カテナリー

デカルト座標系における懸垂線の式は次の形式である^{[ 35 ]}

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),}$$ ここで、coshは双曲線コサイン関数であり、a はx 軸から最も低い点までの距離です。^{[ 39 ]}パラメータaを変更することは曲線の均一なスケーリングに相当するため、すべての懸垂線は互いに類似しています。

カテナリーのウェーウェル方程式は^{[ 35 ]である。}$${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}},}$$ どこ${\displaystyle \varphi }$は接線角、sは弧長です。

微分すると $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}},}$$ そして排除する${\displaystyle \varphi }$チェザロ方程式^{[ 40 ]}を与える$${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle \kappa }$曲率です。

曲率半径は $${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi ,}$$これは曲線とx軸の間の法線 の長さです。^{[ 41 ]}

放物線を直線に沿って転がすと、その焦点が描くルーレット曲線は懸垂線になります。^{[ 42 ]}放物線の準線の包絡線も懸垂線です。 ^{[ 43 ]}頂点からのインボリュート、つまり懸垂線上で直線を転がしたときに頂点から始まる点が描くルーレットはトラクトリックスです。^{[ 42 ]}

懸垂線上に線を転がすことで形成される別のルーレットは、別の線である。これは、正方形の車輪が、逆懸垂線曲線の形をした一連の隆起でできた道路上で完全に滑らかに転がることができることを意味する。車輪は三角形以外の任意の正多角形にすることができるが、懸垂線は車輪の形状と寸法に対応するパラメータを持たなければならない。^{[ 44 ]}

任意の水平区間において、懸垂線の下の面積と懸垂線の長さの比は、選択された区間に関係なくaに等しくなります。懸垂線は、水平線以外の平面曲線でこの性質を持つ唯一のものです。また、懸垂線のある区間の下の面積の幾何学的重心は、曲線自体の重心とx軸を結ぶ垂線の中点です。^{[ 45 ]}

一様な電場中の移動する電荷は懸垂線に沿って移動します（電荷の速度が光速cよりはるかに小さい場合は放物線に近づきます）。^{[ 46 ]}

両端の半径が固定された回転面のうち、表面積が最小となるものは懸垂線である。

$${\displaystyle y=a\cosh ^{-1}\left({\frac {x}{a}}\right)+b}$$

中心となったのは${\displaystyle y}$-軸。^{[ 42 ]}

数学モデルでは、鎖（または紐、ケーブル、ロープ、ひもなど）は、非常に細いため曲線とみなすことができ、非常に柔軟であるため、鎖によって加えられる張力はすべて鎖に平行であると仮定して理想化されています。^{[ 47 ]}最適なアーチの曲線の解析は、張力が圧縮力になり、すべてが反転する点を除いて同様です。^{[ 48 ]} 基本的な原理は、鎖が平衡状態に達すると、剛体とみなすことができるということです。^{[ 49 ]}鎖が静的平衡状態にある場合、これらの力が釣り合っていなければならないという事実を使用して、セグメントに作用するさまざまな力を注意深く調べると、曲線の形状と各点での鎖の張力を定義する方程式を導き出すことができます。

鎖がたどる経路を、 r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s ))でパラメトリックに表す。ここでs は弧長を表し、rは位置ベクトルである。これは自然なパラメトリック化であり、次の性質を持つ。

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }$$

ここで、uは単位接線ベクトルである。

曲線の微分方程式は次のように導出できます。[ 50 ^{] cを}鎖の最低点とし、懸垂線の頂点と呼びます。[ ^{51 ] c}は最小点であるため、曲線の傾き⁠ dy / dx ⁠はcでゼロになります。rはcの右側にあると仮定しますが、反対側は対称性によって示されます。^{[ 52 ]} cからrまでの鎖のセクションに作用する力は、 cでの鎖の張力、 rでの鎖の張力、および鎖の重さです。c での張力はcでの曲線に接しており、したがって垂直成分のない水平方向であり、セクションを左に引っ張るため、(− T ₀ , 0)と書くことができます。ここでT ₀は力の大きさです。r での張力はrでの曲線に平行であり、セクションを右に引っ張ります。rにおける張力は2 つの成分に分解できるため、T u = ( T cos φ , T sin φ )と書くことができます。ここで、 Tは力の大きさ、φはrにおける曲線とx軸との間の角度です (接線角を参照)。最後に、チェーンの重量は(0, − ws )で表され、 wは単位長さあたりの重量、sはcとrの間のチェーンのセグメントの長さです。

鎖は平衡状態にあるので、3つの力の合計は0であり、したがって

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$ そして $${\displaystyle T\sin \varphi =ws\,,}$$

そしてこれらを割ると

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {ws}{T_{0}}}\,.}$$

書くのに便利

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w}}}$$

これは、 cにおける張力と大きさが等しい重さの鎖の長さである。^{[ 53 ]} すると

$$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}$$

これは曲線を定義する方程式です。

張力の水平成分T cos φ = T ₀は一定であり、張力の垂直成分T sin φ = wsはrと頂点間の鎖の長さに比例する。 ^{[ 54 ]}

微分方程式${\displaystyle dy/dx=s/a}$上記で示した式を解くと、曲線の式が得られます。 ^{[ 55 ]} 頂点が に位置するという境界条件を用いて、この式を解きます。$s_0=0$そして${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})}$。

まず、弧長の公式を呼び出し て $${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}\,,}$$ 次に変数を分離し て $$\displaystyle {\frac {ds}{\sqrt {1+(s/a)^{2}}}}=dx\,.}$$

これを積分する比較的簡単な方法は 双曲置換を使用することであり、これにより次の式が得られます。 $${\displaystyle a\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}+x_{0}=x}$$ （どこ${\displaystyle x_{0}}$は積分定数であり、したがって $${\displaystyle {\frac {s}{a}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,.}$$

しかし${\textstyle s/a=dy/dx}$、 それで $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,,}$$ これは統合される$$\displaystyle y=a\cosh {\frac {x-x_{0}}{a}}+\delta }$$ （と${\displaystyle \delta =y_{0}-a}$（境界条件を満たす積分定数）。

ここでの主な関心は単に曲線の形状であるため、座標軸の配置は任意です。したがって、都合の良い選択をしてください。${\textstyle x_{0}=0=\delta }$ 結果を簡略化して $${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}.}$$

完全を期すために、${\displaystyle y\leftrightarrow s}$関係は、それぞれを解くことによって導き出すことができる。${\displaystyle x\leftrightarrow y}$そして${\displaystyle x\leftrightarrow s}$関係${\displaystyle x/a}$与えるもの： $${\displaystyle \cosh ^{-1}{\frac {y-\delta }{a}}={\frac {x-x_{0}}{a}}=\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\,,}$$ それで $${\displaystyle y-\delta =a\cosh \left(\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\right)\,,}$$ これは次のように 書き換えることができます$${\displaystyle y-\delta =a{\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.}$$

微分方程式は別の方法で解くことができる。^{[ 56 ]}

$${\displaystyle s=a\tan \varphi }$$

したがって、

$${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$$ そして $${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$$

統合すると、

$${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$$ そして $${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$$

これまでと同様に、x軸とy軸をシフトしてαとβを0とすることができる。すると

$${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$$ 両辺の逆数を取る $${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$$

最後の2つの式を足し引きすると、解が得られます。 $${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$$ そして $${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

パラメータaは、懸垂線の点の最小y座標です。実際の応用では、このパラメータも、懸垂線が標準形をとる軸も、事前にわかっているわけではありません。

これらのデータは、与えられた2点の位置から決定できます。${\displaystyle P_{1}}$そして​​${\displaystyle P_{2}}$そしてこれらの点間の懸垂線の長さLは次のようになります。 ^{[ 57 ]}

必要に応じてラベルを付け直し、P _{1 が}P ₂の左側に位置するようにします。また、 P _1からP ₂までの水平距離をH、垂直距離をvとします。懸垂線の頂点がy軸上に位置するように軸を移動し、懸垂線が曲線の標準方程式を満たすように高さaを調整します。

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

そして、 P ₁とP ₂の座標をそれぞれ( x ₁ , y ₁ )と( x ₂ , y ₂ )とする。曲線はこれらの点を通るので、高さの差は

$${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

P1_からP2までの曲線の長_さは

$${\displaystyle L=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

これらの式を用いてL ² − v ²を展開すると、結果は次のようになります。

$${\displaystyle L^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$$ それで $${\displaystyle {\frac {1}{H}}{\sqrt {L^{2}-v^{2}}}={\frac {2a}{H}}\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$$

これは、 aにおける超越方程式であり、数値的に解く必要があります。${\displaystyle \sinh(x)/x}$は厳密に単調である${\displaystyle x>0}$[ ^{58 ]} a > 0となる解は最大で 1 つしか存在しないため、平衡位置も最大で 1 つしか存在しない^。

しかし、曲線の両端（P ₁とP ₂）が同じレベル（y ₁ = y _{2 ）にある場合、} ^{[ 59 ]}が成り立つことが示される。$${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$$_{ここで、 Lは}P1_とP2間の 曲線の全長であり_、 hはたわみ（P1、P2_と曲線の頂点間の垂直距離）である。

また、以下のことも示せる。 $${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$$ そして $${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$$ここで、H は同じ高さにあるP ₁とP ₂ の間の水平距離です( H = x ₂ − x ₁ )。

P ₁およびP ₂における水平方向の牽引力はT ₀ = waであり、wはチェーンまたはケーブルの単位長さあたりの重量です。

ケーブルのある点における張力とその点のx座標および/またはy座標の間には単純な関係があります。まず、張力のベクトル成分の二乗を組み合わせます。 $${\displaystyle (T\cos \varphi )^{2}+(T\sin \varphi )^{2}=T_{0}^{2}+(ws)^{2}}$$ （思い出すと）${\displaystyle T_{0}=wa}$) は次のように書き換えることができます $${\displaystyle {\begin{aligned}T^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )&=(wa)^{2}+(ws)^{2}\\[6pt]T^{2}&=w^{2}(a^{2}+s^{2})\\[6pt]T&=w{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$ しかし、上記のように、 ${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$（${\displaystyle y_{0}=a}$)、したがって、単純な関係式^{[ 60 ]が得られます。}$${\displaystyle T=wy=wa\cosh {\frac {x}{a}}\,.}$$

長さの鎖を考えてみましょう${\displaystyle L}$同じ高さの2点から吊り下げられ、距離は${\displaystyle D}$曲線は位置エネルギーを最小化する必要がある。 $${\displaystyle U=\int _{0}^{D}wy{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}$$ （wは単位長さあたりの重量）制約条件を満たす。 $${\displaystyle \int _{0}^{D}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=L\,.}$$

修正されたラグランジアンは次のようになる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}=(wy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}}$$ どこ${\displaystyle \lambda }$は決定すべきラグランジュ乗数です。独立変数として${\displaystyle x}$ラグランジアンには現れないので、ベルトラミ恒等式を用いることができる。$${\displaystyle {\mathcal {L}}-y'{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y'}}=C}$$ どこ${\displaystyle C}$は積分定数であり、最初の積分を得るためのものである。 $${\displaystyle {\frac {(wy-\lambda )}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-C}$$

これは変数分離法で解ける通常の1階微分方程式です。その解は、制約条件から得られるパラメータを持つ通常の双曲線余弦関数です。

鎖の密度が可変である場合、上記の解析を適用して、密度が与えられた場合に曲線の式を生成したり、曲線が与えられた場合に密度を求めたりすることができる。^{[ 61 ]}

w を鎖の単位長さあたりの重量とすると、鎖の重量の大きさは

$${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

積分範囲はcとrである。均一な鎖の場合と同様に力を釣り合わせると、

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$ そして $${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$ そのため $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$$

微分すると

$${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$$

φと曲率半径ρに関して、これは次のようになる。

$${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$$

同様の解析により、水平な道路を持つ吊り橋を支えるケーブルがたどる曲線を求めることができる。 ^{[ 62 ]}道路の単位長さあたりの重量をwとし、橋を支えるケーブルとワイヤーの重量がそれに比べて無視できるほど小さい場合、 cからrまでのケーブルにかかる重量はwxとなる（ 「カテナリー#チェーンとアーチのモデル」の図を参照）。ここでx はcとr の間の水平距離である。これまでと同様の手順で、微分方程式が得られる。

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$$

これは単純な積分によって解決され、

$${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$$

そのため、ケーブルは放物線を描きます。ケーブルと支持線の重量が無視できない場合は、解析はより複雑になります。^{[ 63 ]}

等強度の懸垂線では、ケーブルは各点の張力の大きさに応じて強化されるため、その長さに沿って破断に対する抵抗は一定です。ケーブルの強度が単位長さあたりの密度に比例すると仮定すると、鎖の単位長さあたりの重量wは⁠ T / c ⁠と書くことができ、ここでcは定数であり、不均一な鎖の解析を適用できます。^{[ 64 ]}

この場合、張力の式は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$$

組み合わせると

$${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$$

そして、差異化によって

$${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$$

ここでρは曲率半径である。

この解決策は

$${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$$

この場合、曲線には垂直漸近線があり、これによりスパンはπcに制限されます。その他の関係は次のとおりです。

$${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$$

この曲線は1826年にデイヴィス・ギルバートによって研究され、また、どうやら独立して1836年にガスパール＝ギュスターヴ・コリオリによっても研究された。

最近、このタイプの懸垂線が電磁メタサーフェスの構成要素として機能することが示され、「等位相勾配懸垂線」として知られるようになった。^{[ 65 ]}

弾性懸垂線では、鎖は張力に応じて伸びるバネに置き換えられます。バネはフックの法則に従って伸びると仮定します。具体的には、バネのセクションの自然長をpとすると、張力Tを加えたときのバネの長さは、長さとなります。

$${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$$

ここで、Eは定数でkpに等しく、kはばねの剛性です。 ^{[ 66 ]}カテナリーではTの値は可変ですが、比率は局所レベルで有効なままなので、^{[ 67 ]}$${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$$ 弾性ばねがたどる曲線は、非弾性ばねの場合と同様の方法で導出できる。^{[ 68 ]}

ばねの張力の式は次のとおりです。

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$$ そして $${\displaystyle T\sin \varphi =w_{0}p\,,}$$

そこから

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w_{0}p}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+w_{0}^{2}p^{2}}}\,,}$$

ここで、pはcからrまでのセグメントの自然長であり、w0_は張力のないバネの単位長さあたりの重量である。 $${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w_{0}}}}$$ それで $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$$

それから $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {w_{0}p}{T}}\,,\end{aligned}}}$$ そこから $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {w_{0}p}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{alignedat}}}$$

積分すると、媒介変数方程式が得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$$

ここでも、x軸とy軸をずらすことで、αとβを0とすることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$$

これらは曲線を表す媒介変数表示である。Eが大きい剛体極限では、曲線の形状は非弾性鎖の形状に帰着する。

鎖に作用する力Gに関して何の仮定も置かずに、以下の解析を行うことができる。 ^{[ 69 ]}

まず、張力をsの関数としてT = T ( s )とします。鎖は柔軟であるため、鎖自身に平行な力しか及ぼすことができません。張力は鎖が自身に及ぼす力として定義されるため、T は鎖に平行でなければなりません。言い換えれば、

$${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$$

ここで、TはTの大きさであり、uは単位接線ベクトルである。

第二に、鎖の小さなセグメントに作用する単位長さあたりの外力をG = G ( s )とします。sとs + Δ sの間の鎖のセグメントに作用する力は、セグメントの一端における張力T ( s + Δ s ) 、もう一方の端におけるほぼ反対方向の力− T ( s )、およびセグメントに作用する外力（おおよそG Δ s ）です。これらの力は釣り合わなければなりません。

$${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$$

Δsで割って、 Δs →0の極限を取ると、

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$$

これらの式は、任意の外力の下で作用する柔軟な鎖の解析の出発点として使用できます。標準的な懸垂線の場合、G = (0, − w )となり、鎖の単位長さあたりの重量はwです。