二体問題

左：質量がほぼ同じ2つの天体が、両天体の外部にある共通の重心を周回する楕円軌道を描いている。このモデルは連星系によく見られる。右：質量に「わずかな」差がある2つの天体が、共通の重心を周回している。これらの天体の大きさや軌道は、冥王星-カロン系（重心が両天体の外部にある）や地球-月系（重心がより大きな天体の内部にある）に似ている。

古典力学において、二体問題は、宇宙空間で互いに周回する2つの質量を持つ物体の運動を計算・予測するために用いられる。この問題では、2つの物体は完全な球体であり、決して衝突しないこと、そしてすべての外力は2つの物体間の相互作用力に比べて無視できるほど小さいことが前提とされている。

古典的な二体問題の最も代表的な例は、重力の場合である（ケプラー問題も参照）。これは、衛星、惑星、恒星などの天体の軌道（または軌道からの脱出）を予測するために天文学で用いられる。このような系の二点粒子モデルは、その挙動をほぼ常に十分に記述し、有用な知見や予測を提供する。

より単純な「単一物体」モデルである「中心力問題」では、一方の物体を、他方の物体に作用する力の不動源として扱います。そして、残りの単一の可動物体の運動を予測しようとします。このような近似は、一方の物体が他方の物体よりもはるかに質量が大きい場合（例えば、重い恒星の周りを公転する軽い惑星のように、恒星を実質的に静止しているとみなせる場合）に有用な結果をもたらすことがあります。

しかし、通常、1体近似は足がかりとして以外は不要である。重力を含む多くの力については、2体問題の一般形を2つの1体問題に還元することができ、それによって問題を完全に解くことが可能となり、効果的に利用できるほど単純な解が得られる。

対照的に、三体問題（そしてより一般的には、n > 2の場合のn体問題）は、特殊な場合を除いて、一般的には解くことができません。  

完全な二体問題は、それを二つの一体問題に再定式化することで解くことができる。一つは自明な問題であり、もう一つは外部ポテンシャル中の一つの粒子の運動を求める問題である。多くの一体問題は厳密に解けるため、対応する二体問題も解ける。

x ₁とx ₂を2 つの物体の位置ベクトル、m ₁とm ₂をそれらの質量とする。目標は、初期位置x ₁ ( t = 0 )とx ₂ ( t = 0 )および初期速度v ₁ ( t = 0)とv ₂ ( t = 0)が与えられたとき、すべての時刻tにおける軌跡x ₁ ( t )とx ₂ ( t ) を決定することである。

2つの質量に適用すると、ニュートンの第二法則は次のように述べる。

ここで、F ₁₂は質量 1 と質量 2 の相互作用によって質量 1 に働く力であり、F _{21 は質量 2 と質量 1 の相互作用によって質量 2 に働く力である}。x位置ベクトルの上にある 2 つの点は、時間に関する 2 階微分、すなわち加速度ベクトルを表す。

これら 2 つの方程式を加算および減算すると、それぞれが独立して解ける 2 つの 1 体問題に分離されます。方程式 (1) と ( 2 )を加算すると、重心(重心) の運動を表す方程式が得られます。一方、方程式 (1) から方程式 (2)を減算すると、質量間のベクトルr = x ₁ − x ₂が時間とともにどのように変化するかを表す方程式が得られます。これらの独立した 1 体問題の解を組み合わせることで、軌道x ₁ ( t )およびx ₂ ( t )の解が得られます。

させて${\displaystyle \mathbf {R} }$をシステムの 重心（重心）の位置とする。力の方程式（1）と（2）を足し合わせると、$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0}$$ここ で、ニュートンの第三法則F ₁₂ = − F ₂₁ を使用し、$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

結果として得られる方程式： $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}=0}$$ 速度が${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}}$重心の速度は一定であるため、全運動量m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂も一定であることがわかります（運動量保存の法則）。したがって、重心の位置R ( t )は、初期位置と初期速度からいつでも決定できます。

2つの物体の互いに対する運動は、常に平面内（重心座標系）で行われる。

証明：系の重心に対する 線形運動量pと角運動量L を次の式で定義する。$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},}$$

ここで、μは換算質量、rは相対位置r ₂ − r ₁（これらは質量中心を原点として記述され、したがって両方ともrに平行である）であり、角運動量Lの変化率は正味トルクNに等しい。$${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,}$$そして、ベクトルのクロス積の 性質である、同じ方向を向く任意のベクトルvとwに対してv × w = 0を利用すると、

$${\displaystyle \mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$F = μ d ² r / dt ² で表す。

（ニュートンの強い第三運動法則に従うほとんどの物理的な力に当てはまる）2つの粒子間の力がそれらの位置を結ぶ線に沿って作用するという仮定を導入すると、r × F = 0となり、角運動量ベクトルLは一定（保存される）であることがわかります。したがって、変位ベクトルrとその速度vは常に一定ベクトルLに垂直な平面内にあります。

力F ( r )が保存力である場合、システムはポテンシャルエネルギーU ( r )を持ち、したがって全エネルギーは次のように表すことができます。 $${\displaystyle E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

重心座標系では運動エネルギーが最小となり、全エネルギーは $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$ 座標x ₁とx ₂は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r} }$$ 同様に、エネルギーEは_、それぞれの物体の運動エネルギーを個別に含む _{エネルギー}E1とE2と関連している。$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}}$$

多くの物理問題において、力F ( r )は中心力であり、すなわち、次の形式をとる。 $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$ ここで、r = | r |であり、r̂ = r / rは対​​応する単位ベクトルです。これで次のようになります。 $${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$ ここで、F ( r )は引力の場合に負の値をとる。

• エネルギードリフト
• 中心の方程式
• オイラーの三体問題
• ケプラー軌道
• ケプラー問題
• n体問題
• 三体問題
• ビリアル定理

• Landau LD ; Lifshitz EM (1976). Mechanics (3rd.  ed.). New York: Pergamon Press . ISBN 0-08-029141-4。
• ゴールドスタイン H (1980).古典力学(第 2 版 ). ニューヨーク:アディソン・ウェスリー. ISBN 0-201-02918-9。

• エリック・ワインスタインの物理学の世界における二体問題