直交性（数学）

数学において、直交性は、幾何学的概念の直交性を双線型形式の線型代数に一般化したものである。

双線型形式のベクトル空間の2つの要素uとv は、のとき直交します。双線型形式によっては、ベクトル空間にヌルベクトル、つまりゼロでない自己直交ベクトルが含まれる場合があり、その場合、直交性は双曲直交性に置き換えられます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}$

関数空間の場合、関数の族は、直交多項式、直交関数、および組合せ論のコンテキストなどで、直交基底を形成するために使用されます。

• 幾何学では、2 つのユークリッド ベクトルが直交するとは、それらが垂直である、つまり直角を形成する場合です。
• 内積空間内の2つのベクトル uとvは、それらの内積が0である場合に直交します。^[2] この関係は と表されます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {v} }$
• 直交行列は、列ベクトルが互いに正規直交する行列です。
• 正規直交基底は、ベクトルが直交かつ正規化されている（単位ベクトルである）基底です。
• 等角線形変換は角度と距離の比を保存します。つまり、同じ等角線形変換で直交ベクトルを変換すると、それらのベクトルは直交したままになります。
• 内積空間の2 つのベクトル部分空間 と は、の各ベクトルがの各ベクトルに直交する場合、直交部分空間と呼ばれます。 与えられた部分空間に直交する の最大の部分空間は、その直交補空間です。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$
• モジュール とその双対が与えられたとき、の元との元は、それらの自然なペアリングがゼロ、つまり である場合に直交します。2つの集合と が直交するとは、 の各元がの各元に直交する場合です。^[3]${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle m'}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \langle m',m\rangle =0}$${\displaystyle S'\subseteq M^{*}}$${\displaystyle S\subseteq M}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$
• 項書き換えシステムは、左線形かつ曖昧でない場合、直交していると言われます。直交項書き換えシステムは合流性があります。

内積空間内のベクトルの集合は、それらの各ペアが直交する場合、ペアワイズ直交と呼ばれます。そのような集合は直交集合と呼ばれます。

場合によっては、「正規」という語は、特に表面の法線のような幾何学的な意味で直交を意味するために使用されます。たとえば、y軸は原点における曲線に対して垂直です。ただし、 「正規」はベクトルの大きさを指す場合もあります。特に、単位ベクトルの直交集合である場合、その集合は正規直交(直交と正規を加えたもの) と呼ばれます。そのため、「正規」という語を「直交」の意味で使用することは避けられることが多いです。「正規」という語は、確率と統計においても異なる意味を持ちます。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

双線型形式を持つベクトル空間は、内積の場合を一般化します。2 つのベクトルに双線型形式を適用した結果が 0 になる場合、それらのベクトルは直交します。擬似ユークリッド平面の場合は、双曲直交性という用語を使用します。図では、軸 x′ と t′ は任意の に対して双曲直交です。 ${\displaystyle \phi}$

ユークリッド空間では、2つのベクトルが直交するのは、それらの内積がゼロ、つまり90°（ラジアン）の角度を形成するか、ベクトルの1つがゼロである場合のみです。 ^[4]したがって、ベクトルの直交性は、任意の次元の空間への 垂直ベクトルの概念の拡張です。${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

部分空間の直交補空間は、部分空間内のすべてのベクトルに直交するすべてのベクトルの空間です。3次元ユークリッドベクトル空間では、原点を通る直線の直交補空間は、原点を通る直線に垂直な平面であり、その逆も同様です。^[5]

2 つの平面が垂直であるという幾何学的概念は、直交補平面に対応しないことに注意してください。これは、3 次元では、垂直な 2 つの平面のそれぞれからのベクトルのペアが任意の角度で交わる可能性があるためです。

4次元ユークリッド空間では、直線の直交補平面は超平面であり、その逆もまた同様であり、平面の直交補平面は平面である。^[5]

積分法を使用すると、区間 上の非負の重み関数に関して、2 つの関数と の内積を定義するために、次の式を使用するのが一般的です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

単純なケースでは、. ${\displaystyle w(x)=1}$

関数と の内積（つまり、この積分の値）がゼロである場合、 関数と は直交していると言えます。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=0.}$

2 つの関数が 1 つの内積に関して直交しているからといって、別の内積に関して直交しているとは限りません。

この内積に関する ノルムは次のように表される。

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

関数の集合の要素が区間に関して直交する場合、 ${\displaystyle {f_{i}\mid i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle w}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=0\mid i\neq j.}$

このような関数の集合の要素は、区間上でに関して正規直交である。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=\delta _{ij},}$

どこ

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&&i=j\\0,&&i\neq j\end{matrix}}\right.}$

クロネッカーのデルタです。

言い換えれば、それらのすべてのペア（関数とそれ自身とのペアを除く）は直交しており、それぞれのノルムは 1 です。特に直交多項式を参照してください。

• およびなので、ベクトルは互いに直交します。${\displaystyle (1,3,2)^{\text{T}},(3,-1,0)^{\text{T}},(1,3,-5)^{\text{T}}}$${\displaystyle (1)(3)+(3)(-1)+(2)(0)=0\ ,}$ ${\displaystyle \ (3)(1)+(-1)(3)+(0)(-5)=0\ ,}$${\displaystyle (1)(1)+(3)(3)+(2)(-5)=0}$
• ベクトルと は互いに直交しています。これらのベクトルのドット積はゼロです。次に、 のベクトルを一般化して考えることができます。ある正の整数、および に対して、これらのベクトルは直交します。たとえば、、は直交します。${\displaystyle (1,0,1,0,\ldots )^{\text{T}}}$${\displaystyle (0,1,0,1,\ldots )^{\text{T}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}=\sum _{i=0 \atop ai+k<n}^{n/a}\mathbf {e} _{i}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1\leq k\leq a-1}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0&0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}}$
• 関数と関数は、-1から1までの区間における単位重み関数に関して直交する。${\displaystyle 2t+3}$${\displaystyle 45t^{2}+9t-17}$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0}$$
• 関数は、区間、または長さ の任意の閉区間上のリーマン積分に関して直交します。この事実は、フーリエ級数において中心的な事実です。${\displaystyle 1,\sin {(nx)},\cos {(nx)}\mid n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle [0,2\pi ],[-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle 2\pi }$

過去の数学者にちなんで名付けられたさまざまな多項式列は、直交多項式の列です。特に、

• エルミート多項式は平均値がゼロのガウス分布に対して直交します。
• ルジャンドル多項式は、区間上の一様分布に対して直交します。${\displaystyle [-1,1]}$
• ラゲール多項式は指数分布に対して直交します。より一般的なラゲール多項式列はガンマ分布に対して直交します。
• 第一種チェビシェフ多項式は測度に関して直交する。${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
• 第二種チェビシェフ多項式はウィグナー半円分布に対して直交する。

組合せ論では、2つのラテン方陣を重ね合わせるとすべての可能な組み合わせが得られる場合、それらの方陣は直交していると言われる。 ^[6]${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n^{2}}$

ユークリッド四次元空間の二つの平面と が完全に直交しているとは、 のすべての直線がのすべての直線に直交する場合に限ります。^[7]その場合、平面と は一点で交差するため、 の直線がの直線と交差する場合、それらは で交差します。と は垂直であり、クリフォード平行です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle O}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle O}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

4 次元空間では、点を通る 4 本の垂直軸と 6 本の垂直平面を作成できます。一般性を失うことなく、これらをデカルト座標系の軸と直交中心平面と見なすことができます。4 次元には、3 次元と同じ 3 つの直交平面があり、さらに 3 つの他の直交平面もあります。6 つの直交平面のそれぞれは、他の 4 つの平面と軸を共有し、他の 1 つの平面とのみ完全に直交します。つまり、軸を共有しない唯一の平面です。したがって、完全に直交する平面が 3 組あります。と は原点のみで交差します。と は原点のみで交差します。と は原点のみで交差します。 ${\displaystyle (w,x,y,z)}$${\displaystyle (xy,xz,yz)}$${\displaystyle (wx,wy,wz)}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle wz}$${\displaystyle xz}$${\displaystyle wy}$${\displaystyle yz}$${\displaystyle wx}$

より一般的には、次元の 2 つの平坦な部分空間とと、少なくとも次元のユークリッド空間のが完全に直交しているとは、 内のすべての直線が 内のすべての直線と直交する場合をいいます。 の場合、と は1 つの点 で交差します。 の場合、と は交差する場合も交差しない場合もあります。の場合、 内の直線と 内の直線は交差する場合も交差しない場合もあります。交差する場合は で交差します。^[8]${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M+N}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle \dim(S)=M+N}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \dim(S)>M+N}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle \dim(S)=M+N}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle O}$

無料辞書『ウィクショナリー』で「直交」を調べてください。

• 虚数
• 直交補数
• 直交群
• 直交行列
• 直交多項式
• 直交軌道
• 直交化
  • グラム・シュミット過程
• 正規直交基底
• 正規直交性
• 汎直交性はコクアタニオンで発生する
• アップタック