六十四卦

正六十四卦
正六芒星
タイプ	正多角形​
エッジと頂点	6
シュレーフリ記号	a{6}、{6/2}、2{3}、または{{3}}
コクセター・ディンキン図	または
対称グループ	二面角（D 6）
内角（度）	60°
プロパティ	星型、複合型、環状、正三角形、等角型、等軸型
デュアルポリゴン	自己

ヘキサグラム（ギリシャ語）またはセクサグラム（ラテン語）は、シュレーフリ記号{6/2}、2{3}、または {{3}}で表される6 つの頂点を持つ幾何学的な星型図形です。真の正六芒星は存在しないため、この用語は 2 つの正三角形の複合図形を指すために使用されます。交差点は正六角形です。

六芒星は、2 つの n 次元単体の複合体である無限の形状シリーズの一部です。3 次元では、類似の複合体は星型八面体であり、4 次元では2 つの 5 セルの複合体が得られます。

歴史的に、様々な宗教的、文化的文脈で、また装飾的なモチーフとして使用されてきました。このシンボルは中世のキリスト教会やユダヤ教のシナゴーグで装飾的なモチーフとして使用されました。^[1 ]六芒星は仏教に由来すると考えられており、ヒンズー教徒も使用していました。中世にはイスラム教徒によって神秘的なシンボルとして使用されており、ソロモンの印として知られ、六芒星または五芒星として描かれています。^{[2] [3]}

数学では、単純リー群G ₂のルート系は、6 つの長いルートと 6 つの短いルートを持つ六芒星の形をしています。

正六角形のような六角形の星は、コンパスと定規を使用して作成できます 。

• コンパスを使って任意の大きさの円を描きます。
• コンパスの半径を変えずに、コンパスの軸を円の円周上に設定し、新しい円が最初の円と交差する 2 つの点のうちの 1 つを見つけます。
• 最後に見つかった点をピボットとして、同様に円周上の 3 番目の点を見つけ、そのような点が 6 つマークされるまで繰り返します。
• 直線定規を使用して、円周上の交互の点を結び、重なり合う 2 つの正三角形を形成します。

正六芒星は、立方体を、すべて同じ頂点に隣接する 3 つの頂点を通る平面に正投影することで作成できます。立方体の 12 個の中点は、六芒星を形成します。たとえば、3 次元の 8 つの可能なバイナリ ベクトルに頂点がある単位立方体を平面 に投影する場合を考えてみましょう。中点は で、すべての点は、これらの要素に順列を適用することで得られます。これらの 12 個の点は、六芒星に投影されます。つまり、6 つの頂点は外側の六角形の周囲にあり、6 つの頂点は内側にあります。 ${\displaystyle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) ,(1,1,1)}$${\displaystyle x+y+z=1}$${\displaystyle (0,0,1/2),(0,1/2,1/2),(0,1,1/2),(1,1,1/2)}$

2 つの重なり合った三角形から派生した六芒星は、互いに直接的な関連性のないさまざまな民族から生まれた可能性があります。

古代南インドのヒンズー教寺院に見られるヤントラと呼ばれるマンダラのシンボルは、六芒星をその枠組みに組み込んだ幾何学的な道具一式です。これはナラ・ナラヤナ、つまり人間と神の間で達成される完璧な瞑想状態のバランスを象徴しており、維持されれば「モクシャ」または「涅槃」（地上世界の束縛とその物質的束縛からの解放）をもたらします。^[要出典]

研究者の中には、この六芒星はダビデの誕生や王としての任命の時の占星術のチャートを表しているという説を唱える者もいる。この六芒星は占星術界では「王の星」としても知られている。^{[引用が必要]}

古代のパピルスでは、五芒星は星や他の記号とともに、ユダヤ教の神の名を記したお守りによく見られ、熱病やその他の病気から身を守るために使われています。不思議なことに、これらの記号の中に六芒星は見当たりません。パリとロンドンのギリシャ魔術パピルス^[要出典] (ウェッセリー、同書、pp. 31, 112) には、22 個の記号が並んでおり、12 個の記号が円に描かれていますが、五芒星も六芒星もありません。^[要出典]

六芒星は、ヒンズー教、仏教、ジャイナ教の宇宙図にも見つかっています。このシンボルがインドの宗教と西洋でよく見られる理由は不明です。1つの可能性は、共通の起源があるということです。もう1つの可能性は、いくつかの文化の芸術家や宗教家が、比較的単純な幾何学的デザインである六芒星の形を独自に作成したということです。

インドの伝承では、この形は一般に、一方が上向きでもう一方が下向きの 2 つの三角形が調和して組み合わさった形であると理解されています。2 つの要素はサンスクリット語で「オーム」と「フリム」と呼ばれ、地上と天空の間にある人間の位置を象徴しています。下向きの三角形は女性性の神聖な具現化であるシャクティを象徴し、上向きの三角形は男性性の集中した側面を表すシヴァ、またはアグニ タットヴァを象徴しています。2 つの三角形の神秘的な結合は、男性と女性の神聖な結合によって生じる創造を表しています。2 つの組み合わされた三角形は「シャンムカ」としても知られており、シヴァとシャクティの子孫であるカルティケーヤの 6 つの顔を表しています。このシンボルはいくつかのヤントラの一部でもあり、ヒンドゥー教の儀式的な崇拝と歴史において深い意味を持っています。

仏教では、 「チベット死者の書」としても知られるバルド・トドルの古い版には、卍が描かれた六十四卦が含まれています。これは、この特定の出版物のために出版社が作り上げたものです。チベット語では、「現象の起源」（チョス・キ・ビョン・グナス）と呼ばれています。これは特にヴァジュラヨーギニーと関連しており、ヴァジュラヨーギニーの曼荼羅の中心部を形成しています。実際には、2次元ではなく3次元ですが、どちらの方法でも表現できます。

シャトコナはヒンドゥー教の ヤントラで使われるシンボルで、男性と女性の両方の形の結合を表しています。より具体的には、プルシャ（至高の存在）とプラクリティ（母なる自然、原因物質）を表すと考えられています。これはシヴァとシャクティとして表現されることが多いです。^[4]

アナハタまたはハートチャクラは、ヒンドゥー教のヨガ、シャクティ、仏教のタントラの伝統によれば、 4番目の主要なチャクラです。サンスクリット語で、アナハタは「傷つかない、打たれない、打ち負かされない」という意味です。アナハタ・ナドは、打たれない音（天界の音） というヴェーダの概念を指します

ダビデの星は、ユダヤ教とユダヤ人のアイデンティティの象徴として広く認識されており、口語ではユダヤの星または「ダビデの星」とも呼ばれています。ユダヤ人のアイデンティティの象徴としての使用は中世に始まりましたが、宗教的な使用はさらに古く、現在最も古い考古学的証拠は、ガリラヤの 3 ～ 4 世紀のシナゴーグのアーチの盾が刻まれた石です。

アルメニアで最初で最も重要なエチミアジン大聖堂（西暦303年、アルメニアのキリスト教の創始者によって建てられた）は、多くの種類の装飾された六芒星で飾られており、アルツァフのガンザサル教会にあるハチェンのハサン・ジャラリヤン王朝のアルメニア王子（西暦1214年）の墓も同様に飾られています。

六芒星は、いくつかの教会やステンドグラスの窓に見ることができます。キリスト教では、創造の星と呼ばれることもあります。ニコラウス・ペヴスナーによって記録された非常に初期の例は、イギリスのウィンチェスター大聖堂の聖歌隊席の天蓋の1つに、1308年頃に見ることができます。 ^[5]

ダビデの星は、末日聖徒イエス・キリスト教会でも、寺院や建築物でそれほど目立たない形で使用されています。これは、神が人に手を差し伸べ、人が神に手を差し伸べること、つまり天と地の結合を象徴しています。また、イスラエルの諸部族と、ユダヤ人に対する友情や親近感を象徴している場合もあります。さらに、黙示録第 12 章にあるように、十二使徒定員会を象徴するために使用されることもあります。この章では、神の教会は 12 個の星の冠をかぶった女性によって象徴されています。また、イエス・キリストの象徴である北斗七星を指す北斗七星を象徴するために使用されることもあります。

このシンボルは、アラビア語でKhātem Sulaymān (ソロモンの印、خاتم سليمان ) またはNajmat Dāwūd (ダビデの星、نجمة داوود )として知られています。「ソロモンの印」は、五芒星または五芒星で表されることもあります。

コーラン には、ダビデとソロモン王（アラビア語ではスレイマンまたはスレイマン）は預言者と王であり、イスラム教徒に崇拝されている人物であると書かれています。中世のオスマン帝国以前のハナフィー派アナトリア のカラマン朝とジャンダリド朝のベイリクは、この星を旗に使用しました。^[6]このシンボルは、ハイレッディン・バルバロッサの旗にも使用されています。今日、六芒星はモスクやその他のアラビアおよびイスラムの工芸品に見ることができます。

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  アル・ムスタンシル・ビラーの治世中にシチリア王国で鋳造された硬貨（西暦 11 世紀）
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  1204年にアレッポでアズ・ザヒル・ガジによって鋳造された硬貨
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  インド、デリーのフマーユーン廟の六芒星（16 世紀後半）
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  モロッコの4 ファルス硬貨の表面に描かれた六芒星(1873 年)
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  コソボ、プリズレンのアラスタ モスクのミナレットの六芒星
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  モロッコ フェズ刺繍 馬カバー
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  ハイレッディン・バルバロッサの旗に描かれた六芒星
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  カラマニド・ベイリクの旗に描かれた六芒星
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  ガズニのマフムードの墓からソムナート寺院に運ばれた門
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  中国の影響を受けたライオンと六芒星のアラビア書道が描かれたチレボンの綿の旗（18 世紀後半または 19 世紀）

紋章学と旗章学では、六芒星はかなり一般的に用いられる紋章であるが、この名前で呼ばれることはめったにない。ゲルマン地域では単に「星」として知られている。しかし、英語とフランス語の紋章学では、六芒星は「6 点のマルレット」として知られている。マルレットは、特に指定がない限り、デフォルトで 5 本の尖った腕で示される拍車の列を表すフランス語である。アルバニアの紋章学と旗章学では、六芒星は古代から使用されており、一般的にはシックスアグラムと呼ばれている。カストリオティ家の紋章には、双頭の鷲の上に銀色の 杭の上に六芒星が描かれている。

ダビデの星は、神智学協会（1875年設立）の紋章とエンブレムに使用されています。より目立つ形ではありますが、他の宗教的シンボルと一緒に使用されています。これらには、スワスティカ、アンク、オーム、ウロボロスが含まれます。ダビデの星はソロモンの紋章としても知られており、これはその元の名前であり、約50年前まで定期的に使用されていました。

六芒星は五芒星と同様に、オカルトや儀式魔術の実践に使用されており、占星術で概説されている 7 つの「古い」惑星に関連付けられています。

六芒星は、お守りとして^{[7] 、また様々な形態の}オカルト魔術において精霊や霊的力を呼び出すためによく使われます。『魔術の歴史と実践第2巻』という本では、六芒星は土星のお守りと呼ばれ、ソロモンの印とも呼ばれています。^[8]この本では、これらのシンボルの作り方や使用する材料について詳しく説明されています。

伝統的に、六芒星は4つの元素の組み合わせとして考えることができます。火は上向きの三角形として象徴され、空気（その元素の反対）も上向きの三角形ですが、中心に水平線があります。水は下向きの三角形として象徴され、土（その元素の反対）も下向きの三角形ですが、中心に水平線があります。火と水のシンボルを組み合わせると、六芒星（6つの尖った星）が作成されます。空気と土のシンボルを組み合わせる場合も同様です。両方の六芒星を組み合わせたものを二重六芒星と呼びます。このようにして、要素の組み合わせが作成されます。^[9]

薔薇十字団とヘルメス魔術では、伝統的な7つの惑星は、セフィロトと生命の樹に現れるのと同じパターンで、次のように六芒星の角度と中心に対応しています。土星は正式にはビナーのセフィラに帰属しますが、この枠組みの中ではダアトの位置を占めています。^[10]

錬金術では、2つの三角形は火と水という相反するものの調和を表しています。^[11]

六十四卦は、第五の要素である精髄を表す記号として使用されます。 ^[要出典]

「絡み合った三角形またはデルタは、宇宙に浸透している能動的と受動的、男性と女性という 2 つの原理または力の結合を象徴しています... 2 つの三角形、1 つは白、もう 1 つは黒が絡み合っており、人間の生活全体を通して、暗闇と光、誤りと真実、無知と知恵、悪と善など、自然界における一見相反するものの混ざり合いを象徴しています。」 – アルバート G. マッキー:フリーメイソン百科事典^{[ページが必要] [検証に失敗]}

六芒星は、多くのフリーメーソンの寺院の内外に装飾として描かれています。この六芒星は、フリーメーソンの哲学や研究のインスピレーションの源であるソロモン王の寺院の建造物の中に発見された可能性があります^{(誰によると? )}。フリーメーソンの他の多くのシンボルと同様に、六芒星の解読は独断的ではなく、個人の解釈に委ねられています。^{(引用が必要)}

• オーストラリアの国旗には、 1901年から1908年まで6つの連邦州を表す六芒星が描かれていた。^[12]
• 1953 年から 1972 年まで使用された北アイルランドのアルスターバナー旗。6 つの尖った星は、北アイルランドを構成する 6 つの郡を表しています。アルスター バナーの星は、2 つの正三角形を組み合わせたものではありません。交差部分は正六角形ではありません。
• 1794 年、ペンシルバニア州南西部で起きたウィスキー反乱の際に反乱軍が使用した旗。
• コソボ民主連盟がコソボのために提案したダルダニア旗には六芒星が描かれている。
• 1914年から1960年まで、ナイジェリアの国旗には、赤い円盤の上に王冠を囲む緑の六芒星とその下に白字で「ナイジェリア」と書かれたものが描かれていた。
• イスラエルの国旗の中央には青い六芒星が描かれています。

• 六角形の三角形が組み合わさったマークは、何千年もの間、剣が中東のダマスカス地域で作られ、「検査」されたことを示すために使われてきました。今日でも、剣自体は中東産ではなくなりましたが、英国と米国のすべての公式軍用剣には、このマークが必須の証明マークとなっています。
• 南ドイツでは、六芒星は居酒屋の錨の一部として見られます。これはビールの注ぎ口のシンボルであり、ビール醸造組合の印でもあります。ドイツ語では、これは「ビアスターン」（ビールの星）または「ブラウアースターン」（醸造者の星）と呼ばれています。
• 六芒星は、米国のストリートギャングのフォーク・ネイション同盟の識別マークとして使用されています。
• インドの賢者であり予言者であるシュリ・オーロビンドは、この三角形を、神に命を降ろすよう呼びかける人類の熱望（頂点が頂点の三角形）と、その呼びかけに応じて神が地球の大気圏とすべての個人に降臨すること（頂点が底辺の三角形）の象徴として、たとえば自身の著書の表紙に使用しました。（これは、彼の精神的パートナーであるマザーが 14 巻の『彼女の計画』で説明しており、シュリ・オーロビンドの著作の他の箇所でも説明されています。）^{[引用が必要]}

• ヒースロー空港の主要滑走路と誘導路は、おおよそ六芒星の形に配置されていた。^[13]
• ワージング駅のプラットホーム 2 の天蓋 (英国)の支柱には、円の中に六芒星が目立つように組み込まれています。
• グアテマラのエル・テハル市の中央公園には、非常に大きな木製の六芒星が立っています。さらに、毎年クリスマスになると、エル・テハルの住民は市庁舎の前に、頂上に六芒星を置いた巨大な人工クリスマスツリーを立てます。

• Unicodeでは、「ダビデの星」の記号 ✡ は U+2721 でエンコードされます。

図形{6/3}は3つの二角形の合成として表すことができます。

他の六十四卦は連続した道として構築することができます。

• 五芒星
• ベツレヘムの星
• ダビデの星
• ソロモンの印章
• 七芒星
• セレミック一筆書き の六芒星
• パスカルの神秘的な六芒星
• 六十四卦（易経）
• 神聖幾何学

• ショーレム、ゲルショム（1949年9月）。「六芒星の奇妙な歴史：『マゲン・ダビデ』がユダヤのシンボルとなった経緯」。コメンタリー誌。2018年7月10日閲覧。
• グラハム、OJ博士『六芒星：その起源と使用法』第4版。トロント：フリープレス777、2001年。ISBN 0-9689383-0-2 
• Grünbaum, B.および GC Shephard; Tilings and patterns、ニューヨーク: WH Freeman & Co.、(1987)、ISBN 0-7167-1193-1。 
• Grünbaum, B. ; 中空面を持つ多面体、NATO-ASI 多面体に関する会議議事録 ... 等 (トロント 1993)、T. Bisztriczky 他編、Kluwer Academic (1994) pp. 43–70。
• ウェッセリー、同書、31、112ページ

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ウィキメディア・コモンズには、六十四卦に関連するメディアがあります。

• 六芒星 (MathWorld)
• インドの原型的な曼荼羅
• ミュンヘン大学の醸造のシンボルとしての六十四卦に関する論文