曲面鏡

車の助手席側のミラーは、一般的に凸面鏡です。国によっては、「ミラーに映る物体は実際よりも近くに見えます」という安全警告が表示されており、凸面鏡が距離感を歪める影響についてドライバーに注意を促しています。凸面鏡は、像が小さくなるものの正立像（倒立像ではない）が得られること、そして外側に湾曲しているため視野が広くなることから、車両に好んで使用されています。

これらの鏡は、病院、ホテル、学校、店舗、アパートなど、さまざまな建物の廊下によく見られます（一般に「廊下安全ミラー」として知られています） 。通常、廊下が交差する場所や急カーブがある場所の壁や天井に取り付けられています。次の廊下や次のカーブの先に障害物があるかどうかを確認するのに役立ちます。また、道路、私道、路地など、視界が悪く、特にカーブや曲がり角で道路利用者の安全を確保するためにも使用されています。^{[ 2 ]}

凸面鏡は、一部のATMでシンプルで便利なセキュリティ機能として使用されており、利用者が背後の様子を確認できるようになっています。同様の装置は、一般的なコンピューターモニターに取り付ける形で販売されています。凸面鏡は対象物を小さく見せる一方で、より広い範囲を監視できます。

15世紀以降、Oeil de Sorcière （フランス語で「魔術師の目」）と呼ばれる丸い凸面鏡は人気の高級品で、当時の室内を描いた多くの絵画に描かれている。 ^{[ 3 ]} 15世紀の技術では、完全に平らな鏡よりも、規則的な曲面鏡（吹きガラス製）を作る方が容易だった。また、広い視野がセキュリティに役立つことから、「銀行家の目」とも呼ばれていた。美術作品における有名な例としては、ヤン・ファン・エイクの「アルノルフィーニ夫妻の肖像」や、ロベルト・カンピンの「ヴェル祭壇画」の左翼などがある。^{[ 4 ]}

凸面鏡に映る像は常に虚像（光線が実際に像を通過したわけではなく、通常の鏡と同様に光線の延長線が像を通過した）、縮小像（小さくなった像）、正立像（倒立していない像）です。物体が鏡に近づくにつれて像は大きくなり、鏡に接する頃には物体とほぼ同じ大きさになります。物体が遠ざかるにつれて像は小さくなり、徐々に焦点に近づいていき、物体が無限遠にあるときには焦点上の一点に縮小されます。このような特性から凸面鏡は非常に有用です。鏡に映る物はすべて小さく見えるため、通常の平面鏡よりも広い視野をカバーでき、道路で運転席の後ろの車を見たり、監視のために広い範囲を監視したりするのに便利です。

凹面鏡は反射望遠鏡に使用されています。^{[ 5 ]}また、化粧や髭剃りのために顔の拡大像を得るためにも使用されます。^{[ 6 ]}照明用途では、凹面鏡は懐中電灯、ヘッドランプ、スポットライトのように小さな光源からの光を集めてビーム状に外側に向ける、または集光型太陽光発電のように広い領域からの光を集めて小さなスポットに集光するために使用されます。凹面鏡はレーザー構造において重要な光学共振器を形成するために使用されます。歯科用ミラーの中には、拡大像を提供するために凹面を使用するものもあります。現代の航空母艦のミラー着陸補助システムにも凹面鏡が使用されています。

ガウスの鏡の方程式（鏡とレンズの方程式とも呼ばれる）は、物体の距離と物体の距離の関係を表す。${\displaystyle d_{\mathrm {o} }}$および像距離${\displaystyle d_{\mathrm {i} }}$焦点距離${\displaystyle f}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{d_{\mathrm {o} }}}+{\frac {1}{d_{\mathrm {i} }}}={\frac {1}{f}}}$。

ここで使用されている符号規約は、凹面鏡の場合は焦点距離が正、凸面鏡の場合は負であり、${\displaystyle d_{\mathrm {o} }}$そして${\displaystyle d_{\mathrm {i} }}$物体と像がそれぞれ鏡の前にあるときに正の値をとります。（物体または像が実在する場合に正の値をとります。）^{[ 2 ]}

凸面鏡の場合、${\displaystyle 1/d_{\mathrm {o} }}$方程式の右辺の項を解く${\displaystyle 1/d_{\mathrm {i} }}$すると、結果は常に負の数となり、像距離が負の値、つまり像は虚像で鏡の「後ろ」に位置することを意味します。これは、上述の動作と一致しています。

凹面鏡の場合、像が虚像か実像かは、物体距離と焦点距離の比によって決まります。${\displaystyle 1/f}$項は${\displaystyle 1/d_{\mathrm {o} }}$期間、それから${\displaystyle 1/d_{\mathrm {i} }}$が正であれば、画像は実在する。そうでなければ、項は負であり、画像は仮想である。これもまた、上述の動作を裏付けるものである。

鏡の倍率は、像の高さ÷物体の高さとして定義されます。

${\displaystyle m\equiv {\frac {h_{\mathrm {i} }}{h_{\mathrm {o} }}}=-{\frac {d_{\mathrm {i} }}{d_{\mathrm {o} }}}}$。

慣例として、結果として得られる倍率が正であれば像は正立像となり、倍率が負であれば像は倒立像（上下逆）となる。

上の図に示すように、画像の位置とサイズは、グラフィカルな光線追跡によっても求めることができます。物体の頂部から鏡面頂点（光軸が鏡と交わる点）に向かって引かれた光線は、光軸とある角度をなします。反射光線は、光軸に対して同じ角度を持ちますが、反対側に位置します（鏡面反射を参照）。

物体の頂部から光軸に平行な2本目の光線を引くことができます。この光線は鏡で反射され、焦点を通ります。これら2本の光線が交わる点が、物体の頂部に対応する像点です。光軸からの距離が像の高さを、光軸上の位置が像の位置を決定します。これらの2本の光線を考慮することで、鏡の式と倍率の式を幾何学的に導出できます。代わりに、物体の頂部から焦点を通る光線を考えることもできます。このような光線は光軸に平行に反射し、物体の頂部に対応する像点も通ります。

数学的な処理は近軸近似の下で行われる。つまり、第一近似では球面鏡は放物面反射鏡である。凹面球面鏡の光線行列をここに示す。${\displaystyle C}$行列の要素は${\displaystyle -{\frac {1}{f}}}$、 どこ${\displaystyle f}$は光学装置の焦点である。

ボックス1と3は三角形の角度の合計とπラジアン（または180°）との比較を示しています。ボックス2はマクローリン級数を示しています。${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {r}{R}}\right)}$1次まで。凸面球面鏡と薄レンズの光線行列の導出は非常によく似ている。