双曲線軌道

天体力学または天体力学において、双曲軌道または双曲軌道とは、中心物体の重力から逃れるのに十分な速度で中心物体の周りを回る物体の軌道のことです。この名前は、ニュートンの理論によれば、そのような軌道は双曲線の形をしているという事実に由来しています。より技術的な用語では、これは軌道離心率が 1 より大きい という条件で表現できます。

単純な仮定では、この軌道に沿って移動する物体は無限大に向かって惰性で進み、中心物体に対する最終的な過剰速度に落ち着きます。放物線軌道と同様に、すべての双曲軌道も脱出軌道です。双曲軌道の 特定のエネルギーは正です。

重力スリングショットに使用される惑星フライバイは、双曲線軌道を使用して惑星の影響圏内で記述できます。

楕円軌道と同様に、特定のシステムの双曲軌道は、その長半径と離心率によって定義できます (方向は無視)。ただし、双曲軌道の場合、物体の動きを理解するには他のパラメータの方が役立つ場合があります。次の表は、標準的な仮定の下で、別の物体の周りを双曲軌道で移動する物体の経路を説明する主なパラメータと、それらを結び付ける式を示しています。

半長軸 ( ) は双曲軌道ではすぐには見えませんが、近点から 2 つの漸近線が交差する点までの距離として作図できます。通常、慣例により、楕円軌道とさまざまな方程式の一貫性を保つために、これは負の値になります。 ${\displaystyle a\,\!}$

半長軸は、特定の軌道エネルギー（）または軌道の特性エネルギー、および距離が無限大に近づくにつれて物体が達成する速度、双曲過剰速度（）に直接関連しています。 ${\displaystyle \epsilon \,}$ ${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ または${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

ここで、は標準的な重力パラメータであり、は特性エネルギーであり、惑星間ミッションの計画によく使用される。 ${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$${\displaystyle C_{3}}$

総エネルギーは双曲軌道の場合は正であることに注意してください (楕円軌道の場合は負です)。

双曲線軌道では、軌道離心率( ) は 1 より大きくなります。離心率は漸近線間の角度に直接関係します。離心率が 1 をわずかに超えると、双曲線は鋭い「V」字型になります。漸近線は直角になります。 漸近線は 120° 以上離れており、近点距離は半長軸より大きくなります。離心率がさらに大きくなると、動きは直線に近づきます。 ${\displaystyle e\,}$${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$${\displaystyle e>2}$

近点方向と中心天体からの漸近線の間の角度は、距離が無限大（ ）に近づくにつれて真の近点角となり、接近方向と離脱方向の間の外角（漸近線間）も同様となる。 ${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$または${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

衝突パラメータとは、物体が乱されない軌道を進み続けた場合、最も接近したときに中心物体に衝突しない距離のことです。物体が重力の作用を受けて双曲線の軌道を描く場合、衝突パラメータは双曲線の短軸の長さに等しくなります。

宇宙船や彗星が惑星に接近する場合、衝突パラメータと超過速度は正確に分かります。中心天体が分かっていれば、軌道が分かります。これには接近する天体が近点でどのくらい近づくかも含まれます。これが惑星の半径より小さい場合、衝突が予想されます。最接近距離、つまり近点距離は次のように求められます。

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)={\frac {\mu }{v_{\infty }^{2}}}\left({\sqrt {1+\left(b{\frac {v_{\infty }^{2}}{\mu }}\right)^{2}}}-1\right)}$

したがって、地球（有効半径約 6400 km）に 12.5 km/s の速度（太陽系外からやってくる物体のおおよその最小接近速度）で接近する彗星が地球との衝突を回避するには、衝突パラメータが少なくとも 8600 km、つまり地球の半径より 34% 大きくなければなりません。太陽系外から木星（半径 70000 km）に 5.5 km/s の速度で接近する物体が衝突を回避するには、衝突パラメータが少なくとも 770,000 km、つまり木星の半径の 11 倍である必要があります。

中心天体の質量が不明な場合、その標準重力パラメータ、つまり質量は、衝突パラメータと接近速度とともに小さい天体の偏向によって決定できます。通常、これらすべての変数は正確に決定できるため、宇宙船のフライバイによって天体の質量の適切な推定値が得られます。

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$ここで、小さい方の物体が進路上で直線から逸れる角度はいくらか。${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$

双曲軌道では、真の異常は 軌道方程式によって軌道上の物体間の距離（）に関連付けられます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r\,}$

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

真の異常値θと偏心異常値 E（あるいは双曲異常値H ）の関係は次の通りである。^[3]

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$     または         または   ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$

離心率Eはケプラーの方程式によって平均偏差 Mと関係している。

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

平均異常は時間に比例する

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$ここで、μ は重力パラメータであり 、a は軌道の長半径です。

飛行経路角 (φ) は、速度の方向と半径方向の垂直線との間の角度であるため、近点でゼロになり、無限遠で 90 度になります。

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

標準的な仮定の下では、双曲線軌道に沿って移動する物体の軌道速度（ ）は、 vis-viva方程式から次のように計算できます。 ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+{1 \over {a}}\right)}}}$^[4]

どこ：

• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータであり、
• ${\displaystyle r\,}$は中心天体からの周回天体の半径距離であり、
• ${\displaystyle a\,\!}$は（負の）長半径です。

標準的な仮定の下では、軌道上のどの位置でも、軌道速度（）、局所脱出速度（）、双曲過剰速度（）に関して次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle v\,}$${\displaystyle {v_{esc}}\,}$${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

これは、脱出速度まで加速するために必要な速度を超える比較的小さな追加のデルタv が、無限遠での比較的大きな速度をもたらすことを意味していることに注意してください。たとえば、脱出速度が 11.2 km/s の場所では、0.4 km/s を追加すると、3.02 km/s の双曲過剰速度が得られます。

${\displaystyle {\sqrt {11.6^{2}-11.2^{2}}}=3.02}$

これはオーベルト効果の一例です。逆もまた真なりで、物体の速度が脱出速度を下回り、捕獲されるためには、物体の双曲的過剰速度に比べて大幅に減速する必要はありません (例えば、近点付近の大気抵抗による)。

放射状双曲軌道は、2 つの物体の相対速度が常に脱出速度を超える直線上の非周期軌道です。物体が互いに離れる場合と近づく場合の 2 つのケースがあります。これは、半短軸 = 0、離心率 = 1 の双曲軌道です。離心率は 1 ですが、放物線軌道ではありません。

偏向物体の影響球半径を考慮し、近点を仮定した偏向角のより正確な式は次のようになります。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle R_{\text{SOI}}}$${\displaystyle p_{e}}$

${\displaystyle \delta =2\arcsin \left({\frac {{\sqrt {1-{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}-{\frac {2\mu p_{e}}{v_{\infty }^{2}R_{\text{SOI}}^{2}}}}}}{1+{\frac {v_{\infty }^{2}p_{e}}{\mu }}-{\frac {2p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}\right)}$

一般相対性理論における二体問題においては、他方の重力から逃れるのに十分なエネルギーを持つ物体の軌道はもはや双曲線のような形をしていません。しかし、このタイプの軌道を説明するために「双曲線軌道」という用語が今でも使用されています。

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