ペダルカーブ

P_を原点とする。方程式F ( x , y )=0で与えられる曲線について、 R =( x₀ , y₀ )における接線の方程式が次の形式で表されている場合_、

${\displaystyle \cos \alpha x+\sin \alpha y=p}$

すると、ベクトル (cos α, sin α) は線分PXに平行であり、 PXの長さ、つまり接線から原点までの距離はpです。したがって、Xは極座標( p , α)で表され、( p , α) を ( r , θ) に置き換えると、ペダル曲線の極座標方程式が得られます。^{[ 2 ]}

例えば、楕円の場合^{[ 3 ]}

$\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

R = ( x ₀ , y ₀ )における接線は

$\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

そして、これを上記の形式で書くには、

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.}$

楕円の方程式を使ってx ₀とy ₀を消去すると、

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2},\,}$

そして( r ,θ)に変換すると

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,}$

ペダルの極座標方程式として。これは簡単にデカルト座標方程式に変換できます。

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,}$

Pを原点とし、 Cを極座標でr  = f (θ)とします。R = ( r , θ)を曲線上の点とし、X = ( p , α)をペダル曲線上の対応する点とします。ψを接線と半径ベクトルの間の角度、すなわち極接線角とします。これは次式で与えられます。 

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi .}$

それから

${\displaystyle p=r\sin \psi }$

そして

${\displaystyle \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.}$

これらの式は、 pとαに関する式を作成するために使用でき、それをrとθに変換すると、ペダル曲線の極座標方程式が得られます。^{[ 4 ]}

例えば、^{[ 5 ]}曲線をr = a cos θで与えられる円とする。すると

${\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi }$

それで

${\displaystyle \tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .}$

また

${\displaystyle p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}.}$

ペダルの極座標方程式は次のようになります。

${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}.}$

曲線のペダル方程式とそのペダルは密接に関連しています。P をペダル点と原点とすると、点Rにおける曲線と半径ベクトルの間の角度 ψ は、点 X におけるペダル曲線の対応する角度に等しいことが示されます。pをPから曲線の接線 (つまりPX )に引いた垂線の長さとし、 qをPからペダルの接線に引いた対応する垂線の長さとすると、相似三角形により、

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.}$

曲線のペダル方程式がf ( p , r )=0 であれば、ペダル曲線のペダル方程式は^{[ 6 ]となることがすぐにわかる。}

${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0}$

このことから、曲線のペダル方程式が分かっていれば、すべての正および負のペダルを容易に計算できる。

させて ${\displaystyle {\vec {v}}=PR}$RからPへ のベクトルとし、

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\Parallel }+{\vec {v}}_{\perp }}$、

接線成分と法線成分${\displaystyle {\vec {v}}}$曲線に関して。${\displaystyle {\vec {v}}_{\Parallel }}$これは、 RからXへのベクトルであり、このベクトルからXの位置を計算することができる。

具体的には、c が曲線のパラメーター化である場合、

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (Pc(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

ペダル曲線をパラメータ化する（c'がゼロまたは未定義となる点は無視する）。

パラメトリックに定義された曲線の場合、ペダル点(0;0)を持つペダル曲線は次のように定義されます。

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

対側足曲線は次のように表される。

${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot (Pc(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

同じペダル点を持つ対脚曲線は、与えられた曲線のエボルトのペダル曲線である。

Cが円の場合、上記の議論から、以下のリマソンの定義は同等であることがわかる。

• それは円のペダルである。
• これは、直径の一方の端点が固定点にあり、もう一方の端点が円に沿うような円の包絡線である。
• それは、固定点を通る円の包絡線であり、その中心は円に沿う。
• それは、同じ半径の円の周りを円が転がることで形成されるルーレットです。

また、円のカタカウスティックはリマソンのエボリュートであることも示しました。