普遍放物線定数

普遍放物線定数は数学定数である。

これは、任意の放物線について、正焦弦によって形成される放物線セグメントの弧長と焦点パラメータの比として定義されます。焦点パラメータは焦点距離の2倍です。この比はPで表されます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} 図では、正焦弦は青色、それが形成する放物線セグメントは赤色、焦点パラメータは緑色で示されています。（放物線の焦点は点F、準線は直線Lです。） 

Pの値は^{[ 4 ]}です

${\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2.29558714939\dots }$

（ OEISのシーケンスA103710）。円と放物線は、普遍定数を持つという点で円錐曲線の中で独特です。楕円と双曲線の類似比は、離心率に依存します。つまり、すべての円とすべての放物線は相似ですが、楕円と双曲線は相似ではありません。

取る${\textstyle y={\frac {x^{2}}{4f}}}$放物線の式として。焦点パラメータは${\displaystyle p=2f}$そして半直腸は${\displaystyle \ell =2f}$。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=2ft)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}$$

Pは超越数である。

証明。Pが代数的であると仮定する。すると${\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}$代数的である必要もある。しかし、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により、${\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}$超越的であるはずであるが、そうではない。したがって、Pは超越的である。

Pは超越数であるため、無理数でもある。

単位正方形内でランダムに選択された点からその中心までの平均距離は^{[ 5 ]です。}

${\displaystyle d_{\text{avg}}={P \over 6}.}$

証拠。

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}\end{aligned}}}$

この定数が単位正方形に現れるのには、興味深い幾何学的な理由もあります。単位正方形の中心と正方形の境界上の点との間の平均距離は${\displaystyle {P \over 4}}$正方形の周上のすべての点を均等にサンプリングし、各点に対応する線分（中心から引いた線分）を取り、各線分を隣り合わせに繋ぎ合わせて縮尺すると、得られる曲線は放物線になります。^{[ 6 ]}