = a + bi + cj + dk
（ u ′ x ′ y ′ z ′ ） = （ 1 − b − c − d b 1 − d c c d 1 − b d − c b 1 ） （ u x y z ） 。 {\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.} 同様に、右等斜回転は、行列ベクトル形式で表された単位四元数Q R = p + qi + rj + sk
（ u ′ x ′ y ′ z ′ ） = （ p − q − r − s q p s − r r − s p q s r − q p ） （ u x y z ） 。 {\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.} 前のセクション（等傾斜分解 ）では、一般的な4次元回転が左等傾斜因子と右等傾斜因子に分割される様子が示されています。
四元数で表すと、ヴァン・エルフリンクホフの公式は次のようになる。
u ′ + x ′ 私 + y ′ j + z ′ k = （ 1 + b 私 + c j + d k ） （ u + x 私 + y j + z k ） （ p + q 私 + r j + s k ） 、 {\displaystyle u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),} または、象徴的な形で、
P ′ = Q L P Q R 。 {\displaystyle P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,} ドイツの数学者フェリックス・クライン によれば、この公式は1854年にはすでにケイリーに知られていた。[ 5 ]
四元数の乗算は結合法則を満たす 。したがって、
P ′ = （ Q L P ） Q R = Q L （ P Q R ） 、 {\displaystyle P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,} これは、左等斜回転と右等斜回転が可換であることを示している。
4次元回転行列の固有値 4D回転行列の4つの固有値は、一般的に、大きさが1の 複素数 の共役ペアとして現れます。固有値が実数の場合、回転によってベクトルの大きさは変化しないので、±1でなければなりません。その固有値の共役も1なので、固定平面を定義する固有ベクトルのペアが得られ、回転は単純回転になります。四元数表記では、SO(4)の適切な（つまり、反転しない）回転は、単位四元数Q L Q R 場合に限り、適切な単純回転になります。 [ b ] 、 の 固有値 。
通常の 3D 空間は、座標系 UXYZ を持つ 4D 空間の座標系 0XYZ を持つ部分空間として扱いやすい。その回転群 SO(3) は、 行列からなる SO(4) の部分群と同一視される。
（ 1 0 0 0 0 1 11 1 12 1 13 0 1 21 1 22 1 23 0 1 31 1 32 1 33 ） 。 {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.} 前の節のヴァン・エルフリンクホフの公式では、この3次元への制限により、p = a q = − b r = − c s = − d Q R Q L Q L −1 オイラー・ロドリゲスの公式になります。
（ 1 11 1 12 1 13 1 21 1 22 1 23 1 31 1 32 1 33 ） = （ 1 2 + b 2 − c 2 − d 2 2 （ b c − 1 d ） 2 （ b d + 1 c ） 2 （ b c + 1 d ） 1 2 − b 2 + c 2 − d 2 2 （ c d − 1 b ） 2 （ b d − 1 c ） 2 （ c d + 1 b ） 1 2 − b 2 − c 2 + d 2 ） 、 {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},} これは、オイラー・ロドリゲスパラメータ a 、b 、c 、d
対応する四元数式はP′ = QPQ −1 Q = Q L
x ′ 私 + y ′ j + z ′ k = （ 1 + b 私 + c j + d k ） （ x 私 + y j + z k ） （ 1 − b 私 − c j − d k ） {\displaystyle x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)} これはハミルトン ・ケイリーの 公式として知られています。
ホップ座標 3D空間における回転は、球面座標 を用いることで数学的にずっと扱いやすくなります。3D空間における任意の回転は、固定された回転軸と、その軸に垂直な不変平面によって特徴づけることができます。一般性を失うことなく、 xy 平面を不変平面、z 軸を固定軸とすることができます。半径方向の距離は回転によって影響を受けないため、固定軸と不変平面を基準とした球面座標 を用いて、単位球（2次元球）に対する回転の影響によって回転を特徴づけることができます。
x = 罪 θ コス ϕ y = 罪 θ 罪 ϕ z = コス θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}} x 2 + y 2 + z 2 = 1x , y , z ) は単位 2 次元球面上にあります。角度{ θ 0 , φ 0 }を持つ点を z 軸を中心に角度φだけ回転させると、角度 { θ 0 , φ 0 + φ } を持つ点になります。超球座標は4 次元回転を扱う際にも有用ですが、4 次元に対してさらに有用な座標系として、 ホップ座標 { ξ 1 , η , ξ 2 } [ 6 ] これ
u = コス ξ 1 罪 η z = 罪 ξ 1 罪 η x = コス ξ 2 コス η y = 罪 ξ 2 コス η {\displaystyle {\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}} u 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1
4D空間では、原点を中心としたすべての回転には、互いに完全に直交し、原点で交差し、2つの独立した角度ξ 1 ξ 2 だけ回転する2つの不変平面があります。一般性を失うことなく、これらの不変平面として、それぞれuz平面 とxy 平面を選択できます。点{ ξ 10 , η 0 , ξ 20 } の4D空間における角度ξ 1 ξ 2 { ξ 10 + ξ 1 , η 0 , ξ 20 + ξ 2 } と単純に表されます。
4次元回転の可視化 クリフォードトーラス上の点の軌跡:図1: 単純な回転 (黒) と左右の等傾斜回転 (赤と青) 図2: 1:5 の比率の角度変位を伴う一般的な回転 図3: 5:1 の比率の角度変位を伴う一般的な回転 すべての画像は立体投影 です。 3次元空間におけるあらゆる回転には、回転によって変化しない固定軸が存在する。回転は、回転軸とその軸を中心とした回転角度を指定することで完全に定義される。一般性を損なうことなく、この軸はデカルト座標系のz 軸として選択することができ、回転をより簡単に視覚化できる。
3D空間では、球面座標 { θ , φ }は 2次元球面のパラメトリック表現と見なすことができます。θが固定されている場合、これら の座標は z 軸に垂直な2次元球面上の円を描き、これらの円は { θ₀ , φ₀ }は、 z 軸を中心とした回転によって、角度φが変化するにつれて { θ₀ , φ₀ + φ }の 軌跡を描きます。この軌跡は、時間に関するパラメトリック回転と見なすことができ、回転角 は = ωt ω は「角速度 」です。
3Dの場合と同様に、4D空間におけるすべての回転には、回転によって変化せず、かつ完全に直交する（つまり一点で交わる）少なくとも2つの不変軸平面が存在します。回転は、軸平面とそれらの周りの回転角を指定することで完全に定義されます。一般性を失うことなく、これらの軸平面はデカルト座標系のuz 平面とxy 平面として選択することができ、回転をより簡単に視覚化できます。
4D空間では、ホップ角{ ξ1 , η , ξ2 }が 3次元球面をパラメータ化します。固定されたηに対して、ξ1とξ2でパラメータ化されたトーラスを記述し、η = π / 4 は xy 平面 における クリフォードトーラス の 特殊 な 場合 です。 これらの トーラスは、 立体的に ユークリッド3D空間全体に投影することができ、これらのトーラスは通常の回転トーラスとして見なされます。uz平面 とxy 平面を不変にしたまま回転する{ ξ10 , η0 , ξ20 }で指定される点は 、 η0 が わかり ます [ 7 ] { ξ 10 + ω 1 t , η 0 , ξ 20 + ω 2 t } と表すことができ、下の図のように、関連するトーラスに立体投影することができます。[ 8 ] {0, π / 4 , 0} 、つまりクリフォードトーラス上にあるとします。 図 1 では、2 つの単純な回転軌跡が黒で示され、左および右の等傾軌跡がそれぞれ赤と青で示されています。 図 2 では、ω 1 = 1 かつω 2 = 5の一般的な回転が示され、図 3 では、 ω 1 = 5 かつω 2 = 1 の一般的な回転が示されています。
下図は、回転する5セル 空間を、4次元目を圧縮して色で表示したものです。前述のクリフォード・トーラスは、長方形（巻き付き）の形で描かれています。
4次元回転行列の生成 4次元回転は、ロドリゲスの回転公式 とケイリーの公式から導出できます。Aを 4 × 4の歪対称行列 とします。歪対称行列Aは 、一意に次のように分解できます。
A = θ 1 A 1 + θ 2 A 2 {\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}} 2 つの歪対称行列A 1 A 2に分割され、 A 1 A 2 = 0A 1 3 = − A 1 A 2 3 = − A 2 ∓ θ 1 i と∓ θ 2 i はA の固有値です。次に、歪対称行列A 1 A 2 [ 9 ]
A を 固有値の集合を持つ4 × 4 の非ゼロ歪対称行列とする。
{ θ 1 私 、 − θ 1 私 、 θ 2 私 、 − θ 2 私 : θ 1 2 + θ 2 2 > 0 } 。 {\displaystyle \left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.} すると、Aは 次のように分解できる。
A = θ 1 A 1 + θ 2 A 2 {\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}} ここで、A 1 A 2
A 1 A 2 = A 2 A 1 = 0 、 A 1 3 = − A 1 、 そして A 2 3 = − A 2 。 {\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.} さらに、歪対称行列A 1 A 2
A 1 = θ 2 2 A + A 3 θ 1 （ θ 2 2 − θ 1 2 ） {\displaystyle A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}} そして
A 2 = θ 1 2 A + A 3 θ 2 （ θ 1 2 − θ 2 2 ） 。 {\displaystyle A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.} それから、
R = e A = 私 + 罪 θ 1 A 1 + （ 1 − コス θ 1 ） A 1 2 + 罪 θ 2 A 2 + （ 1 − コス θ 2 ） A 2 2 {\displaystyle R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}} はE 4
{ e θ 1 私 、 e − θ 1 私 、 e θ 2 私 、 e − θ 2 私 } 。 {\displaystyle \left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.} また、
R = （ 私 + A ） （ 私 − A ） − 1 = 私 + 2 θ 1 1 + θ 1 2 A 1 + 2 θ 1 2 1 + θ 1 2 A 1 2 + 2 θ 2 1 + θ 2 2 A 2 + 2 θ 2 2 1 + θ 2 2 A 2 2 {\displaystyle R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}} は、ケイリーの回転公式によって生成されるE 4 R の固有値の集合は次のようになる。
{ （ 1 + θ 1 私 ） 2 1 + θ 1 2 、 （ 1 − θ 1 私 ） 2 1 + θ 1 2 、 （ 1 + θ 2 私 ） 2 1 + θ 2 2 、 （ 1 − θ 2 私 ） 2 1 + θ 2 2 } 。 {\displaystyle \left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.} 生成回転行列は、 θ 1 θ 2
θ 1 = 0θ 2 ≠ 0θ 1 θ 2 が θ 1 ≠ θ 2 θ 1 θ 2 が θ 1 = θ 2
注記 ↑ 4次元空間に方向が定められていると仮定すると、2次元平面A と B のそれぞれについて、4次元空間の方向と一致するように、2つの同等に有効な方向を選択することができます。AとBの方向の一方の選択による角度が{α, β}である場合、 もう 一方の 選択 による 角度 は {−α, −β}となります。 （ 2 次元 平面 における回転角を測定するには、その2次元平面上の方向を指定する必要があります。− πの回転角は+ π の回転角と同じです。4次元空間の方向が反転すると、結果として得られる角度は{ α , −β } または { −α , β } の いずれかになります。したがって、角度の絶対値は、どのような選択にも完全に依存しない形で明確に定義されます。） ↑ 反対符号の例: 中心反転; 四元数表現では実部は +1 と −1 であり、中心反転は単一の単純な回転では実現できません。
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