交差弦定理

ユークリッド幾何学において、交差弦定理、または単に弦定理とは、円内の2つの交差する弦によって作られる4つの線分の関係を記述する定理である。この定理は、各弦上の線分の長さの積が等しいことを述べている。これは、ユークリッドの『原論』第3巻の命題35である。

より正確には、点Sで交わる2つの弦ACとBDについて、次の式が成り立つ。 $${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$$

その逆もまた真です。つまり、2つの線分ACとBDが点Sで交わり、上記の式が成り立つ場合、それらの4つの端点A 、 B 、 C 、 Dは共通の円上にあります。言い換えれば、四角形ABCDの対角線が点Sで交わり、上記の式を満たす場合、それは円に内接する四角形です。

弦定理における2つの積の値は、交点Sと円の中心との距離のみに依存し、 Sのべき乗の絶対値と呼ばれます。より正確には、次のように述べることができます。 $${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2},}$$ ここで、rは円の半径、 dは円の中心と交点Sの間の距離です。この性質は、 Sと円の中心Mを通る第 3 の弦 (直径) に弦定理を適用すると直接導かれます(図を参照)。

この定理は相似三角形（内接角の定理）を用いて証明できる。三角形△ ASDと△ BSCの角を考えてみよう。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{AB の内接角}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{CD の内接角}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{対角}})\end{aligned}}}$$ これは、三角形△ ASDと△ BSCが相似であることを意味するので、

$${\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$$

接線と割線の定理、および交差する割線の定理に加えて、交差する弦の定理は、2つの交差する直線と円に関するより一般的な定理である点のべき乗定理の3つの基本的なケースの1つを表しています。

• ポール・グレイスター：交差弦定理：30年後。Mathematics in School、第36巻、第1号（2007年1月）、22ページ（JSTOR）
• ブルース・ショーヤー著『幾何学の探求』ワールドサイエンティフィック社、2010年、ISBN 9789813100947、 14ページ
• ハンス・シュップ:要素幾何学。シェーニング、パーダーボルン、1977、ISBN 3-506-99189-2、149ページ （ドイツ語）。
• シューラーデューデン - 数学 I。 Bibliographisches Institut & FA Brockhaus、8. オーフラージュ、マンハイム、2008 年、ISBN 978-3-411-04208-1、415-417ページ （ドイツ語）

• cut-the-knot.org の交差弦定理
• 交差弦定理（アーカイブ：2020年12月1日、Wayback Machine、proofwiki.org）
• ワイスタイン、エリック・W. 「コード」。マスワールド。
• 2つのインタラクティブなイラスト：そして