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数学において、退化ケースとは、クラスの残りの部分とは質的に異なり（そして通常はより単純である）と思われる、あるクラスの極限ケースのことである。 [ 1 ]「退化」とは、退化ケースである条件である。[ 2 ]与えられたクラスのオブジェクトは、ほとんどの場合、複数の異なる方程式系によって定義される可能性があり、これらの異なる方程式系は、同じ非退化ケースを特徴付けながらも、異なる退化ケースにつながる可能性がある。このことが、退化の概念が広く使用され、それぞれの特定の状況で（必要に応じて）定義されているにもかかわらず、退化の一般的な定義が存在しない理由かもしれない。
多くの場合、退化ケースは、オブジェクト（またはその一部）の通常の次元または濃度が変化する例外的なケースです。たとえば、三角形は次元が 2 のオブジェクトですが、退化三角形は線分[ 3 ]に含まれており、その次元は 1 になります。これは、円の場合に似ています。円の次元は、点に退化するにつれて 2 から 0 に縮小します。[ 1 ]別の例として、パラメータに依存する方程式系の解集合は、一般に濃度と次元が固定されていますが、退化ケースと呼ばれるいくつかの例外的な値では濃度や次元が異なる場合があります。このような退化ケースでは、解集合は退化していると言われます。
退化ケースは、非一般的、つまり特殊なケースとなる特別な特徴を持っています。しかし、すべての非一般的または特殊なケースが退化しているわけではありません。たとえば、直角三角形、二等辺三角形、正三角形は非一般的であり、退化していません。実際、退化ケースは、オブジェクト内または何らかの構成空間内の特異点に対応することがよくあります。たとえば、円錐曲線は、特異点（点、線、交差する線など）を持つ場合に限り退化しています。[ 4 ]
複合オブジェクトや構造オブジェクトの多くのクラスの定義には、暗黙のうちに不等式が含まれることが多い。たとえば、三角形の角度と辺の長さは正であると想定されている。これらの不等式の 1 つまたは複数が等式になる極限ケースは退化である。たとえば、三角形は、少なくとも 1 つの辺の長さまたは角度がゼロの場合に退化している。同等に、線分になる。[ 3 ] 複合オブジェクトの一部のクラスでは、退化ケースは、具体的に研究される特性に依存する。特に、オブジェクトのクラスは、方程式のシステムによって定義または特徴付けられることが多い。
退化三角形とは、線分内に含まれるという意味で「平面」三角形のことである。言い換えれば、退化三角形とは、厳密な三角形の不等式を満たさない三角形のことである。その代わりに、以下を満たす。[ 5 ]。したがって、頂点一直線上に並び[ 3 ]、面積はゼロです。3 つの頂点がすべて異なる場合、0° の角度が 2 つと 180° の角度が 1 つあります。2 つの頂点が同じ場合、0° の角度が 1 つと定義されていない角度が 2 つあります。3 つの頂点がすべて同じ場合、3 つの角度はすべて定義されていません。
対辺の長さがゼロである長方形は、面積がゼロの線分に退化する。長方形の対辺の長さが両方ともゼロである場合、長方形は点に退化する。
超直方体は、 n次元の長方形に相当するものです。n個の軸のいずれかに沿った辺の長さがゼロの場合、より低次元の超直方体に退化し、すべての軸に沿った辺の長さがゼロの場合は一点になります。
凸多角形は、少なくとも2つの連続する辺が部分的に一致するか、少なくとも1つの辺の長さがゼロであるか、少なくとも1つの角が180°である場合に退化しているという。したがって、n辺の退化凸多角形は、辺の数が少ない多角形のように見える。三角形の場合、この定義は上記の定義と一致する。
凸多面体は、隣接する2つの面が同一平面上にあるか、または2つの辺が一直線上に並んでいる場合、退化していると言えます。正四面体の場合、これはすべての頂点が同一平面上にあることと同義であり、体積はゼロになります。
球の半径がゼロになると、結果として生じる体積ゼロの退化した球は点になります。
その他の例については、一般職の項を参照してください。
