テッセラクト

テッセラクト 8 セル (4 キューブ)
タイプ	凸正則4次元多面体
シュレーフリ記号	{4,3,3} t 0,3 {4,3,2} または {4,3}×{ } t 0,2 {4,2,4} または {4}×{4} t 0,2,3 {4,2,2} または {4}×{ }×{ } t 0,1,2,3 {2,2,2} または { }×{ }×{ }×{ }
コクセター図
細胞	8 {4,3}
顔	24 {4}
エッジ	32
頂点	16
頂点図形	四面体
ペトリー多角形	八角形
コクセターグループ	B4 ,[3,3,4 ]
デュアル	16セル
プロパティ	凸面、等角面、等等面体、等面体、ハンナー多面体
均一インデックス	10

無料辞書『ウィクショナリー』で「tesseract」を調べてください。

幾何学において、四次元立方体（テッセラクト、英: Tesseract ）または4次元立方体は、2次元の正方形や3次元の立方体と類似した4次元の超立方体である。^[1]正方形の周囲が4つの辺で構成され、立方体の表面が6つの正方形の面で構成されているのと同様に、四次元立方体の超曲面は、直角に交わる8つの立方体セルで構成される。四次元立方体は、6つの凸正多面体のうちの1つである。

四次元立方体は、 8セル、C ₈、（正）オクタコロン、または立方柱とも呼ばれます。これは、超体積の単位としてとられた4次元測定多面体です。 ^[2] コクセターはこれをγ ₄多面体と名付けました。^{[3]次元を参照しない}超立方体 という用語は、この特定の多面体の同義語として扱われることがよくあります。

オックスフォード英語辞典は、テッセラクトという言葉をチャールズ・ハワード・ヒントンの1888年の著書『思想の新時代』に遡らせている。この用語はギリシャ語の テッサラ（τέσσαρα「4」）とアクティス（ἀκτίς 「光線」）に由来し、各頂点から他の頂点までの4つの辺を指す。ヒントンはもともとこの単語をテッサラクトと綴っていた。^[4]

3 つの立方体が各辺に沿って折り重なった正多面体であるため、超八面体対称性の位数が 384 のシュレーフリ記号{4,3,3}を持ちます。2 つの平行な立方体でできた4Dハイパープリズムとして構築されているため、対称性位数が 96 の合成シュレーフリ記号 {4,3} × { } と名付けることができます。2 つの正方形の直積である 4-4デュオプリズムであるため、対称性位数が 64 の合成シュレーフリ記号 {4}×{4} と名付けることができます。直交多面体であるため、対称性位数が 16 の合成シュレーフリ記号 { } × { } × { } × { } または { } ⁴で表すことができます。

四次元方陣の各頂点は 4 つの辺に隣接しているので、四次元方陣の頂点図形は正四面体です。四次元方陣の双対多面体は、シュレーフリ記号 {3,3,4} を持つ16 セルであり、これと組み合わせると四次元方陣と 16 セルの複合体を形成できます。

通常の 4 次元方陣の各辺の長さは同じです。これは、並列コンピューティングで複数のプロセッサをリンクするためのネットワーク トポロジの基礎として 4 次元方陣を使用する場合に重要です。2 つのノード間の距離は最大 4 であり、重みのバランスをとるためにさまざまなパスが存在します。

テッセラクト (四次元方陣) は、8 つの 3 次元超平面で囲まれています。平行でない超平面の各ペアは交差して、24 個の正方形面を形成します。各辺では、3 つの立方体と 3 つの正方形が交差します。各頂点には、4 つの立方体、6 つの正方形、4 つの辺が交わっています。全体として、テッセラクト (四次元方陣) は、8 つの立方体、24 個の正方形、32 の辺、16 個の頂点で構成されます。

単位四次元方陣は、辺の長さが1で、通常、 4 次元空間の超体積の基本単位とされます。4次元空間の直交座標系における単位四次元方陣には、座標[0, 0, 0, 0]と[1, 1, 1, 1]に 2 つの反対の頂点があり、その他の頂点の座標は0と1のすべての可能な組み合わせになります。これは、各軸の閉じた単位区間[0, 1]の直交積です。

単位四次元方陣は原点を中心とする場合があり、その場合、座標はより対称的になります。これは、各軸の 閉区間の直積です。${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$${\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}}$

もう一つの便利な四次元方陣は、各軸の閉区間[−1, 1]の直積で、頂点の座標が(±1, ±1, ±1, ±1)である。この四次元方陣の辺の長さは 2 で、超体積は2 ⁴ = 16である。

多面体の展開はネットと呼ばれます。四次元方陣には261の異なるネットがあります。^{[5] 四次元}方陣の展開は、ネットをペアになった木（補集合に完全一致する木）にマッピングすることで数えることができます。

ハイパーキューブの構築は次のように考えることができます。

• 1 次元: 2 つの点 A と B を接続して直線にすることができ、新しい線分 AB が生成されます。
• 2 次元: AB の距離で離れた 2 つの平行線分 AB と CD を接続すると正方形になり、角は ABCD としてマークされます。
• 3 次元: AB の距離で離れた 2 つの平行な正方形 ABCD と EFGH を接続すると立方体になり、角は ABCDEFGH としてマークされます。
• 4 次元: AB の距離で隔てられた 2 つの平行な立方体 ABCDEFGH と IJKLMNOP を接続すると、四次元立方体になり、その角は ABCDEFGHIJKLMNOP としてマークされます。ただし、2 つの立方体を、対応する 8 つの頂点のペアがそれぞれ AB の距離で隔てられるように平行に配置することは、4 次元以上の空間でのみ実現できます。

テッセラクト（四次元立方体）の8つのセルは、4つの立方体が連結した2つのリングとして（3つの異なる方法で）考えることができます。^[6]

四次元方陣は、より小さな4次元多面体に分解できる。これは、2つの半四次元方陣（16セル）の複合体の凸包である。また、四次元方陣と頂点を共有する4次元単体（不規則な5セル）に三角形分割することもできる。このような三角形分割は92,487,256個あり^[7]、その中で4次元単体が最も少ないのは16個である^[8]。

テッセラクトをその特徴的な単体（コクセター図を含む特定のオルソスキーム）のインスタンスに分解する) は、四次元方陣の最も基本的な直接構築方法です。4次元立方体の特性 5 セルは、四次元方陣を定義する対称群の基本領域であり、この群はB ₄多面体を生成します。四次元方陣の特性単体は、自身の境界面 (ミラー壁) に自身を反映させることで、群の作用を通じて四次元方陣を直接生成します。

正多面体に外接する超球面の半径は、多面体の中心から頂点の 1 つまでの距離であり、四次元立方体の場合、この半径は辺の長さに等しくなります。球の直径、つまり四次元立方体の反対の頂点間の対角線の長さは、辺の長さの 2 倍です。この特性を持つ均一多面体は、4 次元の四次元立方体と24 セル、3 次元の立方八面体、2 次元の六角形など、ごくわずかです。特に、四次元立方体は、放射状に正三角形 となる唯一の超立方体です (0 次元の点を除く) 。辺の長さが単位の 次元超立方体の頂点間の最長の対角線は で、正方形の場合は、立方体の場合は、四次元立方体の場合のみ の辺の長さ です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n{\vphantom {t}}}},}$${\displaystyle {\sqrt {2}},}$${\displaystyle {\sqrt {3}},}$${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

単位半径の3次元球面に内接する軸に沿った四次元方陣の頂点の座標は次のようになる。${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

辺の長さがs の四次元方陣の場合:

• ハイパーボリューム（4D）：${\displaystyle H=s^{4}}$
• 表面の「ボリューム」（3D）：${\displaystyle SV=8s^{3}}$
• 顔の対角線：${\displaystyle d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s}$
• セルの対角線:${\displaystyle d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s}$
• 4 スペース対角線:${\displaystyle d_{\mathrm {4} }=2s}$

この構成行列は、四次元方陣を表します。行と列は、頂点、辺、面、セルに対応します。対角の数字は、四次元方陣全体で各要素がいくつ出現するかを示します。対角は、f ベクトル(16,32,24,8) に縮小されます。

非対角数は、列の要素が行の要素にいくつ出現するかを示します。^[9]たとえば、2行目の最初の列の2は、各辺に（つまり、端に）2つの頂点があることを示し、1行目の最初の列の4は、各頂点で4つの辺が交わることを示します。

一番下の行は面（ここでは立方体）を定義し、f ベクトル（8,12,6）を持ちます。対角線の左の次の行はリッジ要素（立方体の面）で、ここでは正方形（4,4）です。

上の行は頂点図形の f ベクトルで、ここでは四面体 (4,6,4) です。次の行は頂点図形の稜線で、ここでは三角形 (3,3) です。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

立方体を 2 次元空間に投影するのと同様に、四次元立方体を 3 次元および 2 次元空間に投影することが可能です。

テッセラクト(Tesseract) を 3 次元空間にセルを優先して平行投影すると、立方体のエンベロープが形成されます。最も近いセルと最も遠いセルは立方体に投影され、残りの 6 つのセルは立方体の 6 つの正方形の面に投影されます。

テッセラクト面を ​​3 次元空間に平行投影すると、直方体のエンベロープが形成されます。2組のセルはこのエンベロープの上半分と下半分に投影され、残りの 4 つのセルは側面に投影されます。

テッセラクトから 3 次元空間への辺優先平行投影では、六角柱の形状のエンベロープが形成されます。6 つのセルが菱形柱に投影され、菱形柱は、頂点優先投影で 3D 立方体の面が六角形のエンベロープ内の 6 つの菱形に投影されるのと同じように、六角柱内に配置されます。残りの 2 つのセルは、柱の底面に投影されます。

四次元方陣を頂点優先で三次元空間に平行投影すると、菱形十二面体のエンベロープが得られます。四次元方陣の 2 つの頂点は原点に投影されます。菱形十二面体を 4 つの合同な菱形面体に分割する方法は 2 つだけあり、合計 8 つの菱形面体が得られ、それぞれが四次元方陣の投影された立方体になります。この投影は、体積が最大になる投影ベクトルの 1 セットは、 u = (1,1,−1,−1)、v = (−1,1,−1,1)、w = (1,−1,−1,1)です。

四次元方陣は、他の超立方体と同様に、ユークリッド空間をモザイク状に分割します 。各面の周りに4つの四次元方陣で構成される自己双対の四次元ハニカムは、シュレーフリ記号{4,3,3,4}を持ちます。したがって、四次元方陣の二面角は90°です。^[10]

テッセラクト (teseract) の放射状正三角形対称性により、そのテッセレーションは、任意の次元数において、等しい大きさの球体から 成る唯一の規則的な体心立方格子になります。

テッセラクト (四次元立方体) はハイパーキューブシリーズの 4 番目です。

四次元体 (8 セル) は、6 つの凸正多面体のシーケンスの中で 3 番目です (サイズと複雑さの順)。

均一なデュオプリズムとして、テッセラクト（四次元方位角錐）は均一なデュオプリズムのシーケンス（{ p }×{4}）内に存在します。

正四次元方陣は、 16 セルとともに、同じ対称性を持つ 15 個の均一な 4 次元多面体の集合に存在します。四次元方陣 {4,3,3} は、正四次元多面体とハニカムのシーケンス{ p ,3,3}に存在し、四面体 頂点図形{3,3} を持ちます。四次元方陣は、立方セルを持つ正四次元多面体とハニカムのシーケンス{4,3, p }にも存在します。

正則複素多面体 ₄ {4} ₂、は、4次元空間における四次元方陣または4-4デュオプリズムとして実数表現される。4 {4} _{2 に}は16の頂点と8つの4辺がある。その対称性は_{4 [} 4] ₂、次数32である。また、より低い対称性構成を持ち、${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$、または₄ {}× ₄ {}、対称性₄ [2] ₄、順序16。これは、赤と青の4辺が異なると見なされる場合の対称性です。^[11]

4 次元ハイパーキューブは発見されて以来、芸術、建築、SF で人気のテーマとなっています。注目すべき例には次のようなものがあります。

• ロバート・ハインラインの1940年のSF小説「そして彼は歪んだ家を建てた」では、 4次元の超立方体の形をした建物が登場する。 ^[12]この作品と1946年に出版されたマーティン・ガードナーの「ノーサイド教授」は、メビウスの帯、クラインの壺、超立方体（テッセラクト）を読者に紹介した最初のSF小説の一つである。
• 磔刑（超立方体コーパス）は、サルバドール・ダリが1954年に描いた油絵で、四次元の超立方体が三次元のラテン十字架に展開されている様子が描かれている。 ^[13]
• グランダルシュは、フランスのパリ近郊に​​ある記念碑と建物で、1989年に完成しました。記念碑のエンジニアであるエリック・ライツェルによると、グランダルシュはハイパーキューブの投影に似せて設計されました。^[14]
• Fez は、他のキャラクターが見ることができる2次元を超えて見ることができるキャラクターを操作し、この能力を使ってプラットフォームパズルを解くビデオゲームです。「ドット」と呼ばれるテッセラクトが登場し、プレイヤーが世界をナビゲートするのを助け、能力の使い方を教えてくれます。これは、既知の次元空間の人間の知覚を超えて見るというテーマにぴったりです。 ^[15]

テッセラクトという語は、SF作品のプロット装置など、大衆文化においてさまざまな用途に採用されてきたが、4次元ハイパーキューブとはほとんどまたは全く関係がないことが多い。テッセラクト (曖昧さ回避)を参照。

• 数学と芸術

• Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (第3版). ニューヨーク: ドーバー. pp. 122–123.
• F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス（1995）『カレイドスコープ：HSMコクセター選集』ワイリー・インターサイエンス出版ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文 22) HSM Coxeter、正および半正則多面体 I、数学ツァイシュリフト46 (1940) 380–407、MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Coxeter, HSM (1970)、「ねじれたハニカム」、数学科学会議委員会数学地域会議シリーズ、4、プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学協会
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス（2008）『The Symmetries of Things』、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章、409ページ：Hemicubes：1 _n1） 
• T. ゴセット(1900) 「n 次元空間の正則図形と半正則図形について」、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン。
• ホール、 T . プロクター(1893)。「3 平面への 4 次元図形の投影」。アメリカ数学ジャーナル。15 ( 2): 179–189。doi :10.2307/2369565。JSTOR  2369565。
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン:均一多面体とハニカムの理論、Ph.D. (1966)
• Victor Schlegel（1886）Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-Dimensionen Körper、Waren。

• Klitzing、Richard。「4D 均一多面体 (polychora) x4o3o3o - tes」。
• ケン・パーリンのホームページ ハイパーキューブを視覚化する方法、ケン・パーリン著
• 「第四次元に関するいくつかのノート」には、ダビデ・P・セルヴォーネによる、テッセラクトに関するさまざまな側面についてのアニメーションチュートリアルが含まれています。
• 隠れたボリュームを除去したTesseractアニメーション