放物線

数学において、放物線（/ pəˈræbələ / pə- RA - bə -lə ）は、鏡面対称でほぼU字型の平面曲線です。一見異なるように見えるいくつかの数学的記述に当てはまりますが、それらはすべて全く同じ曲線を定義していることが証明できます。

放物線の説明の一つは、点（焦点）と線（準線）を用いるものです。焦点は準線上にはありません。放物線は、その平面上で準線と焦点から等距離にある点の軌跡です。放物線の別の説明としては、直円錐面と、円錐面に接する別の平面に平行な平面との交線から作られる円錐曲線として表されるものがあります。 ^[^a^]

二次関数のグラフ $y=ax^{2}+bx+c$ （と $a\neq 0$ ）は、対称軸が $y$ 軸と一致する放物線です。逆に、そのような放物線はすべて二次関数のグラフです。

準線に垂直で焦点を通る線（つまり、放物線を中央で分割する線）を「対称軸」と呼びます。放物線が対称軸と交わる点を「頂点」と呼び、放物線が最も急な曲線を描く点です。頂点と焦点の間の距離を対称軸に沿って測ったものを「焦点距離」と呼びます。「正弦線」とは、準線に平行で焦点を通る放物線の弦のことです。放物線は、上、下、左、右、またはその他の任意の方向に開くことができます。どの放物線も、他のどの放物線にもぴったり合うように位置やサイズを変えることができます。つまり、すべての放物線は幾何学的に相似です。

Parabolas have the property that, if they are made of material that reflects light, then light that travels parallel to the axis of symmetry of a parabola and strikes its concave side is reflected to its focus, regardless of where on the parabola the reflection occurs. Conversely, light that originates from a point source at the focus is reflected into a parallel ("collimated") beam, leaving the parabola parallel to the axis of symmetry. The same effects occur with sound and other waves. This reflective property is the basis of many practical uses of parabolas.

The parabola has many important applications, from a parabolic antenna or parabolic microphone to automobile headlight reflectors and the design of ballistic missiles. It is frequently used in physics, engineering, and many other areas.

History

The earliest known work on conic sections was by Menaechmus in the 4th century BC. He discovered a way to solve the problem of doubling the cube using parabolas. (The solution, however, does not meet the requirements of compass-and-straightedge construction.) The area enclosed by a parabola and a line segment, the so-called "parabola segment", was computed by Archimedes by the method of exhaustion in the 3rd century BC, in his The Quadrature of the Parabola. The name "parabola" is due to Apollonius, who discovered many properties of conic sections. It means "application", referring to "application of areas" concept, that has a connection with this curve, as Apollonius had proved.^[1] The focus–directrix property of the parabola and other conic sections was mentioned in the works of Pappus.

Galileo showed that the path of a projectile follows a parabola, a consequence of uniform acceleration due to gravity.

放物面反射鏡が像を生成できるという考えは、反射望遠鏡の発明以前からよく知られていた。^{[ 2 ]} 17 世紀初頭から中頃にかけて、ルネ・デカルト、マラン・メルセンヌ^[³^]、ジェームズ・グレゴリー^[⁴^]など多くの数学者によって設計が提案された。アイザック・ニュートンが1668 年に最初の反射望遠鏡を製作したとき、製作の難しさから放物面鏡の使用を避け、球面鏡を選んだ。放物面鏡は、現代のほとんどの反射望遠鏡、衛星放送受信アンテナ、レーダー受信機で使用されている。^[⁵^]

点の軌跡としての定義

放物線は、ユークリッド平面上の点の集合（軌跡）として、幾何学的に次のように定義できます。

放物線とは、固定点（焦点）からの距離が固定線（準線）からの距離と等しい点の集合である。つまり、 $F$ ⁠は焦点であり、 ⁠ $l$ は準線であり、放物線はすべての点の集合である。 $P$ ⁠そのため $d(P,F)=d(P,l),$ どこで $d$ ⁠はユークリッド距離を表します。

この距離が最小となる点は中点である。 $V$ 焦点からの垂直線 $F$ ディレクターへ $l.$ それは頂点と呼ばれ、焦点と準線からの距離が放物線の焦点距離である。

ライン $FV$ は放物線の唯一の対称軸であり、放物線の軸と呼ばれます。

デカルト座標系では

対称軸はy軸と平行である。

デカルト座標系では、頂点が $V$ は原点であり、準線は次の式で表されます。 $y=-f$ そして、事例を検証することで $x=0$ 焦点は $F$ ⁠はプラスです $y$ 軸、 $F=(0,f)$ 、そこで⁠ $f$ は焦点距離です。

上記の幾何学的特徴付けは、点が $P=(x,y)$ 放物線上にあるのは、 $x^{2}+(yf)^{2}=(y+f)^{2}.$ 解決する $y$ 収量 $y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$

この放物線はU字型（上に向かって開いている）です。

焦点を通る水平弦は方程式の直線上にある。 $y=f$ （冒頭の図を参照）；これは正弦線と呼ばれ、その半分は半正弦線です。正弦線は準線に平行です。半正弦線は次のように表されます。 $p$ 直腸円環の両端が満たす方程式から、次の式が得られる。 $p=2f.$ したがって、半直角は焦点から準線までの距離である。 $p$ 放物線の式は次のように書き換えることができる。 $x^{2}=2py.$

より一般的には、頂点が $V=(v_{1},v_{2})$ 焦点 $F=(v_{1},v_{2}+f)$ 、そしてディレクター $y=v_{2}-f$ すると、次の式が得られる。 $y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.$

備考：

もし $f<0$ 上記の式を用いると、下向きに開いた放物線が得られる。
軸がに平行であるという仮説 $y$ 軸は、放物線が二次関数のグラフであることを意味します。逆に、任意の二次関数のグラフは放物線です（次のセクションを参照）。
交換する場合 $x$ そして $y$ 次のような形式の方程式が得られる。 $y^{2}=2px$ これらの放物線は左に開きます（ $p<0$ ）または右（もし $p>0$ )

一般職

焦点が $F=(f_{1},f_{2})$ 、そしてディレクター $ax+by+c=0$ すると、次の式が得られる。 ${\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}$

（方程式の左辺は、直線のヘッセ標準形を使用して距離を計算します） $|Pl|$ )

一般の位置にある放物線の媒介変数方程式については、§単位放物線のアフィン像としてを参照してください。

放物線の陰関数方程式は、 2次の既約多項式によって定義される。 $ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,$ そのため $b^{2}-4ac=0,$ または同等に、 $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ は線形多項式の二乗です。

関数のグラフとして

前の節で示したように、原点を頂点とし、y軸を対称軸とする任意の放物線は、関数のグラフとみなすことができる。 $f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.$

のために $a>0$ 放物線は上に向かって開いており、 $a<0$ 下に向かって開いています（図を参照）。上記の断面から、次のことがわかります。

焦点は $\left(0,{\frac {1}{4a}}\right)$ 、
焦点距離 ${\frac {1}{4a}}$ 半直腸は $p={\frac {1}{2a}}$ 、
頂点は $(0,0)$ 、
準線は次の式を持つ $y=-{\frac {1}{4a}}$ 、
点における接線 $(x_{0},ax_{0}^{2})$ 方程式 $y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}$ 。

のために $a=1$ 放物線は、方程式で表される単位放物線です。 $y=x^{2}$ その焦点は $\left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)$ 半直腸 $p={\tfrac {1}{2}}$ 準線は次の式で表される。 $y=-{\tfrac {1}{4}}$ 。

2次の一般関数は $f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.$ 平方完成すると $f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},$ これは放物線の式で、

軸 $x=-{\frac {b}{2a}}$ （ y軸に平行）
焦点距離 ${\frac {1}{4a}}$ 半直腸 $p={\frac {1}{2a}}$ 、
頂点 $V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)$ 、
焦点 $F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)$ 、
ディレクター $y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}$ 、
放物線がy軸と交わる点の座標は $(0,c)$ 、
y軸上の点における接線は次の式で表される。 $y=bx+c$ 。

単位放物線との類似性

放物線が $\color {blue}{y=2x^{2}}$ が係数2で均一にスケーリングされると、結果は放物線になります。 $\color {red}{y=x^{2}}$

{\displaystyle \color {blue}{y=2x^{2}}} — 放物線が $\color {blue}{y=2x^{2}}$ が係数2で均一にスケーリングされると、結果は放物線になります。 $\color {red}{y=x^{2}}$

ユークリッド平面上の2つの物体は、一方を相似変換、つまり剛体運動（並進と回転）と均一なスケーリングの任意の組み合わせによって他方に変換できる場合に相似である。

放物線 ${\mathcal {P}}$ 頂点付き $V=(v_{1},v_{2})$ 翻訳によって変換できます $(x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})$ 原点を頂点とする放物線に変換します。原点を中心とした適切な回転により、放物線を $y$ 軸を対称軸とする放物線に変換できます。したがって放物線は ${\mathcal {P}}$ 剛体運動によって方程式を持つ放物線に変換できる $y=ax^{2},\ a\neq 0$ このような放物線は、均一なスケーリングによって変換することができる。 $(x,y)\to (ax,ay)$ 方程式の単位放物線に $y=x^{2}$ したがって、任意の放物線は相似によって単位放物線に写像することができる。^{[ 6 ]}

相似三角形を用いた合成的なアプローチによっても、この結果を立証することができる。^{[ 7 ]}

一般的に、2 つの円錐曲線 (必ず同じ種類のもの) は、離心率が同じである場合に限り相似である。 ^{[ 6 ]}したがって、円 (すべて離心率が 0) だけが放物線 (すべて離心率が 1) とこの性質を共有し、一般的な楕円や双曲線は共有しない。

放物線を写像する他の単純なアフィン変換もある $y=ax^{2}$ 単位放物線上に、例えば $(x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)$ しかし、この写像は相似ではなく、すべての放物線がアフィン的に等価であることを示しているだけです（§ 単位放物線のアフィン像として参照）。

特別な円錐曲線として

x軸を対称軸とし、原点(0, 0)に1つの頂点を持ち、半正弦が同じ円錐曲線束。 $p$ 方程式で表すことができる $y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,$ と $e$ その奇抜さ。

のために $e=0$ 円錐曲線は円（鉛筆の接円）です。
のために $0<e<1$ 楕円、
のために $e=1$ 方程式で表される放物線 $y^{2}=2px,$
のために $e>1$ 双曲線（図を参照）。

極座標では

$p > 0$ の場合、方程式の放物線 $y^{2}=2px$ （右開き）極座標表示 $r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$ どこ $r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi$ 。

その頂点は $V=(0,0)$ 、そしてその焦点は $F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)$ 。

原点を焦点に移動させると、 $F=(0,0)$ すると、次の式が得られる。 $r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.$

注1：この極座標形式を反転すると、放物線は心臓形の逆であることがわかります。

注釈2：第2極形式は、焦点を持つ円錐曲線の束の特殊な場合である。 $F=(0,0)$ （写真参照） $r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}$ （ $e$ （偏心率）

円錐曲線と二次形式

図、説明、および定義

図は、軸がAVである円錐を表しています。点 A はその頂点です。ピンク色で示された円錐の傾斜断面は、円錐の側面と同じ角度 $θ$ だけ軸から傾いています。放物線は円錐曲線であるという定義によれば、このピンク色の断面 EPD の境界は放物線です。

円錐の軸に垂直な断面は、放物線の頂点 P を通ります。この断面は円形ですが、図に示すように斜めから見ると楕円形に見えます。その中心は V で、PKは直径です。その半径を $r$ とします。

円錐の軸に垂直なもう一つの円形断面は、先ほど説明した断面よりも頂点Aから遠い位置にあります。この断面には、放物線と円が交わる点を結ぶ弦DEがあります。もう一つの弦BCはDEの垂直二等分線であり、円の直径となります。これら2つの弦と放物線の対称軸PMはすべて点Mで交わります。

DとEを除くすべてのラベル付き点は同一平面上にあります。これらは図全体の対称面上にあります。これには、上記では言及されていない点Fも含まれます。点Fについては、後述の「焦点の位置」の項で定義および説明します。

DMとEMの長さを $x 、$ PMの長さを $y$ としよう。

二次方程式の導出

BMとCMの長さは以下のとおりです。

${\overline {\mathrm {BM} }}=2y\cos \theta$ （三角形BPMは二等辺三角形です。なぜなら ${\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC$
${\overline {\mathrm {CM} }}=2r$ （PMCKは平行四辺形です。）

弦BCとDEに交差弦定理を適用すると、 ${\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.$

置換: $4ry\cos \theta =x^{2}.$

並べ替え: $y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.$

任意の円錐と放物線において、 $r$ と $θ$ は定数ですが、 $x$ と $yは$ 水平断面BECDが作られる任意の高さに依存する変数です。この最後の式は、これらの変数間の関係を示しています。これらは、Pを原点とするピンク色の平面上の座標系における点DとEのデカルト座標として解釈できます。式では $xが2乗されているため、DとEが$ $y$ 軸の反対側にあることは重要ではありません。水平断面が円錐の頂点に向かって上下に移動したり、頂点から離れたりすると、DとEは放物線に沿って移動し、常に式で示される $x$ と $y$ の関係を維持します。したがって、放物線は式を満たす点の軌跡であり、式中の2次関数のデカルトグラフとなります。

焦点距離

前の節で、放物線の頂点が原点にあり、正の $y$ 方向に開いている場合、その方程式は $y = ⁠ x 2 / 4 f ⁠$ であることが証明されています。ここで $f$ はその焦点距離です。^{[ b ]}これを上記の最後の方程式と比較すると、円錐内の放物線の焦点距離は $r cos θ$ であることがわかります。

焦点の位置

上の図では、点 V は放物線の頂点から円錐の軸に下ろした垂線の足です。点F は点V から放物線の平面に下ろした垂線の足です。 ^{[ c ]}対称性により、F は放物線の対称軸上にあります。角 VPF は $θ$ の補角であり、角 PVF は角 VPF の補角であるため、角 PVF は θ です。PV $の$ 長さは $r$ なので、放物線の頂点から F までの距離は $r$ $sin$ $θ$ です。この距離は放物線の焦点距離、つまり頂点から焦点までの距離に等しいことが上で示されています。したがって、焦点と点F は頂点から同じ線上に等距離にあり、同じ点であることを意味します。したがって、上で定義された点F は放物線の焦点です。

この議論は、放物線を円錐曲線として定義することから始まったが、今では二次関数のグラフとして記述するに至っている。これは、これら二つの記述が等価であることを示している。どちらも全く同じ形状の曲線を定義しているのだ。

ダンデリン球を用いた別の証明

別の証明方法として、ダンデリン球を用いる方法もある。この方法は計算を必要とせず、基本的な幾何学的考察のみを用いる（以下の導出を参照）。

直立した円錐と平面の交点 $\pi$ 垂直方向からの傾斜角が母線（円錐の頂点と円錐面上の点を含む線）と同じである。 $m_{0}$ 円錐の曲線は放物線（図中の赤い曲線）です。

この生成子 $m_{0}$ は、平面に平行な円錐の唯一の母線である。 $\pi$ それ以外の場合、交差する平面に平行な母線が 2 つある場合は、交線は双曲線になります( 2 つの母線が交差する平面内にある場合は退化双曲線になります)。交差する平面に平行な母線がない場合、交線は楕円または円(または点) になります。

飛行機を $\sigma$ 円錐の垂直軸と直線を含む平面とする $m_{0}$ 平面の傾斜 $\pi$ 垂直方向からの線と同じ $m_{0}$ つまり、横から見ると（つまり、平面から見ると） $\pi$ 平面に垂直である $\sigma$ ) $m_{0}\parallel \pi$ 。

放物線の準線特性を証明するために（上記の§ 点の軌跡としての定義を参照）、ダンデリン球を用いる。 $d$ これは円周に沿って円錐に接する球体である。 $c$ そして飛行機 $\pi$ 地点で $F$ 円を含む平面 $c$ 平面と交差する $\pi$ 行で $l$ 平面からなるシステムには鏡面対称性がある $\pi$ タンポポ球 $d$ そして円錐（対称面は $\sigma$ )

円を含む平面 $c$ 平面に垂直である $\sigma$ 、そして $\pi \perp \sigma$ それらの交線 $l$ 平面に垂直でなければならない $\sigma$ 行以来 $m_{0}$ 飛行機に乗っています $\sigma$ 、 $l\perp m_{0}$ 。

調べてみると、 $F$ は放物線の焦点であり、 $l$ は放物線の準線です。

させて $P$ 交点曲線上の任意の点とする。
円錐の母線 $P$ 円と交差する $c$ 地点で $A$ 。
線分 ${\overline {PF}}$ そして ${\overline {PA}}$ 球面に接している $d$ したがって、長さは同じである。
ジェネラトリックス $m_{0}$ 円と交差する $c$ 地点で $D$ 線分 ${\overline {ZD}}$ そして ${\overline {ZA}}$ 球面に接している $d$ したがって、長さは同じである。
線を $q$ に平行な線とする $m_{0}$ そしてその地点を通過する $P$ 。以来 $m_{0}\parallel \pi$ 、そしてポイント $P$ 飛行機に乗っています $\pi$ 、ライン $q$ 飛行機に乗っていなければならない $\pi$ 。以来 $m_{0}\perp l$ 私たちは知っている $q\perp l$ 同じように。
点を $B$ 点から垂線を下ろした足となる $P$ 線に $l$ つまり、 ${\overline {PB}}$ 線分 $q$ 、したがって ${\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}$ 。
切片定理から ${\overline {ZD}}={\overline {ZA}}$ 私たちは知っている ${\overline {PA}}={\overline {PB}}$ 。以来 ${\overline {PA}}={\overline {PF}}$ 私たちは知っている ${\overline {PF}}={\overline {PB}}$ つまり、 $P$ 焦点へ $F$ からの距離に等しい $P$ ディレクターへ $l$ 。

反射特性の証明

反射特性とは、放物線が光を反射できる場合、対称軸に平行に入射した光は焦点に向かって反射されるという性質である。これは、光が光線として伝わるという仮定に基づいた幾何光学から導き出される。

放物線 $y = x² を$ 考えてみましょう。すべての放物線は相似なので、この単純なケースは他のすべてのケースを代表しています。

構成と定義

点 E は放物線上の任意の点です。焦点は F、頂点は A (原点)、直線FA は対称軸です。直線ECは対称軸に平行で、 $x$ 軸と点 D で交わり、準線と点 C で交わります。点 B は線分FCの中点です。

控除

頂点 A は焦点 F と準線から等距離にあります。C は準線上にあるため、 F と C の $y座標は$ 絶対値が等しく、符号が反対です。B はFCの中点です。その $x$ 座標は D の x 座標の半分、つまり $x /2$ です。直線BEの傾きはEDとBDの長さの商であり、 $⁠$ $x$ $2$ $/$ $x$ $/2$ $⁠$ $= 2$ $x$ です。しかし、 $2$ $x$ は E における放物線の傾き (1 階微分) でもあります。したがって、直線BEは E における放物線の接線です。

E は放物線上にあり、F は焦点、C は準線上にあるため、EFとECの距離は等しくなります。したがって、B はFCの中点であるため、三角形 △FEB と △CEB は合同（3 辺）となり、これは $α$ で示された角度が合同であることを意味します。（E の上の角度は、∠BEC の対頂角です。）これは、放物線に入り、対称軸に平行に E に到達する光線は、線BEで反射され、線EFに沿って進むことを意味します（線が何らかの方法で光を反射できると仮定した場合）。BEはE における放物線の接線であるため、同じ反射がE における放物線の微小弧によっても行われます。したがって、放物線に入り、放物線の対称軸に平行に E に到達する光は、放物線によって焦点に向かって反射されます。

反射光に関するこの結論は、図の左側に示されているように、放物線上のすべての点に当てはまります。これが反射特性です。

その他の影響

上記の議論から簡単に導き出せる定理は他にも存在する。

接線の二等分特性

上記の証明と図から、接線BEは角∠FECを二等分することがわかる。言い換えれば、放物線の任意の点における接線は、その点と焦点を結ぶ線と準線に垂直な線との間の角を二等分する。

焦点からの接線と垂線の交点

三角形 △FBE と △CBE は合同なので、FBは接線BEに垂直です。B は $x$ 軸上にあり、x 軸は放物線の頂点における接線なので、放物線の任意の接線と焦点からその接線に下ろした垂線との交点は、放物線の頂点における接線上にあることがわかります。アニメーション図^{[ 8 ]}とペダル曲線を参照してください。

凸面に当たった光の反射

光が線分CEに沿って進む場合、光は対称軸に平行に進み、放物線の凸面上の点 E に当たります。上の図から明らかなように、この光は焦点からまっすぐ離れた方向、線分FEの延長線に沿って反射されます。

別の証明

上記の反射二等分と接線二等分の性質の証明は、微積分を用いて行われた。ここでは幾何学的な証明を示す。

この図では、F は放物線の焦点であり、T と U はその準線上にあります。P は放物線上の任意の点です。PTは準線に垂直であり、直線MP は角∠FPT を二等分します。Q は放物線上の別の点であり、QU は準線に垂直です。FP = PTおよびFQ = QUであることがわかっています。明らかに、QT > QUなので、QT > FQです。二等分線MP上のすべての点は F と T から等距離にありますが、Q は T よりも F に近いです。これは、Q がMPの左側、つまり焦点と同じ側にあることを意味します。Q が放物線上の他のどこにあっても同じことが当てはまります (点 P を除く)。したがって、点 P を除く放物線全体がMPの焦点側にあります。したがって、MPは点Pにおける放物線の接線である。MPは角∠FPTを二等分するので、これは接線の二等分性質を証明する。

最後の段落の論理を適用することで、上記の反射性の証明を修正できます。これにより、角度 $αが等しい場合、直線$ BEが点Eにおける放物線の接線であることが効果的に証明されます。反射性は前述のとおりです。

ピンと紐の構造

焦点と準線による放物線の定義は、ピンと紐を使って放物線を描くために使用できます。^{[ 9 ]}

焦点を選択する $F$ そしてディレクター $l$ 放物線の。
三角定規の三角形を取り、長さの紐を用意する。 $|AB|$ （図を参照）。
紐の一端をポイントに固定する $A$ 三角形の一方ともう一方を焦点へ $F$ 。
直角三角形の2番目の辺が準線に沿って自由にスライドできるように三角形を配置します。
ペンを取り、弦を三角形にしっかりと固定してください。
三角形を準線に沿って動かすと、ペンは放物線の弧を描きます。 $|PF|=|PB|$ （放物線の定義を参照）。

パスカルの定理に関連する性質

放物線は、点を持つ非退化射影円錐曲線のアフィン部分と考えることができる。 $Y_{\infty }$ 無限線上 $g_{\infty }$ これは、 $Y_{\infty }$ パスカルの定理の5点、4点、3点退化は、少なくとも1つの接線を持つ円錐曲線の性質です。この接線を無限遠の直線、その接点をy軸の無限遠点とみなすと、放物線について3つの命題が得られます。

放物線の以下の性質は、相似性の不変量である接続、交差、平行という項のみを扱います。したがって、方程式を持つ単位放物線について任意の性質を証明すれば十分です。 $y=x^{2}$ 。

4ポイント物件

任意の放物線は、適切な座標系において方程式で表すことができる。 $y=ax^{2}$ 。

させて

P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})

放物線の4つの点

y=ax^{2}

、そして

Q_{2}

割線の交点

P_{1}P_{4}

ラインと共に

x=x_{2},

そして

Q_{1}

割線との交点

P_{2}P_{3}

ラインと共に

x=x_{1}

（図を参照）。次に割線

P_{3}P_{4}

線と平行です

Q_{1}Q_{2}

（行）

x=x_{1}

そして

x=x_{2}

（放物線の軸に平行である。）

証明：単位放物線の簡単な計算 $y=x^{2}$ 。

応用:放物線の4点特性は点の構築に使用できます $P_{4}$ 、その間 $P_{1},P_{2},P_{3}$ そして $Q_{2}$ 与えられます。

注記：放物線の4点特性は、パスカルの定理の5点退化のアフィン版である。

3点-1接線特性

させて $P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})$ 方程式で表される放物線の3つの点 $y=ax^{2}$ そして $Q_{2}$ 割線の交点 $P_{0}P_{1}$ ラインと共に $x=x_{2}$ そして $Q_{1}$ 割線の交点 $P_{0}P_{2}$ ラインと共に $x=x_{1}$ （図を参照）。すると、点における接線は $P_{0}$ 線に平行である $Q_{1}Q_{2}$ （行） $x=x_{1}$ そして $x=x_{2}$ （放物線の軸に平行である。）

証明：単位放物線に対して実行可能 $y=x^{2}$ 簡単な計算で次のことがわかります。 $Q_{1}Q_{2}$ 傾斜がある $2x_{0}$ これは、点における接線の傾きです。 $P_{0}$ 。

応用例：放物線の3点1接線特性は、点における接線の作図に利用できます。 $P_{0}$ 、その間 $P_{1},P_{2},P_{0}$ 与えられます。

注記：放物線の3点1接線特性は、パスカルの定理の4点退化のアフィン版である。

2点-2接線特性

させて $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ 方程式が成り立つ放物線の2点とする。 $y=ax^{2}$ 、そして $Q_{2}$ 点における接線の交点 $P_{1}$ ラインと共に $x=x_{2}$ 、そして $Q_{1}$ 点における接線の交点 $P_{2}$ ラインと共に $x=x_{1}$ （図を参照）。次に割線 $P_{1}P_{2}$ 線に平行である $Q_{1}Q_{2}$ （行） $x=x_{1}$ そして $x=x_{2}$ （放物線の軸に平行である。）

証明：単位放物線の簡単な計算 $y=x^{2}$ 。

応用例： 2点2接線の性質は、放物線の点における接線を作図するために使用できます。 $P_{2}$ 、もし $P_{1},P_{2}$ そして接線は $P_{1}$ 与えられます。

注1：放物線の2点2接線特性は、パスカルの定理の3点退化のアフィン版である。

注2： 2点2接線の性質は、放物線の次の性質と混同してはならない。放物線の性質も2点と2接線に関係するが、パスカルの定理とは関係がない。

軸方向

上記の記述は、点を構成するために放物線の軸方向を知っていることを前提としている。 $Q_{1},Q_{2}$ 以下の特性によって点が決定されます。 $Q_{1},Q_{2}$ 与えられた2点とその接線のみによって、結果として線は $Q_{1}Q_{2}$ 放物線の軸に平行である。

させて

$P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ 放物線の2点とする $y=ax^{2}$ 、そして $t_{1},t_{2}$ それらの接線である。
$Q_{1}$ 接線の交点となる $t_{1},t_{2}$ 、
$Q_{2}$ 平行線と $t_{1}$ を通して $P_{2}$ 平行線で $t_{2}$ を通して $P_{1}$ （写真参照）

それから列 $Q_{1}Q_{2}$ 放物線の軸に平行で、方程式は次のようになる。 $x=(x_{1}+x_{2})/2.$

証明：単位放物線の場合、（上記の性質と同様に）証明できる。 $y=x^{2}$ 。

応用例：この性質は、2点とその接線が与えられている場合、放物線の軸の方向を決定するために使用できます。別の方法として、2つの平行弦の中点を決定することもできます（平行弦の項を参照）。

注記：この性質は、非退化円錐曲線の2つの透視三角形の定理のアフィン版である。 ^{[ 10 ]}

関連: コード $P_{1}P_{2}$ さらに2つの特性があります。

その傾きは接線の傾きの調和平均である。 $t_{1}$ そして $t_{2}$ 。
それは交点の接線に平行である $Q_{1}Q_{2}$ 放物線を用いて。

シュタイナー世代

放物線

シュタイナーは、非退化円錐曲線の構成について以下の手順を確立した（シュタイナー円錐曲線を参照）。

鉛筆が2本与えられた

B(U),B(V)

2点における線

U,V

（すべての行に

U

そして

V

それぞれ）投影マッピングだが透視マッピングではない

\pi

の

B(U)

に

B(V)

対応する直線の交点は、非退化射影円錐曲線を形成する。

この手順は放物線上の点の簡単な作図に使用できます。 $y=ax^{2}$ :

頂点にある鉛筆について考えてみましょう $S(0,0)$ $S(0,0)$ そして線のセット $\Pi _{y}$ $\displaystyle \Pi _{y}}$ y軸に平行な線。
1. させて $P=(x_{0},y_{0})$ 放物線上の点であり、 $A=(0,y_{0})$ 、 $B=(x_{0},0)$ 。
2. 線分 ${\overline {BP}}$ n個の等間隔のセグメントに分割され、この分割が投影される（方向 $BA$ 線分上に ${\overline {AP}}$ （図を参照）。この投影により射影写像が生じる。 $\pi$ 鉛筆から $S$ 鉛筆に $\Pi _{y}$ 。
3. 線と線の交点 $SB_{i}$ そして、y軸に平行なi番目の点は放物線上の点である。

証明：簡単な計算で証明できます。

注記：シュタイナーの生成法は、楕円と双曲線にも適用可能です。

二重放物線

双対放物線と2次ベジェ曲線（右：曲線点と分割点） $Q_{0},Q_{1}$ パラメータの場合 $t=0.4$ ）

{\displaystyle Q_{0},Q_{1}} — 双対放物線と2次ベジェ曲線（右：曲線点と分割点） $Q_{0},Q_{1}$ パラメータの場合 $t=0.4$ ）

双対放物線は、通常の放物線の接線の集合から構成される。

シュタイナーによる円錐曲線の生成法は、点と線の意味を変えることで、双対円錐曲線の生成にも適用できる。

2つの直線上に2つの点集合が与えられたとする。

u,v

投影法だが透視図法ではないマッピング

\pi

これらの点群の間では、対応する点を結ぶ線分が非退化双対円錐曲線を形成する。

双対放物線の要素を生成するには、まず

3ポイント $P_{0},P_{1},P_{2}$ 線上にない、
線路区間を分割する ${\overline {P_{0}P_{1}}}$ そして ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ それぞれ $n$ 図に示すように、等間隔の線分を描き、数字を追加します。
それから線 $P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc$ これらは放物線の接線であり、したがって双対放物線の要素である。
放物線は、制御点を持つ次数2のベジェ曲線です。 $P_{0},P_{1},P_{2}$ 。

この証明は、2次ベジェ曲線に対するド・カステリョーアルゴリズムの結果である。

円周角と3点形

方程式で表される放物線 $y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0$ 3つの点によって一意に決定される $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ 異なるx座標を持つ。係数を決定する通常の手順 $a,b,c$ 解法は、点の座標を方程式に代入することです。結果として3つの方程式からなる線形システムが得られ、これはガウス消去法やクラメルの公式などを用いて解くことができます。別の方法としては、放物線の内接角定理を用いる方法もあります。

以下では、2つの直線の角度は、放物線の準線に対する直線の傾きの差によって測定されます。つまり、式で表される放物線の場合、 $y=ax^{2}+bx+c,$ 2つの方程式の直線間の角度 $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}$ 測定方法 $m_{1}-m_{2}.$

円の内接角定理と同様に、放物線にも内接角定理がある。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

4ポイント

P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,

異なる

x

座標 (図を参照) を持つ点は、方程式で表される放物線上にあります。

y=ax^{2}+bx+c

角度が

P_{3}

そして

P_{4}

上記で定義したのと同じ尺度を持つ。つまり、

{\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.

（証明：簡単な計算：点が放物線上にある場合、座標を平行移動して方程式を得ることができます。 $y=ax^{2}$ すると、 ${\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}$ （点が放物線上にある場合。）

その結果、方程式（ ${\color {green}x},{\color {red}y}$ 放物線の 3 点によって決定される ) $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,$ 異なる $x$ 座標を持つ場合（2つの $x$ 座標が等しい場合、 $x$ 軸に平行な準線を持つ放物線は存在せず、その放物線は点を通ります） ${\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.$ 分母に依存するものを掛け合わせる ${\color {green}x},$ より標準的な形式が得られる $(x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.$

極と極の関係

適切な座標系では、任意の放物線は方程式で表すことができる。 $y=ax^{2}$ 点における接線の方程式 $P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}$ は $y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.$ 関数が得られる $(x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}$ 放物線の点の集合から接線の集合へ。

明らかに、この関数はすべての点の集合に拡張できます。 $\mathbb {R} ^{2}$ 点間の全単射 $\mathbb {R} ^{2}$ そして数式を含む行 $y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R}$ 逆写像は ${\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).$ この関係は放物線の極-極関係と呼ばれ、点が極であり、対応する線がその極である。

計算によって、放物線の極-極関係の以下の性質を確認する。

放物線上の点（極）の場合、極線はその点における接線です（図を参照）。 $P_{1},\ p_{1}$ )
ポールの場合 $P$ 放物線の外側では、その極線と放物線との交点は、2つの接線の接点である。 $P$ (写真参照: $P_{2},\ p_{2}$ )
放物線内の点については、極座標は放物線と共通する点を持たない（図を参照）。 $P_{3},\ p_{3}$ そして $P_{4},\ p_{4}$ )
2 つの極線の交点 (図を参照: $p_{3},p_{4}$ ）は、それらの極を結ぶ線路の極です（図を参照）。 $P_{3},P_{4}$ )
放物線の焦点と準線は、極と極のペアである。

注記：極と極の関係は、楕円と双曲線にも存在する。

接線特性

直腸円蓋に関連する2つの接線特性

対称軸が放物線と点Qで交わるとし、焦点を点F、点Qからの距離を $f$ とする。焦点を通る対称軸への垂線が放物線と点Tで交わるとする。このとき、（1）FからTまでの距離は $2f で$ あり、（2）点Tにおける放物線の接線は対称軸と45°の角度で交わる。^{[ 13 ]}^{： 26}

視能矯正特性

放物線上の2つの接線が互いに垂直であれば、それらは準線上で交わる。逆に、準線上で交わる2つの接線は垂直である。つまり、準線上のどの点においても、放物線全体が直角をなす。

ランベルトの定理

放物線に接する３本の線が三角形を形成するとする。このとき、ランベルトの定理によれば、放物線の焦点はその三角形の外接円上にある。^{[ 14 ]}^{[ 8 ]}^：系20

ツッカーマンのランベルトの定理の逆は、三角形を囲む3本の直線が与えられたとき、そのうち2本の直線が三角形の外接円に焦点が合う放物線に接している場合、3本目の直線も放物線に接するというものである。^{[ 15 ]}

弦と弧に関する事実

弦のパラメータから計算された焦点距離

弦が放物線の対称軸に垂直に交わるとします。弦が放物線と交わる点間の弦の長さを $c$ 、放物線の頂点から弦までの距離を対称軸に沿って $d$ とします。放物線の焦点距離 $f$ は次のように与えられます。 $f={\frac {c^{2}}{16d}}.$

証拠

放物線の頂点が原点にあり、対称軸が $y$ 軸であるようなデカルト座標系を使用すると仮定します。放物線は上向きに開きます。この放物線の式は $4 fy = x 2$ で、 $f$ は焦点距離であることがこの記事の別の箇所で示されています。弦の正の $x端では、$ $x = ⁠ c / 2 ⁠$ 、 $y = d$ です。この点は放物線上にあるため、これらの座標は上記の式を満たさなければなりません。したがって、代入により、 $4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}$ これから、 $f={\tfrac {c^{2}}{16d}}$ 。

放物線と弦で囲まれた領域

放物線と弦で囲まれた領域（図を参照）は、それを囲む平行四辺形の面積の 3 分の 2 です。平行四辺形の 1 辺は弦であり、反対側の辺は放物線への接線です。^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}他の平行な辺の傾きは面積には関係ありません。多くの場合、ここに示されているように、それらは放物線の対称軸に平行に描かれますが、これは任意です。

これと同等だが細部が異なる定理が、紀元前3世紀にアルキメデスによって導き出された。彼は平行四辺形の面積ではなく、三角形の面積を用いた。^{[ d ]}放物線の求積を参照。

弦の長さが $b$ で、放物線の対称軸に垂直であり、放物線の頂点から弦までの垂直距離が $hである場合、平行四辺形は辺の長さが$ $b$ と $h$ の長方形になります。したがって、放物線と弦で囲まれた放物線セグメントの面積 $Aは次のようになります。$ $A={\frac {2}{3}}bh.$

$この公式は$ 三角形の面積と比較できます: $1$ $/$ $2$ $bh$ $。$

一般的に、囲まれた面積は次のように計算できます。まず、放物線上でその傾きが弦の傾きと等しくなる点を見つけます。これは微積分を使うか、放物線の対称軸に平行で弦の中点を通る直線を使って行うことができます。必要な点は、この直線が放物線と交わる点です。^{[ e ]}次に、「点から直線までの距離」で示されている公式を使って、この点から弦までの垂線距離を計算します。これを弦の長さで掛けて平行四辺形の面積を求め、さらに 2/3 を掛けて必要な囲まれた面積を求めます。

弦の中点と終点に関する系

上記の議論から導かれる結論として、放物線に複数の平行な弦がある場合、それらの弦の中点はすべて対称軸に平行な直線上にあります。これらの弦のいずれかの端点を通る放物線への接線を引くと、2つの接線はこの対称軸に平行な同じ直線上で交わります（放物線の軸方向を参照）。^{[ f ]}

弧の長さ

$焦点距離f$ の放物線上に点 X があり、 $p が$ X から放物線の対称軸までの垂直距離である場合、 $f$ と $p$ がすべて同じ単位で表されていると仮定すると、 X で終わる放物線の弧の長さは次のように計算できます。^[^g^] ${\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}$

この量 $s$ は、Xと放物線の頂点を結ぶ弧の長さである。

Xと放物線の反対側の対称的な点との間の弧の長さは $2 秒$ です。

垂直距離 $p に$ は、対称軸 X のどちら側に位置するかを示すために、正または負の符号を付けることができます。p の符号を反転すると、 $h$ と s の絶対値は変わりませんが、符号も反転します $。$ これら $の$ 量に符号が付いている場合、放物線上の任意の2点間の弧の長さは、常に $s$ の値の差で表されます。対数の性質を利用すると、計算を簡略化できます。 $s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.$

これは、例えば、放物面反射鏡や放物面トラフを作るのに必要な材料のサイズを計算する際に役立つ。

この計算方法は、あらゆる向きの放物線に適用できます。対称軸がy軸と平行な場合に限定されません。

扇形の面積を求めるための幾何学的作図

$S$ 焦点は、 $V$ は放物線の主頂点である $VG$ 。描く $VX$ 垂直に $SV$ 。

どの点でも構いません $B$ の上 $VG$ そして垂直線を落とす $BQ$ から $B$ に $VX$ 垂直線を引く $ST$ 交差する $BQ$ 必要に応じて延長、 $T$ 。で $B$ 垂直線を引く $BJ$ 交差する $VX$ で $J$ 。

放物線の場合、線分 $VBV$ 弦で囲まれた領域 $VB$ そして弧 $VB$ は、 $\Delta VBQ/3$ 、また $BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}$ 。

放物線セクターの面積 $SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}$ 。

三角形は $TSB$ そして $QBJ$ 似ている、 $VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.$

したがって、放物線セクターの面積は $SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}$ そして長さから見つけることができる $VJ$ 上記のとおりです。

円が $S$ 、 $V$ そして $B$ また通過する $J$ 。

逆に、点が $B$ 放物線上 $VG$ セクターの面積が $SVB$ 指定された値と等しい場合、ポイントを決定します $J$ の上 $VX$ そして円を描く $S$ 、 $V$ そして $J$ 。以来 $SJ$ は直径であり、円の中心はその中点にあり、垂直二等分線上にある。 $SV$ 半分の距離 $VJ$ SVより $.$ 必要なポイント $B$ この円が放物線と交わる点がそれです。

物体が逆二乗の力によって放物線の軌跡を描く場合 $S$ その地域 $SVB$ 点として一定の割合で増加する $B$ 前進する。したがって、 $J$ 一定の速度で移動する $VX$ として $B$ 放物線に沿って移動する。

物体が垂直に動いている頂点での物体の速度が $SV$ は $v$ すると、Jの速度は $3v/4$ 。

この構造は、半径がどちらも軸と一致しない場合にも簡単に拡張できる。 $SV$ 以下のように。 $A$ 固定点となる $VG$ 間 $V$ そして $B$ 、そしてポイント $H$ 交差点となる $VX$ 垂直に $SA$ で $A$ 上記より、放物線セクターの面積は $SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}$ 。

逆に、ポイントを見つける必要がある場合は $B$ 特定の地域向け $SAB$ 点を見つける $J$ から $HJ$ そしてポイント $B$ 以前と同様です。ニュートンの『プリンキピア』第1巻命題16系6によれば、焦点に向かう力が作用する放物線に沿って運動する物体の速度は、半径の平方根に反比例します。 $A$ は $v$ 頂点では $V$ それは ${\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v$ 、そしてポイント $J$ 一定の速度で移動する ${\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}$ 。

上記の構成はアイザック・ニュートンによって考案され、『自然哲学の数学的原理』第1巻の命題30として記載されている。

焦点距離と頂点における曲率半径

放物線の焦点距離は、頂点における曲率半径の半分である。

証拠

画像は反転しています。ABは $x$ 軸です。Cは原点です。Oは中心です。Aは $(x, y)$ です。OA = OC = $R$ です。PA = $x$ です。CP = $y$ です。OP = $(R - y)$ です。その他の点と線はこの目的には関係ありません。
頂点における曲率半径は焦点距離の2倍です。上の図に示されている測定値は、焦点距離の4倍である正距円筒長を単位としています。

半径 $R$ で中心が点 $(0,$ $R$ $)$ の円上の点 $(x, y)$ を考えます。円は原点を通ります。点が原点の近くにある場合、ピタゴラスの定理は、 ${\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}$

しかし、 $(x, y)$ が原点に非常に近い場合、 $x$ 軸は円の接線であるため、 $yは$ $x$ に比べて非常に小さく、したがって $y 2$ は他の項に比べて無視できるほど小さい。したがって、原点に非常に近い場合

これを放物線と比較してみましょう

これは、頂点が原点にあり、上向きに開き、焦点距離が $f$ である（この記事の前のセクションを参照）。

式(1)と式(2)は、 $R = 2f の$ 場合に等価となる。したがって、これは円と放物線が原点およびその近傍で一致する条件である。放物線の頂点である原点における曲率半径は、焦点距離の2倍である。

系

球体の一部を切り取った凹面鏡は、放物面鏡とほぼ同様の働きをし、平行光を球体の中心と表面の中間点に集光する。

単位放物線のアフィン像として

放物線の別の定義では、アフィン変換が用いられます。

任意の放物線は、方程式を持つ単位放物線のアフィン像である。

y=x^{2}

。

パラメトリック表現

ユークリッド平面のアフィン変換は次の形式をとる。 ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$ 、どこ $A$ は正則行列（行列式は0ではない）であり、 ${\vec {f}}_{0}$ は任意のベクトルです。 ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ は行列の列ベクトルです $A$ 単位放物線 $(t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R}$ 放物線上にマッピングされる ${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},$ どこ

${\vec {f}}_{0}$ 放物線の点であり、
${\vec {f}}_{1}$ は点における接線ベクトルである ${\vec {f}}_{0}$ 、
${\vec {f}}_{2}$ 放物線の軸（頂点を通る対称軸）に平行である。

頂点

一般的に、2 つのベクトル ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ 垂直ではなく、 ${\vec {f}}_{0}$ アフィン変換が相似変換でない限り、頂点ではありません。

点における接線ベクトル ${\vec {p}}(t)$ は ${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}$ 頂点では接線ベクトルは直交する ${\vec {f}}_{2}$ したがって、パラメータ $t_{0}$ 頂点の解は、方程式の解である。 ${\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,$ それは $t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},$ そして頂点は ${\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.$

焦点距離とフォーカス

焦点距離は、適切なパラメータ変換（放物線の幾何学的形状を変えない変換）によって決定できます。焦点距離は $f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.$ したがって、放物線の 焦点は $F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.$

暗黙的表現

パラメトリック表現を解く $\;t,t^{2}\;$ クレイマーの公式と $\;t\cdot t-t^{2}=0\;$ 暗黙の表現が得られる $\det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.$

宇宙空間における放物線

この節の放物線の定義は、空間においても任意の放物線のパラメトリック表現を与える。 ${\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$ 空間におけるベクトルとなる。

二次ベジェ曲線として

二次ベジェ曲線は曲線です ${\vec {c}}(t)$ 3つの点で定義される $P_{0}:{\vec {p}}_{0}$ 、 $P_{1}:{\vec {p}}_{1}$ そして $P_{2}:{\vec {p}}_{2}$ 制御点と呼ばれるもの： ${\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}$

この曲線は放物線の弧です（§ 単位放物線のアフィン像として参照）。

数値積分

数値積分法の一つでは、関数のグラフを放物線の弧に置き換え、放物線の弧を積分します。放物線は3つの点で定義されます。1つの弧の公式は次のとおりです。 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).$

この方法はシンプソンの法則と呼ばれています。

二次曲面の平面断面として

以下の二次曲面は、平面断面として放物線を含んでいます。

楕円錐、
放物面円筒、
楕円放物面、
双曲放物面、
一葉双曲面、
2葉双曲面。

楕円錐
放物面円筒
楕円放物面
双曲放物面
一葉双曲面
2葉双曲面

三等分線として

放物線は三等分線として使用できます。つまり、定規とコンパスを使って任意の角度を正確に三等分することができます。これは、コンパスと定規のみによる作図では角度の三等分が不可能であることと矛盾するものではありません。なぜなら、コンパスと定規による作図の古典的な規則では放物線の使用が認められていないからです。

三等分する $\angle AOB$ 足を置きます $OB$ x軸上に頂点が $O$ は座標系の原点にあります。座標系には放物線も含まれています。 $y=2x^{2}$ 原点を中心とする半径1の単位円は、角度のもう一方の辺と交わる。 $OA$ そして、この交点からy軸に垂線を引きます。その垂線の中点を通るy軸に平行な線と、単位円上の接線は $(0,1)$ 交差する $C$ 周囲の円 $C$ 半径付き $OC$ 放物線と交わる点 $P_{1}$ 垂直線 $P_{1}$ x軸上には単位円と交わる点がある。 $P_{2}$ 、そして $\angle P_{2}OB$ ちょうど 3 分の 1 です $\angle AOB$ 。

この構成の正しさは、x座標が $P_{1}$ は $\cos(\alpha )$ 円の周りの方程式系を解く $C$ そして放物線は三次方程式につながる $4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0$ 三重角公式 $\cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )$ そして、 $\cos(\alpha )$ それは確かにその三次方程式の解である。

この三分割はルネ・デカルトに遡り、彼は著書『幾何学』（1637年）の中でそれを記述している。^{[ 18 ]}

一般化

実数を任意の体で置き換えると、放物線の多くの幾何学的性質が $y=x^{2}$ 依然として有効です。

直線は最大で2点で交わる。
どの時点でも $(x_{0},x_{0}^{2})$ ライン $y=2x_{0}x-x_{0}^{2}$ は接線です。

本質的に新しい現象は、場の特性が 2 である場合 (つまり、 $1+1=0$ 接線はすべて平行です。

代数幾何学では、放物線は有理正規曲線によって一般化され、その座標は $(x, x 2, x 3, ..., x n)$ です。標準放物線は $n = 2$ の場合であり、 $n = 3の場合は$ ねじれ三次曲線として知られています。入力変数が複数ある場合、さらに一般化されたものがヴェロネーゼ多様体として与えられます。

二次形式の理論では、放物線 $は二次形式$ $x²$ (またはその他のスケーリング)のグラフであり、楕円放物面は正定値二次形式 $x² + y²$ (またはスケーリング)のグラフであり、双曲放物面は $不定値$ $二$ 次形式 $x² - y²$ のグラフである。より多くの変数への一般化により $、さらに多く$ $の$ 同様の対象が得られる。

$p$ の他の値に対する曲線 $y = x p は$ 、伝統的に高次放物線と呼ばれ、元々は $p$ と $q$ がともに正の整数である場合の $x$ $p$ $=$ $ky$ $q$ の形で暗黙的に扱われ、その形では代数曲線であることがわかります。これらは、 $x$ の正の分数べき乗に対する明示的な式 $y$ $=$ $x$ $p$ $/$ $q$ に対応します。負の分数べき乗は、暗黙の方程式 $x$ $p$ $y$ $q$ $=$ $k$ に対応し、伝統的に高次双曲線と呼ばれています。解析的には、 $x は無理数べき乗 ($ $x$ の正の値の場合) にすることもできます。解析的性質は、 $x を$ 有理数べき乗した場合と類似していますが、結果として得られる曲線はもはや代数的ではなく、代数幾何学によって解析することはできません。

物理世界では

自然界では、放物線や放物面の近似形が様々な場面で見られます。物理学の歴史において最もよく知られている放物線の例は、空気抵抗のない均一な重力場の影響下で運動する粒子や物体の軌跡です（例えば、空気摩擦を無視して空中を飛ぶボールなど）。

投射物の放物線軌道は、 17世紀初頭にガリレオが斜面を転がるボールの実験で実験的に発見しました。彼は後に著書『2 つの新科学に関する対話』でこれを数学的に証明しました。^[¹⁹^]^[^h^]飛び込み台から飛び込むダイバーのように空間に広がる物体の場合、物体自体は回転しながら複雑な動きをしますが、物体の重心はそれでも放物線に沿って移動します。物理世界のすべての場合と同様に、軌道は常に放物線の近似です。たとえば、空気抵抗の存在は常に形状を歪めますが、低速では形状は放物線の良い近似です。弾道学などの高速では、形状は大きく歪み、放物線に似ていません。

17世紀から18世紀にかけてアイザック・ニュートン卿が提唱した物理学の理論によれば、放物線が発生する可能性のあるもう一つの仮説的な状況は、例えば太陽の重力の影響下にある小惑星やその他の物体の軌道のような、二体軌道である。放物線軌道は自然界には存在せず、単純な軌道は双曲線や楕円に最もよく似ている。放物線軌道は、これら2種類の理想的な軌道の中間的な退化したケースである。放物線軌道をたどる物体は、周回する物体の脱出速度と全く同じ速度で移動する。楕円軌道や双曲線軌道をたどる物体は、それぞれ脱出速度より小さい速度または大きい速度で移動する。長周期彗星は、太陽系の内側を通過する際に太陽の脱出速度に近い速度で移動するため、その軌道はほぼ放物線状になる。

放物線の近似は、単純な吊り橋の主ケーブルの形状にも見られます。吊り橋のチェーンの曲線は常に放物線と懸垂線の中間の曲線ですが、実際には、荷重（つまり道路）の重量がケーブル自体よりもはるかに大きいため、曲線は一般的に放物線に近く、計算では放物線の2次多項式の公式が使用されます。^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}均一な荷重（水平吊りデッキなど）の影響下では、懸垂線形状のケーブルは放物線に向かって変形します（懸垂線§ 吊り橋の曲線を参照）。非弾性チェーンとは異なり、無応力長がゼロの自由に吊り下げられたばねは放物線の形状をとります。吊り橋のケーブルは、理想的には、曲げなどの他の力を支える必要なく、純粋に引張状態です。同様に、放物線アーチの構造は純粋に圧縮状態です。

放物面は、いくつかの物理的な状況でも現れます。最もよく知られている例は放物面反射鏡で、これは光やその他の電磁波を共通の焦点に集束させる、あるいは逆に焦点にある点光源からの光を平行光線にコリメートする鏡または同様の反射装置です。放物面反射鏡の原理は、紀元前3世紀に幾何学者アルキメデスによって発見された可能性があります。疑わしい伝説によると、^{[ 22 ]}彼はローマ艦隊からシラクサを守るために放物面鏡を作り、太陽光線を集束させてローマ船の甲板に火をつけたと言われています。この原理は17世紀に望遠鏡に応用されました。今日では、放物面反射鏡は、マイクロ波や衛星放送受信アンテナや送信アンテナなど、世界の多くの場所で一般的に見られます。

パラボラ型マイクロホンでは、放物面反射板を用いて音をマイクロホンに集束させることで、高い指向性を実現しています。

放物面は、容器に閉じ込められ、中心軸を中心に回転する液体の表面にも観察されます。この場合、遠心力によって液体が容器の壁面を伝って上昇し、放物面を形成します。これが液体鏡望遠鏡の原理です。

NASAの「嘔吐彗星」など、実験目的で無重力状態を作り出すために使用される航空機は、自由落下する物体の軌跡を追跡するために、短時間、垂直放物線軌道を描きます。これは、ほとんどの場合、無重力状態と同じ効果を生み出します。

ギャラリー

ストロボフラッシュを用いて毎秒25フレームで撮影した、跳ねるボール。ボールは跳ねるたびに、特に最初の跳ね返りの後、著しく非球形になる。そのため、回転や空気抵抗と相まって、描かれる曲線は期待される完全な放物線からわずかにずれる。
噴水における水の放物線軌道。
コホーテク彗星が太陽系内を通過した際の軌道（赤色）を示しており、ほぼ放物線状であることがわかる。青色の軌道は地球の軌道である。
吊り橋の支持ケーブルは、放物線と懸垂線の中間の曲線を描く。
ナイアガラ川に架かるレインボーブリッジは、カナダ（左）とアメリカ合衆国（右）を結んでいる。放物線状のアーチは圧縮力を受けており、道路の重量を支えている。
建築に用いられる放物線アーチ
回転する液面によって形成される放物線状の形状。密度の異なる2種類の液体が、2枚の透明なプラスチックシート間の狭い空間を完全に満たしている。シート間の隙間は、底部、側面、上部が閉じられている。全体構造は、中心を通る垂直軸を中心に回転する。（回転炉を参照）
放物面反射鏡付きソーラークッカー
パラボラアンテナ
アメリカの大学フットボールの試合で使用された、光学的に透明なプラスチック製反射板を備えたパラボラ型マイクロホン。
太陽エネルギーを集めるための放物線状のトラフの配列
エジソンの探照灯は、台車に取り付けられていた。この探照灯には放物面反射鏡が使われていた。
物理学者スティーブン・ホーキング博士が、無重力状態をシミュレートするために放物線軌道を飛行する航空機に乗っている。

脚注

↑接平面は、円錐の頂点を通る線に沿って円錐面にちょうど接する。
↑上記の冒頭で述べたように、放物線の焦点距離は、その頂点と焦点の間の距離です。
↑点 Vは円錐の小さい方の円形断面の中心です。点 Fは放物線の（ピンク色の）平面上にあり、直線VFは放物線の平面に垂直です。
↑アルキメデスは、囲まれた放物線状の面積が、その内側に内接する三角形の面積の4/3であることを証明しました。平行四辺形の面積が三角形の2倍であることは容易に示せるので、アルキメデスの証明は平行四辺形を用いた定理も証明しています。
↑この方法は微積分によって容易に正しさを証明できる。微積分が発明される約2000年前に生きたアルキメデスもこの方法を知っており、使用していた。
↑この文の証明は、上記の正視性に関する証明から推論できます。そこでは、放物線 $y = x 2 の$ 点 $(p, p 2)$ と $(q, q 2)における接線が、$ $p$ と $q$ の平均 $x$ 座標を持つ点で交わることいます。したがって、これら 2 点の間に弦が存在する場合、接線の交点は弦の中点と $同じx座標を持ちます。$
↑この計算では、平方根 $q は$ 正でなければなりません。量 $ln a$ $はa$ の自然対数です。
↑しかし、ニュートンが認識していたように、この放物線形状は実際の軌道の楕円形状の近似にすぎず、対象領域では重力が一定（地球の中心方向ではない）であると仮定して得られるものです。多くの場合、この差は無視できるほど小さく、運動を追跡するためのより単純な公式につながります。

参考文献

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さらに読む

ロックウッド、EH（1961）。曲線の本。ケンブリッジ大学出版局。

外部リンク

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ワイスタイン、エリック・W. 「パラボラ」。マスワールド。
インタラクティブな放物線ドラッグフォーカス、対称軸、準線、標準形、頂点形を参照
カット・ザ・ノットのアルキメデスの三角形と放物線の平方化
cut-the-knotの放物線への 2 つの接線
放物線は直線の包絡線である（ cut-the-knotより）
カット・ザ・ノットの放物面鏡
カット・ザ・ノットにおける3つの放物線接線
カットザノットにおける放物線の焦点特性
放物線をエンベロープとして IIをcut-the-knotで
ダイナミックジオメトリスケッチにおける放物線の類似性、インタラクティブな動的ジオメトリスケッチ。
フランス・ファン・スホーテン:数学オーフェニンゲン、1659

[1] 接平面は、円錐の頂点を通る線に沿って円錐面にちょうど接する。

[9] 上記の冒頭で述べたように、放物線の焦点距離は、その頂点と焦点の間の距離です。

[10] 点 Vは円錐の小さい方の円形断面の中心です。点 Fは放物線の（ピンク色の）平面上にあり、直線VFは放物線の平面に垂直です。

[21] アルキメデスは、囲まれた放物線状の面積が、その内側に内接する三角形の面積の4/3であることを証明しました。平行四辺形の面積が三角形の2倍であることは容易に示せるので、アルキメデスの証明は平行四辺形を用いた定理も証明しています。

[22] この方法は微積分によって容易に正しさを証明できる。微積分が発明される約2000年前に生きたアルキメデスもこの方法を知っており、使用していた。

[23] この文の証明は、上記の正視性に関する証明から推論できます。そこでは、放物線 $y = x 2 の$ 点 $(p, p 2)$ と $(q, q 2)における接線が、$ $p$ と $q$ の平均 $x$ 座標を持つ点で交わることいます。したがって、これら 2 点の間に弦が存在する場合、接線の交点は弦の中点と $同じx座標を持ちます。$

[24] この計算では、平方根 $q は$ 正でなければなりません。量 $ln a$ $はa$ の自然対数です。

[27] しかし、ニュートンが認識していたように、この放物線形状は実際の軌道の楕円形状の近似にすぎず、対象領域では重力が一定（地球の中心方向ではない）であると仮定して得られるものです。多くの場合、この差は無視できるほど小さく、運動を追跡するためのより単純な公式につながります。

[2] 「円錐から円錐曲線の公式を本当に導出できるのか？ – 放物線の症状の導出 – アメリカ数学協会」。 2025年7月19日取得。

[3] ウィルソン、レイ・N. (2004).反射望遠鏡の光学：基本設計理論とその歴史的発展（第2版）. スプリンガー. p. 3. ISBN 3-540-40106-7。3ページ目の抜粋。

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